北京师范大学运用公式法同步练习.doc

2.3 运用公式法 同步练习
A卷：基础题
一、选择题
1．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+y2=（x+y）（x－y） B．x2－y2=（x+y）（x－y）
C．x2+y2=（x+y）2 D．x2－y2=（x－y）2
2．下列各式不是完全平方式的是（ ）
A．x2+4x+1 B．x2－2xy+y2 C．x2y2+2xy+1 D．m2－mn+n2
3．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．m2－mn+n2 B．（a+b）2－4ab C．x2－2x+ D．x2+2x－1
4．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■=（x2+4）（x+2）（x－▲）中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是（ ）
A．8，1 B．16，2 C．24，3 D．64，8
5．若a+b=4，则a2+2ab+b2的值是（ ）
A．8 B．16 C．2 D．4
二、填空题
6．分解因式：a3－4a=______．
7．已知x2－y2=69，x+y=3，则x－y=______．
8．把a2b+b3－2ab2分解因式的结果是______．
9．请你写一个能先提公因式，再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果．___________．
三、计算题
10．分解因式：（x2+4）2－16x2．

11．已知a，b，c为△ABC的三条边长，且b2+2ab=c2+2ac，试判断△ABC的形状．

12．在边长为179m的正方形农田里，修建一个边长为21m的正方形建筑，问所剩农田为多少平方米？

B卷：提高题
一、七彩题
1．（一题多解）若a+b=1，ab=－1，求a2+b2的值．

2．（巧题妙解题）若9m2－12mn+8n2－4np+2p2－4p+4=0，求m+n+p的值．

二、知识交叉题
3．（科内交叉题）若（1012+25）2－（1012－25）2=10n，求n．

4．（科外交叉题）在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式x4－y4因式分解的结果是（x－y）·（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是x－y=0，x+y=18，x2+y2=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3－xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是_________．（写出一个即可）
三、实际应用题
5．如图，在一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘，已知大小圆盘的半径都是整数，阴影部分的面积为5cm2，请你求出大小两个圆盘的半径．

四、经典中考题
6．（2007，武汉，3分）一个长方形的面积是（x2－9）2米，其长为（x+3）米，用含有x 的整式表示它的宽为_______米．
7．（2008，北京，4分）分解因式：a3－ab2=______．

C卷：课标新型题

1．（结论开放题）多项式4x2+1加上一个单项式后，使它成为一个整式的平方，则加上的单项式可以是_______．（填上一个你认为正确的即可）
2．（存在探究题）是否存在这样一个满足下列条件的正整数，当它加上98时是一个完全平方数，当它加上121时是另一个完全平方数，若存在，请求出该数；若不存在，请说明理由．

3．（阅读理解题）观察下面计算过程：
（1－）（1－）=（1－）（1+）（1－）（1+）=×××=×；
（1－）（1－）（1－）=×××××=×；
（1－）（1－）（1－）（1－）=×××××××=×；…
你发现了什么规律？用含n的式子表示这个规律，并用你发现的规律直接写出
（1－）（1－）（1－）（1－）（1－）…（1－）的值．

3.已知a－b=，ab=，求－2a2b2+ab3+a3b的值．

参考答案

A卷
一、1．B 点拨：x2+y2不能在实数范围内因式分解，（x－y）2=x2－2xy+y2．
2．A 点拨：x2－2xy+y2=（x－y）2；x2y2+2xy+1=（xy）2+2xy+1=（xy+1）2；
m2－mn+n2=m2－2·m·n+（n）2=（m－n）2．
3．B 点拨：（a+b）2－4ab=a2+2ab+b2－4ab=a2－2ab+b2=（a－b）2．
4．B 点拨：x4－16=（x2）2－42=（x2+4）（x2－4）=（x2+4）（x+2）（x－2）．
5．B 点拨：因为a+b=4，所以a2+2ab+b2=（a+b）2=42=16．
二、6．a（a+2）（a－2） 点拨：a3－4a=a（a2－4）=a（a+2）（a－2）．
7．23 点拨：因为x2－y2=69，所以（x+y）（x－y）=69，
因为x+y=3，所以3（x－y）=69，所以x－y=23．
8．b（a－b）2 点拨：a2b+b3－2ab2=b（a2+b2－2ab）=b（a－b）2．
9．am2+2am+a=a（m+1）2 点拨：答案不唯一，符合题意即可．
三、10．解：（x2+4）2－16x2=（x2+4）2－（4x）2=（x2+4+4x）（x2+4－4x）
=（x+2）2（x－2）2．
11．解法一：因为b2+2ab=c2+2ac，所以b2－c2+2ab－2ac=0，
所以（b+c）（b－c）+2a（b－c）=0，（b－c）（b+c+2a）=0．
因为a，b，c为三角形三边，所以b+c+2a>0，
所以b－c=0，即b=c．所以△ABC为等腰三角形．
解法二：因为b2+2ab=c2+2ac，所以b2+2ab+a2=c2+2ac+a2，
所以（a+b）2=（a+c）2．因为a，b，c为三角形三边，所以a+b=a+c．
所以b=c．所以△ABC为等腰三角形．
12．解：1792－212=（179+21）×（179－21）=200×158=31600（m2）．
点拨：本题是分解因式在实际问题中的应用，利用分解因式可使运算简化．

