广西桂林市2020-2021学年高一数学上学期期末质量检测试题.doc

广西桂林市2020-2021学年高一数学上学期期末质量检测试题

广西桂林市2020-2021学年高一数学上学期期末质量检测试题

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8

广西桂林市2020-2021学年高一数学上学期期末质量检测试题
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．直线的倾斜角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D.
4．函数的零点所在的区间是（ ）
A.（－2，－1） B.（－1，0） C.（0，1） D.（1，2）
5．如图，正方体中，AC与所成角的大小是（ ）

A.30° B.45° C.60° D.90°
6．下列函数中，是偶函数且在区间上为减函数的是（ ）
A. B. C. D.
7．经过点（－1，0），且与直线垂直的直线的方程是（ ）
A. B. C. D.
8.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
9．已知函数是定义在R上的奇函数，且关于直线对称，当时，，则（ ）
A． B. C. D.
10．如果函数在上是增函数，那么实数a的取值范围（ ）
A. B． C． D.
11．已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则.
B．若直线m、n与平面所成角相等，则.
C．若，且，，则.
D．若，且，则.
12．函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．_________.
14．已知幂函数的图象过点（4，2）则_________．
15．已知函数，若，则实数_________.
16．已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的外接球表面积为_________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．
17．已知点，直线．
（1）求A点到直线l距离；
（2）求过点A且与直线l平行的直线的方程．
18．已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
19．已知函数.
（1）用定义证明在是增函数；
（2）求在［1，4］上的最大值及最小值．
20．某科技公司生产一种产品的固定成本是20000元，每生产一台产品需要增加投入100元．已
知年总收益R（元）与年产量x（台）的关系式是.
（1）把该科技公司的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；
（2）当年产量为多少台时，该科技公司所获得的年利润最大？最大年利润为多少元？
（注：利润=总收益-总成本）
21．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，E为侧棱PD上一点．

（1）求证：平面ABE；
（2）若E为PD中点，平面ABE与侧棱PC交于点F，且，求四棱锥的体积．
22．已知函数，.
（1）当时，求函数的值域；
（2）若关于x的方程有两个不等根，，求的值；
（3）是否存在实数a，使得对任意，关于x的方程在区间，上总有3个不等根，，，若存在，求出实数a与的取值范围；若不存在，说明理由.
桂林市2020～2021学年度上学期期末质量检测
高一年级数学参考答案
一、选择题
1-5：DBCBC 6-10：CAACD 11、12：DB
二、填空题
13.1 14.3 15.2 16.
三、解答题
17.解：（1）设点A到直线l的距离为d，则

（2）方法一：∵直线l的斜率
设过点A且与直线l平行的直线方程为
把点A的坐标代入可得
∴过点A且与直线l平行的直线方程为
方法二：设过点A且与直线l平行的直线方程为
把点A的坐标代入可得：，解得
∴过点A且与直线平行的直线方程为
18.解：（1）当时，，
∵因此，；
（2）∵，∴①当时，即，∴；
②当时，则或，
解得或.
综上所述，实数a的取值范围是.
19.解：（1）证明：在上任取，，切，

∵ ∴.
∵，， ∴.
∴，即.
∴在上是增函数.
（2）由（1）知：在上是增函数
∴当时，有最小值2.
当时，有最大值.
20.解：（1）由于年产量是x台，则总成本为元.
当时，，
即.
当时，，即，
所以；
（2）当时，，
当时，，
当时，是减函数，
则，
综上，当时，.
所以当年产量为400台时，最大年利润为60000元.
21.证明：（1）∵，平面ABE，平面ABE，
∴平面ABE.
（2）∵侧面底面ABCD，，
平面平面，平面ABCD，
∴平面PAD.
又平面PAD，所以，；
由（1）知平面ABE，平面PCD，平面平面
∴，所以.
∴，.
正三角形PAD中，E是PD中点，，，∴平面ABFE.
由上知ABFE是直角梯形，，，
∴.
，所以

22.解：（1）.
在区间单调递减，而，，
故函数的值域为.
（2）因为在单调递减，在单调递增，
∵，∴.
则有，即.
故，所以.
（3）令，由（1）知
令，因为在单调递减，在单调递增，
且，，.
则当时，方程有两个不等根，由（2）知且两根之积为1；
当时，方程有且只有一个根.
且此根在区间内或者为1.
令，由二次函数与图象特征，原题目等价于：对任意，关于t的方程在区间上总有2个不等根，
且有两个不等根，只有一个根，
则必有.
结合二次函数的图象，则有，
解之得.
此时，，则其根，故必有.