首届(2009年)全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)答案.doc

(完整word)首届(2009年)全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)答案
首届全国大学生数学竞赛决赛试卷
（非数学类,2010）

考试形式: 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.

一、 计算下列各题（共20分，每小题各5分,要求写出重要步骤).
(1） 求极限。
(2） 计算，其中为下半球面的上侧,。
(3) 现要设计一个容积为的一个圆柱体的容器。 已知上下两底的材料费为单位面积元，而侧面的材料费为单位面积元。试给出最节省的设计方案:即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？
（4) 已知在内满足，求.
二、（10分）求下列极限
（1） ； (2) ， 其中.
三、（10分）设在点附近有定义，且在点可导， . 求。
四、（10分)设在上连续，无穷积分收敛. 求 .五、（12分)设函数在上连续，在内可微,且。 证明：（1） 存在使得；(2) 存在使得.
六、（14分）设为整数，
。
证明： 方程在内至少有一个根。
七、（12分）是否存在中的可微函数使得 ?若存在，请给出一个例子；若不存在,请给出证明.
八、（12分)设在上一致连续，且对于固定的，当自然数时。 证明： 函数序列在上一致收敛于0.