河北省唐山市2021届高三数学下学期第三次模拟演练试题.doc

河北省唐山市2021届高三数学下学期第三次模拟演练试题

河北省唐山市2021届高三数学下学期第三次模拟演练试题

年级：
姓名：

13

河北省唐山市2021届高三数学下学期第三次模拟演练试题
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A＝{－1，0，1，2，3}，B＝{x|x2－3x＜0}，则A∩B＝
A．{2} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}
2．已知i是虚数单位，a∈R，若复数为纯虚数，则a＝
A．－2 B．2 C．－ D．
3．已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（－1，－2），则sin2α＋sin2α＝
A． B． C． D．
4．已知log212＝m，则log312＝
A． B． C． D．
5．已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若|OP|＝|PF2|，则△PF1F2的面积为
A．3 B．6 C．9 D．18
6．(1＋ax)10 (其中a≠0)的展开式的常数项与其各项系数之和相等，则其展开式中x2的系数为
A．－45 B．45 C．－180 D．180
7．赤道式日晷（guǐ）是利用日影变化规律制成的天文记时仪器(如下左图)，“日”指“太阳”，“晷”表示“影子”，“日晷”的意思为“太阳的影子”。晷针在晷面上的日影自西向东慢慢移动，晷面的刻度（如下右图）是均匀的，移动的晷针日影犹如现代钟表的指针，日影落在晷面相应的刻度上便可读取时间。晷面上刻有十二个时辰，用十二地支表示，每个时辰大约2小时，正子时表示凌晨0点左右，则下右图表示的时间大约是几点钟？若再过31个小时大约是哪个时辰？

A．4点，戌时 B．5点，亥时
C．9点，申时 D．10点，酉时
8．已知函数f(x)＝，则不等式f(x)＋f(x2)＞0的解集为
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数f(x)＝x＋(x＞0)，若f(a)＝f(b)，且a＜b，则下列不等式成立的有
A．ab＝1 B．a2＋b2＞2
C．＋≥2 D．logab＜logba
10．下列说法正确的是
A．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为
B．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
C．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ (i＝1，2，3)，则P(X＝2)＝
D．若随机变量η～N(2，σ2)，且δ＝3η＋1，则P(η＜2)＝0.5，E(δ)＝6
C
D
A
B
E
F
11．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角
A－BD－C，如图所示，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则
A．AC与EF所成的角为45°
B．EF⊥BC
C．过EF且与BD平行的平面截四面体A-BCD所得截面
的面积为
D．四面体A-BCD的外接球的表面积为8π
12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线G：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P(，1)射入，经过G上的点A(x1，y1)反射后，再经G上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则
A．y1y2＝－1
B．|AB|＝
C．PB平分∠ABQ
D．延长AO交直线x＝－于点C，则C，B，Q三点共线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝12，S7＝119，则an＝________．
14．在△ABC中，AB＝AC，点P为线段AC上的动点，|BC|＝4，则·的取值范围是________．
15．已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧棱长均为3，则该四棱锥的体积的最大值为________．
16．关于x的不等式x2－a(x－1)ex＜0恰有一个整数解，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
A
B
C
D
Ｅ
如图所示，在梯形ABCD中， AB∥CD，∠BAD＝，点E是AD上的一点，DE＝2AE＝4，2BCcos∠BEC＝BEcos∠EBC＋CEcos∠ECB．
（1）求∠BEC的大小；
（2）若△BCE的面积S为8，求BC．

18．（12分）
若数列{an}及{bn}满足且a1＝1，b1＝6．
（1）证明：bn＝3an＋3（n∈N*）；
（2）求数列{an}和{bn}的通项公式．
19．（12分）
在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝，CD＝2，PD⊥BC，AC⊥PB．
（1）证明：PD⊥平面ABCD；
B
C
A
D
P
（2）若二面角D-PB-C的余弦值为，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