B卷
一、1．解法一：a2+b2=（a+b）2－2ab．因为a+b=1，ab=－1，
所以a2+b2=12－2×（－1）=3．
解法二：因为a+b=1，所以（a+b）2=1，即a2+b2+2ab=1，
因为ab=－1，所以a2+b2=1－2ab=1－2×（－1）=3．
点拨：本题综合考查完全平方公式．
2．解：因为9m2－12mn+8n2－4np+2p2－4p+4
=（9m2－12mn+4n2）+（4n2－4np+p2）+（p2－4p+4）
=（3m－2n）2+（2n－p）2+（p－2）2=0．
所以 所以 所以m+n+p=+1+2=．
点拨：此题的巧妙之处是把8n2分成4n2+4n2，把2p2分成p2+p2，从而把原式左边化成几个完全平方式和的形式，根据非负数和为零，各数均为零的性质可求m，n，p的值．
二、3．解：（1012+25）2－（1012－25）2
=（1012+25+1012－25）·（1012+25－1012+25）=2×1012×50=1014=10n．
所以n=14． 点拨：若底数相等，幂相等，则指数必相等．
4．103010或301010或101030
点拨：4x3－xy2=x（4x2－y2）=x（2x+y）（2x－y）．
当x=10，y=10时，2x+y=30，2x－y=10．
所以x（2x+y）（2x－y）103010，
（2x+y）（2x－y）301010
（2x－y）x（2x+y）101030． 答案不唯一，写出一个即可．
三、5．解：设大圆盘的半径为Rcm，一个小圆盘的半径为rcm，
根据题意，得：R2－4r2=5，即（R+2r）（R－2r）=5．
因为R，r均为正整数，所以R+2r，R－2r也为正整数，所以：
解得
答：大圆盘的半径为3cm，一个小圆盘的半径为1cm．
点拨：本题利用因式分解法求不定方程的整数解，注意要把5分解质因数．
四、6．（x－3） 点拨：x2－9=x2－32=（x+3）（x－3）．
因为长为（x+3）米，所以宽为（x－3）米．
7．a（a+b）（a－b） 点拨：多项式a3－ab2只有两项，可以考虑两种方法，提公因式法和平方差公式，观察题目可知此题这两种方法均要用到，即首先提取公因式，然后再用平方差公式．所以a3－ab2=a（a2－b2）=a（a+b）（a－b）．

C卷
1．±4x或4x4或－1或－4x2
点拨：若添加±4x和4x4成为一个多项式的平方；若添加－1或－4x2，其结果成为一个单项式的平方．
2．解：假设存在这样的正整数m，由题意得m+98=x2，①
m+121=y2，②．②－①得y2－x2=23．所以（y+x）（y－x）=23×1．
只有当x+y=23，y－x=1时，成立，即 解得
所以m=x2－98=112－98=121－98=23．
点拨：本题仍然是利用分解因式求不定方程的整数解，再求m的值．
3．解：（1－）（1－）…（1－）=×××…××=×=．
当n=2007时，上式=．
3.解：－2a2b2+ab3+a3b=－ab（2ab－b2－a2）=ab（b2－2ab+a2）=ab（a－b）2．
当a－b=，ab=时，原式=ab（a－b）2=×（）2=×．
点拨：多项式求值时可根据已知条件，将多项式先分解因式，变为含ab或a－b的形式，然后整体代入即可．

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