暨南大学09-10高等数学试卷--A-5附答案.doc

暨南大学高等数学 I 试卷 考生姓名 学号：1对 的表述错误的是 ( C ) A. , N, 使得对所有 的 n, 都有 ; B. , N, 使得对所有 的 n, 都有 ; C. , N, 使得对所有 的 n, 都有 ; D. , N, 使得对所有 的 n, 都有 .2. 设函数 , 则 在 处 ( C ) A. 不连续; B. 连续但不可导; C. 连续且可导; D. 导函数连续.3. 设 则（ B ）A. 是 的跳跃间断点； B. 是 的可去间断点； C. 是 的跳跃间断点； D. 是 的可去间断点.4下列命题中正确的是 ( D ) A. 若在 (a, b) 内 , 则 在 a, b 上单调递增； B若 在 (a, b) 内单调增加且可导, 则在 (a, b) 内必有 . C. 若 , 则必有 . D. 若函数 在 a, b 上连续, 在 (a, b) 内 , 且 至多有有限多个零点, 则 在 a, b 上单调增加.5. 下列关于极值叙述正确的是 ( C ). A. 若 , 则 为 的极值点. B若 为 的极值点, 则 . C. 在 (a, b) 内的极小值可能大于极大值. D. 若 在 取得极大值, 则存在 的某邻域, 使得在该邻域内, 在 左侧单调增加, 右侧单调减少.6. 下列各式中正确的是 ( B ). A. ; B.; C. ; D. .得分评阅人二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1. = 0 .2. 设，则 = .3. = 1 .4. 设, 写出它带 Peano 型余项的三阶麦克劳林公式 .5. =6. .得分评阅人三、计算题（共8小题，每小题5分，共40分）1.解：由于 ( 2 分) 且 , , 由夹逼定理可知 ( 3 分)2. ( 2 分) ( 3 分)3.解：由于 () ( 5 分)4.解：令 , 则 ( 2 分) = = ( 3 分)5. 方程 确定 为 的函数，求 与 . 解： ( 2 分) ( 3 分)6.解： ( 2 分) = = ( 3 分) 7. 解： ( 2 分) = = ( 3 分)7.解：令 , 则 , , ( 2 分) = ( 3 分) 得分评阅人四、解答题（共2小题，每小题6分，共12 分）1. 已知 (1, 3) 是曲线 的拐点, 并且曲线在 处有极值, 求出 的值, 并画出此曲线的图形.解：由于 , , 由已知条件可得以下方程组 解得 a=-3, b=0, c=5. ( 2 分) 由于 , 令 , 解得 x=0, 2 由于, 解得 x=1. 列表： 012y+00+y0+Y凸 5(极大)凸 3 (拐点)凹 1 (极小)凹 ( 2 分) 图形略. ( 2 分)2. 求抛物线 在 (0, 1) 内的一条切线, 使得它与两坐标轴和抛物线围成的图形面积最小.解：设切线过抛物线上的点 , 切线方程是 ( 1 分) 它与两坐标轴的交点分别是 , 围成的面积 ( 1 分) 则 ( 1 分) 得到在 0, 1 上的唯一驻点 ( 1 分) 当 当 ( 1 分) 且为最小点, 故所求切线方程是 ( 1 分)得分评阅人五、证明题（共2题，每题6分，共12 分）1. 设在区间上连续，在区间内可导，证明在区间内至少存在一点，使得 证: ( 1 分) ( 2 分) 2. 设 在 a, b 上连续, 且单调增加, 证明: .证: 设 ( 1 分) 则 (积分中值定理 )( 2 分) 由于 在 a, b 上单调增加, 从而 , , ( 1 分) 又由于 , 在 a, b 上连续, 则 , ( 1 分) 特别有 即 ( 1 分)第 7 页 共 7 页