2020-2021学年高中数学-单元素养评价-第一章-推理与证明北师大版选修2-2.doc

2020-2021学年高中数学 单元素养评价 第一章 推理与证明北师大版选修2-22020-2021学年高中数学 单元素养评价 第一章 推理与证明北师大版选修2-2年级：姓名：单元素养评价(一)(第一章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.“四边形是矩形，四边形的对角线相等”补充以上推理的大前提是()A.正方形都是对角线相等的四边形B.矩形都是对角线相等的四边形C.等腰梯形都是对角线相等的四边形D.矩形都是对边平行且相等的四边形【解析】选B.根据题意，用演绎推理即三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，因为由四边形是矩形，得到四边形的对角线相等的结论，所以大前提一定是矩形都是对角线相等的四边形.2.观察下列式子：1+，1+，1+，则可归纳出1+小于()A.B.C.D.【解析】选C.所猜测的分式的分母为n+1，分子恰好是第n+1个正奇数，即2n+1.3.用反证法证明命题“+是无理数”时，假设正确的是()A.假设是有理数B.假设是有理数C.假设或是有理数D.假设+是有理数【解析】选D.应对结论进行否定，则+不是无理数，即+是有理数.4.用数学归纳法证明1+=时，由n=k到n=k+1左边需要添加的项是()A.B.C.D.【解析】选D.由n=k到n=k+1时，左边需要添加的项是=.5.观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，记f=13+23+33+n3.根据上述规律，若f=225，则正整数n的值为()A.8B.7C.6D.5【解析】选D.由已知等式的规律可知f=，当f=225时，可得n=5.6.我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫作相似体.下列几何体中，一定属于相似体的有()两个球体；两个长方体；两个正四面体；两个正三棱柱；两个正四棱锥.A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】选C.类比相似形中的对应边成比例知，属于相似体.7.(2020浙江高考)设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：对于任意x，yS，若xy，都有xyT；对于任意x，yT，若xy，则S；下列命题正确的是()A.若S有4个元素，则ST有7个元素B.若S有4个元素，则ST有6个元素C.若S有3个元素，则ST有4个元素D.若S有3个元素，则ST有5个元素【解析】选A.对于AB，构造S=q，q2，q3，q4，则T=q3，q4，q5，q6，q7，q1且qN*，则ST=q，q2，q3，q4，q5，q6，q7共7个元素，对于CD，不妨设S=a，b，c，且abacab，所以，S，显然，=b，=a，=a，则S=a，a2，a3，T=a3，a4，a5，ST有5个元素，=ca=1，=b，有2种可能，()=a，b=c与S为集合矛盾，()=b，b2=c，S=，T=，ST有4个元素，所以，当S中有三个元素时，ST的元素个数可为4，可为5，不唯一.8.已知函数f(x)=sin(2x+)，满足f(x)f(a)对xR恒成立，则函数()A.f(x-a)一定为奇函数B.f(x-a)一定为偶函数C.f(x+a)一定为奇函数D.f(x+a)一定为偶函数【解析】选D.由题意得，f(a)=sin(2a+)=1时，2a+=2k+，kZ，所以f(x+a)=sin(2x+2a+)=sin2x+2k+=cos 2x，此时函数为偶函数.9.已知nN，则-与-的大小关系为()A.-B.-C.-=-D.不能确定【解析】选B.要比较-与-的大小，只需比较与的大小，只需比较与的大小，只需比较(n+4)(n+1)与(n+2)(n+3)的大小，即比较n2+5n+4和n2+5n+6的大小，因为n2+5n+4-(n2+5n+6)=-20，所以-0)，观察：f1(x)=f(x)=，f2(x)=f(f1(x)=，f3(x)=f(f2(x)=，f4(x)=f(f3(x)=，由归纳推理可得当nN+且n2时fn(x)=f(fn-1(x)=()A.B.C.D.【解析】选C.观察可得，所给的函数式的分子不变都是x，而分母是由两部分的和组成，第一部分的系数分别是1，3，7，15，2n-1，第二部分的数分别是2，4，8，16，2n，所以fn(x)=f(fn-1(x)=. 11.观察下列各式：72=49，73=343，74=2 401，则72 019的末两位数字为()A.01B.43C.07D. 49【解析】选B.72=49，73=343，74=2 401，75=07，76=49，77=43，78=01，79=07，易观察出末两位数是呈周期变化的，周期为4，所以72 019=74504+3，72 019的末两位数字是43.12.