山西省沁县中学2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题.doc

山西省沁县中学2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题

山西省沁县中学2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题

年级：
姓名：

12

山西省沁县中学2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题
答题时间：120分钟，满分：150分
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列命题正确的是(　　)
A.没有公共点的两条直线是平行直线
B.互相垂直的两条直线是相交直线
C.既不平行又不相交的两条直线是异面直线
D.不在同一平面内的两条直线是异面直线
2、用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是( )
A．棱锥 B．圆柱 C．球 D．圆锥
3.若圆锥的母线长为8,底面周长为6π,则其体积是(　　)
A.
4.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC上的一点,则三棱锥B1-C1D1E的体积等于(　　)
A. B. C. D.
5.已知一个正方体的展开图如图所示,其中A,B为所在棱的中点,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中AB与CD所成角的大小是(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
6.给出下列四个命题:
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
②垂直于同一个平面的两个平面互相平行;
③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行.
其中不正确的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.0
7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于(　　)
A.BD B.AC C.AD D.A1D1

8．如图，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
9．在等腰Rt△A′BC中，A′B＝BC＝1，M为A′C的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C­BM­A的大小为(　　)
A．30°　 B．60°
C．90° D．120°
10．如图，已知六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是(　　)
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
11.如图1，等腰直角中，,边不动，将点C移动到C’的位置，如图2，若四面体的各个顶点均在球H的球面上，且球H的表面积为，则二面角的大小为( )
A. B. C. D.
12.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为,且长为的棱与长为的棱所在直线是异面直线,则三棱锥的体积的最大值为(   )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形,它的底角为,两腰长均为1,则这个平面图形的面积为__________.
14.已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________.
15.已知长方体ABCD—A1B1C1D1的外接球体积为，且AA1=BC=2，则A1C与平面BB1C1C所成的角为________.
16.已知三棱锥中，是面积为的等边三角形，，则当点C到平面的距离最大时，三棱锥外接球的表面积为_______．
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱,左右两端均为半球,已知r=1,=3,试求该组合体的表面积和体积.

18.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.

求证: (1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE,D1F,DA三线共点

19.(本小题满分12分)如图所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图及其正视图和侧视图(单位:cm).
(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;
(2)按照给出的数据,求该多面体的体积.

20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
(1)求证:DC⊥平面PAC.
(2)求证:平面PAB⊥平面PAC.

21.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,,∠BAD=∠ABC=90°.
(1)证明:直线BC∥平面PAD;
(2)若△PCD的面积为，求四棱锥P-ABCD的体积。

22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点．AB＝BC，AC＝2，AA1＝.

(1)求证：B1C∥平面A1BM；
(2)求证：AC1⊥平面A1BM；
(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．

数学答案
1.答案:C1解析:没有公共点的两条直线还可能异面,所以A选项不正确;互相垂直的直线还可能是异面直线,所以B选项不正确;D选项中,缺少任一平面内,所以D选项不正确;很明显C选项正确.
2.答案：A
解析：用一个平面去截一个棱锥，得到的截面是三角形，不可能是圆，所以A正确；
用一个平面去截一个圆柱，截面与底面平行，得到的截面是圆面，所以B不满足题目要求；
用一个平面去截一个球，得到的截面是圆面，所以C不满足题目要求；
用一个平面去截一个圆锥，截面与底面平行，得到的截面是圆面，所以D不满足题目要求；
3.答案:C解析:设圆锥的母线长为l,高为h,底面半径为r,由底面周长为2πr=6π,得r=3,
所以hV
4.解析:三棱锥B1-C1D1E的体积即为三棱锥D1-B1C1E的体积,三棱锥D1-B1C1E的底面积为S1,所以所求体积 答案:D
5.解析:展开图还原为正方体(如图),其中EF,FG,EG分别为所在面的对角线.
因为A,B分别为相应棱的中点,
所以EF∥AB.易知CD∥EG,
所以∠FEG为AB与CD所成的角(或其补角).
又因为EG=EF=FG,
所以∠FEG=60°,
即AB与CD所成角的大小为60°.
答案:C
6.解析:利用特殊的几何体正方体进行验证,我们不难发现①②③均不正确.故选C.
答案:C
7.解析:由BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,则BD⊥平面ACC1A1.又CE⊂平面ACC1A1,所以BD⊥CE.
答案:A
8.解析：选C．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC．同理，DE⊥AC，又DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.又AC⊂平面ABC，AC⊂平面ADC，所以平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE.故选C．
9.解析：选C．如图所示，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝.因为M为A′C的中点，所以MC＝AM＝.且CM⊥BM，AM⊥BM，所以∠CMA为二面角C­BM­A的平面角．因为AC＝1，MC＝AM＝，
所以∠CMA＝90°.
10.解析：选D．选项A，B，C显然错误．因为PA⊥平面ABC，所以∠PDA是直线PD与平面ABC所成的角．因为ABCDEF是正六边形，所以AD＝2AB．因为tan∠PDA＝＝＝1，所以直线PD与平面ABC所成的角为45°.故选D．
11.答案：C
解析：设分别为的中点,连接,则平面,平面,设,由,由二面角的定义知,为二面角的平面角,易知,,设球H的半径为R,则,在,,即,由,得
12.答案：A
解析：如图所示,三棱锥中, ,则该三棱锥为满足题意的三棱锥,
将△看作底面,则当平面平面时,该三棱锥的体积有最大值,
此时三棱锥的高,△是等腰直角三角形,
则,

