2021-2022版高中数学-第八章-向量的数量积与三角恒等变换-8.2.1-两角和与差的余弦课时素.doc

2021-2022版高中数学 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2.1 两角和与差的余弦课时素养评价新人教B版必修第三册

2021-2022版高中数学 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2.1 两角和与差的余弦课时素养评价新人教B版必修第三册

年级：
姓名：

两角和与差的余弦

(15分钟　30分)
1.cos 40°sin 80°+sin 40°sin 10°的值等于(　　)
A.- B.- C. D.
【解析】选D.由题意得,原式=cos 40°cos 10°+
sin 40°sin 10°=cos(40°-10°)=.
【补偿训练】
(2020·北京高一检测)cos (36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)
sin(α-54°)=　　　　. 
【解析】coscos+
sinsin
=cos
=cos 90°=0.
答案:0
2.已知cos α=,α∈(-π,0),则cos= (　　)
A.- B.-
C. D.
【解析】选A.因为cos α=,α∈,
所以sin α=-=-,
所以cos=cos αcos+sin αsin=×+×=-.
3.若sin α=,α∈,则cos的值为 (　　)
A.- B.-
C.- D.-
【解析】选C.因为sin α=,α∈,所以cos α=-=-
=-,所以cos=coscos α-sin sin α=×-×=-.
4.已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,若a=(cos A,sin A),b=(cos B,sin B),且a·b=1,则△ABC一定是 (　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形　 D.等腰直角三角形
【解析】选B.因为a·b=cos Acos B+sin Asin B=
cos(A-B)=1,且A,B,C是三角形的内角,
所以A=B,即△ABC一定是等腰三角形.
5.已知α为三角形的内角且cos α+sin α=,则α=　　　　. 
【解析】因为cos α+sin α=cos cos α+sin sin α
=cos=,因为0<α<π,
所以-<α-<,
所以α-=,α=.
答案:π
6.化简:cos(α-65°)cos(5°-α) -sin(α-65°)sin(5°-α)=　　　　. 
【解析】原式=cos[(α-65°)+(5°-α)]=cos(-60°)=.
答案:

(30分钟　60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若sin=a,则cos= (　　)
A.-a　 B.a　 C.1-a　 D.1+a
【解析】选B.cos=cos
=coscos+sinsin=a.
2.已知锐角α,β满足cos α=,cos(α+β)=-,则
cos(2π-β)的值为 (　　)
A.　 B.-　 C.　 D.-
【解析】选A.因为α,β为锐角,cos α=,
cos(α+β)=-,所以sin α=,sin(α+β)=,
所以cos(2π-β)=cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=.
3.(2020·武汉高一检测)已知角θ的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,若角θ终边过点,则cos的值为 (　　)
A.- B.
C.- D.
【解析】选D.因为角θ终边过点,
所以cos θ=,sin θ=-,
所以cos
=cos θcos-sin θsin
=×-×=.
4.(2020·遵义高一检测)若-<β<0<α<,
cos=,cos=,
则cos= (　　)
A. B. C.- D.-
【解析】选A.因为- <β<0<α< ,
cos=,cos= ,
所以sin=,sin=,
所以cos
=cos
=coscos+
sinsin
=×+×
=.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下列各式化简正确的是 (　　)
A.cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos 60°
B.cos75°=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°
C.sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=cos 45°
D.cos=cos α-sin α
【解析】选ABC.根据两角和与差的余弦公式,A,B,C均正确,cos
=cos α-sin α,D选项错误.
6.化简cos x-sin x等于 (　　)
A.2sin B.2cos
C.2sin D.2cos
【解析】选AD.cos x-sin x
=2
=2
=2cos
=2sin
=2sin.
【补偿训练】
若sin x+cos x=cos(x+φ),则φ的一个可能值是 (　　)
A. - B.
C. D.
【解析】选A.对比公式特征知,cos φ=,sinφ=-,故只有A正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.若a=(cos α,sin β),b=(cos β,sin α),0<β<α<,且a·b=,则α-β=　　　　. 
【解析】a·b=cos α cos β+sin β sin α=cos(α-β)=.
因为0<β<α<,所以0<α-β<,
所以α-β=.
答案:
8.已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|=,则cos(α-β)=　　　　. 
【解析】因为a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),
所以a-b=(cos α-cos β,sin α-sin β),
因为|a-b|=,
所以=,
即2-2cos(α-β)=,所以cos(α-β)=.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知tan α=4 ,cos(α+β)=-,α,β均为锐角,求
cos β的值.
【解析】因为α∈,tan α=4 ,
所以sin α=4 cos α,①
sin2α+cos2α=1,②
由①②得sin α=,cos α=.因为α+β∈(0,π),
cos(α+β)=-,所以sin(α+β)=.
所以cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=×+×=.
10.(2020·沭阳高一检测)已知函数f(x)=
Asin(x∈R),且f=1.
(1)求A的值;
(2)若f(α)=-,α是第二象限角,求cos α.
【解析】(1)依题意得:f=Asin=A=1,
所以A=.
(2)由(1)得f=sin,
由f=-,可得f=sin=-,
所以sin=-,因为α是第二象限角,
所以2kπ+<α<2kπ+π,
所以2kπ+<α+<2kπ+,
又因为sin=-<0,
所以α+是第三象限角,
所以cos =- =-,
所以cos α=cos
=coscos+sinsin
=-×- ×=-.

1.若cos=, 则+=　　　　.  
【解析】+
=sin2α+sin2β+2sin αsin β+cos2α+cos2β-
2cos αcos β
=1+1-2
=2-2cos=2-2×=.
答案:
2.已知cos=-,sin=,且α∈,β∈,求cos 的值.
【解析】因为<α<π,0<β<,
所以<<,0<<,<α+β<.
所以<α-<π,-<-β<,
<<.
又cos=-,sin=,
所以sin=,cos=.
所以cos =cos
=coscos+sinsin
=×+×=-+=.