20．（12分）
某种病毒在进入人体后有潜伏期，患者在潜伏期内无任何症状，但已具传染性。假设一位病毒携带者在潜伏期内每天有n位密接者，每位密接者被感染的概率为p．
（1）若n＝3，p＝，求一天内被一位病毒携带者直接感染人数X的分布列和均值；
（2）某定点医院为筛查某些人员是否感染此病毒，需要检测血液样本是否为阳性，有以下两种检验方式：
①逐份检验，即k份血液样本需要检验k次；
②混合检验，即将k份（k∈N*且k≥2）血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这k份血液样本全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液样本究竟哪份为阳性，就要对k份血液样本再逐份检验，此时这k份血液样本的检验次数为k＋1次．
假设样本的检验结果相互独立，且每份样本检验结果是阳性的概率为p＝1－，为使混合检验需要的检验的总次数ζ的期望值比逐份检验的总次数η的期望值更少，求k的取值范围．
参考数据： ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln4≈1.3863，ln5≈1.6094，ln6≈1.7918．

21．（12分）
已知函数f(x)＝(x－1)lnx．
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）设b＞a＞0，证明：f()＜．

22．（12分）
在直角坐标系xOy中，A(－1，0)，B(1，0)，C为动点，设△ABC的内切圆分别与边AC，BC，AB相切于点P，Q，R，且|CP|＝1，记点C的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）不过原点O的直线l与曲线E交于M，N两点，且直线y＝－x经过MN的中点T，求△OMN的面积的最大值．

唐山市2021年普通高等学校招生统一考试第三次模拟演练
数学参考答案
一、选择题：
BABBC DCD
二、选择题
ABC AC CD BCD
三、填空题：
13．5n－3 14．[8，16] 15．4 16．－2( e )≤a＜0
四、解答题：
17．解：
（1）∵2BCcos∠BEC＝BEcos∠EBC＋CEcos∠ECB
＝BE•2BE•BC(BE2＋BC2－CE2)＋CE•2CE•BC(CE2＋BC2－BE2)＝BC
∴cos∠BEC＝2( 1 )，则∠BEC＝p3( )． …4分
（2）设∠AEB＝α，则∠DEC＝3(2π)－α，(0＜α＜3(2π))
∵DE＝2AE＝4，
∴BE＝cosα(AE)＝cosα(2)，CE＝－α(2π)＝－α(2π)，
∵△BCE的面积S＝2( 1 )BE·CE·sinp3( )＝－α(2π)＝－1(π)，
∴由已知得：－1(π)＝8
∴sin(2α－6(π))＝1，则2α－p6( )＝p2( )，即α＝p3( )
此时BE＝cosα(2)＝4，CE＝－α(2π)＝8
∴在△BCE中，由余弦定理得：
BC2＝BE2＋CE2－2 BE ·CE ·cos∠BEC＝48
∴BC＝4． …10分
18．解：
（1）∵an＋1＝an＋3(1)bn，bn＋1＝3an＋bn＋3，(n∈N*)，
∴bn＋1＝3an＋1＋3，
∴当n≥2且n∈N*时，有bn＝3an＋3，
又a1＝1，b1＝6，也满足b1＝3a1＋3，
∴对任意的n∈N*，都有bn＝3an＋3． …6分
（2）将bn＝3an＋3代入an＋1＝an＋3(1)bn，得an＋1＝2an＋1，
进而an＋1＋1＝2(an＋1)，a1＋1＝2，
∴数列{an＋1}是首项为2，公比也为2的等比数列，
∴an＋1＝2n，an＝2n－1．
∴bn＝3an＋3＝3·2n． …12分
19．解：
（1）由tan∠ADB＝2(2)，tan∠ACD＝2(2)，得∠ADB＝∠ACD，
所以∠DAC＋∠ADB＝∠DAC＋∠ACD＝p2( )，即AC⊥BD，
又AC⊥PB，PB∩BD＝B，
则有AC⊥平面PBD，又PDÌ平面PBD，所以AC⊥PD，
又PD⊥BC，AC∩BC＝C，
所以PD⊥平面ABCD． …5分
（2）