综上可得,三棱锥的体积的最大值为.本题选择A选项.
13答案及解析：
答案：
解析：由题意可知直观图中, 则平面图形是两条直角边长分别为2和的直角三角形,故平面图形的面积.
14答案及解析：
答案：
解析：取的中点M,连接EM,AM,
则就是异面直线AE与BC所成的角.
在中, .
15答案及解析：
答案：②③
解析：如图, 是以为轴, 为底面半径的圆锥的母线, 垂直圆锥底面,在底面内过点作,交点面圆于点,连接,则,所以.连接,令,在等腰△中, ,当直线与成角时, ,故,又在中, ,所以,连接,由圆的对称性可知,所以△为等边三角形,所以,即与成角,②正确,①错误.由图可知③正确;很明显,可以满足直线平面,则直线与所成角的最大值为,④错误.故正确的是②③.
16.答案及解析：
答案：
解析：当平面平面PAB时，三棱锥的体积达到最大；
记点分别为的外心，并过两个三角形的外心作三角形所在平面的垂线，两垂线交于点O，则点O即为三棱锥外接球的球心，即为球的半径；
因为﹐故；在中，，则，
由正弦定理可，故，
记的中点为F，则，
故，故外接球的表面积．故答案为：
17.解:该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π,
该组合体的体积V
18.证明:(1)如图,连接EF,CD1,BA1.
因为E,F分别是AB,AA1的中点,所以EF∥BA1.
又BA1∥CD1,
所以EF∥CD1.
所以E,C,D1,F四点共面.
(2)因为EF∥CD1,EF<CD1,所以CE与D1F必相交,设交点为P.
由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD.
同理,得P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,所以P∈直线DA.
所以CE,D1F,DA三线共点.
19.解:(1)加上俯视图后的三视图如图所示.

(2)所求多面体的体积V=V长方体-V三棱锥=4×4×6
20.(1)证明:因为PC⊥平面ABCD,
所以PC⊥DC.
又因为DC⊥AC,
所以DC⊥平面PAC.
(2)证明:因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD,
所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC.
所以平面PAB⊥平面PAC.

21.(1)证明:在平面ABCD内,因为∠BAD=∠ABC=90°,
所以BC∥AD.
又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
故BC∥平面PAD.
(2)解:如图,取AD的中点M,连接PM,CM.
由AB=BCBC∥AD,∠ABC=90°,得四边形ABCM为正方形,则CM⊥AD.

因为侧面PAD垂直底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以CM⊥侧面PAD,
所以CM⊥PM.
设BC=x,则CM=x,CD
取CD的中点N,连接PN,则PN⊥CD,
所以PN
因为△PCD的面积
所
解得x=-2(舍去),x=2.
于是AB=BC=2,AD=4,PM=
所以四棱锥P-ABCD的体积
V
22.解：(1)证明：连接AB1交A1B于O，连接OM.如图所示．
在△B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1的中点，
所以OM∥B1C．
又OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，
所以B1C∥平面A1BM.
(2)证明：因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，
所以AA1⊥BM.
因为M为棱AC的中点，AB＝BC，
所以BM⊥AC．
又AA1∩AC＝A，
所以BM⊥平面ACC1A1，
所以BM⊥AC1.
因为M为棱AC的中点，AC＝2，
所以AM＝1.
又AA1＝，
所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，
tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝，
所以∠AC1C＝∠A1MA，
所以∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，
所以A1M⊥AC1.
因为BM∩A1M＝M，
所以AC1⊥平面A1BM.
(3)存在点N，且当点N为BB1的中点，
即＝时，平面AC1N⊥平面AA1C1C．
设AC1的中点为D，连接DM，DN.如图所示．
因为D，M分别为AC1，AC的中点，
所以DM∥CC1，且DM＝CC1.
又N为BB1的中点，
所以DM∥BN，且DM＝BN，
所以四边形DMBN是平行四边形，
所以BM∥DN.
因为BM⊥平面ACC1A，
所以DN⊥平面ACC1A1.
又DN⊂平面AC1N，
所以平面AC1N⊥平面ACC1A1.