如图所示，以D为原点，→(DA)，→(DC)，→(DP)的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立
空间直角坐标系D－xyz，设DP＝h，则
D(0，0，0)，A(，0，0)，B(，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，h )，
→(PC)＝(0，2，－h)，→(BC)＝(－，1，0)，
设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，
→(PC)·n＝2y－hz＝0，→(BC)·n＝－x＋y＝0，
取y＝h，则x＝h，z＝2，所以n＝(h，h，2)，
而平面PBD的一个法向量为→(AC)＝(－，2，0)，
cosán，→(AC)ñ＝|(AC)＝3h2＋8(2h)＝17(17)，解得h＝，
→(PB)＝(，1，－)，
易知AD⊥平面PCD，所以→(DA)＝(，0，0)是平面PCD的一个法向量，
设直线PB与平面PCD所成的角为θ，
则sinθ＝|cosá→(PB)，→(DA) ñ|＝3(3)，
故直线PB与平面PCD所成的角的正弦值为3(3)． …12分
20．解：
（1）若n＝3，p＝3(1)，依题意可知X服从二项分布，即X～B(3，3(1))，
从而P(X＝i)＝C3(i)(3(1))i(3(2))3-i，i＝0，1，2，3．
X
0
1
2
3
P
27(8)
9( 4 )
9( 2 )
27(1)
随机变量X的分布列为：

随机变量X的均值为E(X)＝3×3(1)＝1． …4分
（2）由题意知ζ的所有可能取值为1，k＋1，
且P(ζ＝1)＝(1－p)k，P(ζ＝k＋1)＝1－(1－p)k，
∴E(ζ)＝(1－p)k＋(k＋1)[1－(1－p)k]＝k＋1－k(1－p)k，
又∵E(η)＝k，依题意E(ζ)＜E(η)，即：k＋1－k(1－p)k＜k，
∴k(1)＜(1－p)k，
∵p＝1－e(3)，∴k(1)＜(e(3))k，∴lnk＞3( 1 )k．
设f(x)＝lnx－3( 1 )x，
易知f(x)在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，
由于f(1)＝－3( 1 )＜0，f(2)＝ln2－3( 2 )＞0，
f(4)＝ln4－3(4)＝0.0530＞0，f(5)＝ln5－3(5)＝－0.0573＜0，
故k的取值范围为2≤k≤4且k∈N*． …12分
21．解：
（1）函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f¢(x)＝lnx＋1－x(1)，显然f¢(x)为增函数，又f¢(1)＝0，
所以，当0＜x＜1时，f¢(x)＜0，当x＞1时，f¢(x)＞0，
即f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． …4分
（2）令g(x)＝f(x)＋f(a)－2f(2(a＋x))，x∈(a，＋∞)．
则g¢(x)＝f¢(x)－f¢(2(a＋x))，
因为x＞a，所以x＞2(a＋x)，
由（1）知，f¢(x)－f¢(2(a＋x))＞0，即g¢(x)＞0，
因此可得，g(x)在(a，＋∞)上单调递增，从而g(x)＞g(a)＝0，
于是g(b)＞0，故f(2(a＋b))＜2(b)． …12分
22．
解：
（1）依题意可知，
|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|，
所以曲线E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（除去与x轴的交点），
因此曲线E的方程为4(x2)＋3(y2)＝1(y≠0)． …4分
（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋m（m≠0），
代入4(x2)＋3(y2)＝1整理得，(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，（*）
则x1＋x2＝4k2＋3(－8km)，x1x2＝4k2＋3(4m2－12)，
所以y1＋y2＝4k2＋3(6m)，
得MN的中点T(4k2＋3(－4km)，4k2＋3(3m))，直线y＝－2( 1 )x经过MN的中点T，
得4k2＋3(3m)＝－2( 1 )·4k2＋3(－4km)，又m≠0，所以直线l的斜率k＝2( 3 )． …8分
（*）式可化简为3x2＋3mx＋m2－3＝0，
x1＋x2＝－m，x1x2＝3(m2－3)，
由D＝36－3m2＞0，且m≠0，得－2＜m＜2且m≠0，
|MN|＝|x2－x1|＝2(13)·3(12－m2)，
点O到直线l的距离d＝13(2|m|)，
则△OMN的面积S＝2( 1 )|MN|d＝2( 1 )·2(13)·3(12－m2)·13(2|m|) ＝3(12－m2)
≤3(1)·2(|m|2＋12－m2)＝，
当且仅当m＝±时，等号成立．
满足－2＜m＜2且m≠0，
所以△OMN的面积的最大值为． …12分