已知数列an满足a1=，an+1=1-，则a2 019等于()A.B.-1C.2D.3【解析】选C.因为a1=，an+1=1-，所以a2=1-=-1，a3=1-=2，a4=1-=，a5=1-=-1，a6=1-=2，所以an+3k=an(nN+，kN+).所以a2 019=a3+3672=a3=2.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上)13.观察下列不等式：1，1+1，1+，1+2，1+，由此猜测第n个不等式为_.【解析】由3=22-1，7=23-1，15=24-1，可猜测第n个不等式为1+.答案：1+14.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(-3，4)，且法向量为n=(1，-2)的直线方程为1(x+3)+(-2)(y-4)=0，即x-2y+11=0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为m=(-1，-2，1)的平面的方程为_.【解析】在所求平面内任取一点P(x，y，z)，则=(x-1，y-2，z-3)，因为所求平面的法向量为m=(-1，-2，1)，所以类比平面中求动点轨迹方程的方法，可得-(x-1)-2(y-2)+1(z-3)=0，即x+2y-z-2=0.答案：x+2y-z-2=015.给出下列不等式：ab0，且a2+=1，则aba2b2；a，bR，且abb0，m0，则；4(x0).其中正确的序号为_.【解析】ab0，所以a，所以a2+=12=ab，所以1-ab0，所以ab-a2b2=ab(1-ab)0，所以aba2b2正确.+2=，因为abb0，m0，所以b(b+m)0，b-a0，所以0，所以0时，用分析法证明如下：要证(a+b)，只需证()2，即证a2+b2(a2+b2+2ab)，即证a2+b22ab.因为a2+b22ab对一切实数恒成立，所以(a+b)成立.综上所述，对任意实数a，b不等式都成立.18.(12分)求证：当x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根时bc0.【证明】假设bc=0.(1)若b=0，c=0，方程变为x2=0，则x1=x2=0是方程x2+bx+c2=0的两个根，这与方程有两个不相等的非零实数根矛盾.(2)若b=0，c0，方程变为x2+c2=0，但c0，此时方程无解，与x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根矛盾.(3)若b0，c=0，方程变为x2+bx=0，方程的根为x1=0，x2=-b，这与方程有两个不相等的非零实数根相矛盾.综上所述，可知bc0.19.(12分)已知f(x)=x-x2，设0a1，an+1=f(an)，nN+，证明：an.【证明】当n=1时，0a1，不等式an成立；因为a2=f(a1)=-+，所以n=2时不等式也成立.假设n=k(k2)时，不等式ak成立，因为f(x)=x-x2的对称轴为x=，知f(x)在上是增加的，所以由ak，得f(ak)f.所以ak+1-+-=-.所以当n=k+1时，不等式也成立.根据知，对任何nN+，不等式an成立.20.(12分)已知等差数列an的公差d大于0，且a2，a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列bn的前n项和为Tn且Tn=1-bn.(1)求数列an，bn的通项公式.(2)设数列an的前n项和为Sn，试比较与Sn+1的大小，并说明理由.【解析】(1)设an的首项为a1，因为a2，a5是方程x2-12x+27=0的两根，所以解得所以an=2n-1.因为n=1时，b1=T1=1-b1，所以b1=，当n2时，Tn=1-bn，Tn-1=1-bn-1，-得bn=bn-1，所以数列bn是等比数列.所以bn=.(2)Sn=n2，Sn+1=(n+1)2，=.以下比较与Sn+1的大小：当n=1时，=，S2=4，S2，当n=2时，=，S3=9，S3，当n=3时，=，S4=16，S5，猜想：n4时，Sn+1.下面用数学归纳法证明：当n=4时，已证.假设当n=k(kN+，k4)时，Sk+1，即(k+1)2，那么当n=k+1时，=33(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1(k+1)+12=S(k+1)+1.综合，当n4，nN+时，Sn+1.21.(12分)已知a0，利用分析法证明：-a+-2.【证明】要证-a+-2，只需证+2a+，因为a0，所以不等式两边均大于零，因此只需证，即证a2+4+4a2+4+2，只需证，只需证a2+，即证a2+2，只需证0，而0显然成立，所以原不等式成立.22.(12分)已知函数f=ax2+bx+c及函数g(x)=-bx(a，b，cR)，若abc且a+b+c=0.(1)证明：f(x)的图像与g(x)的图像一定有两个交点；(2)请用反证法证明：-2bc，且a+b+c=0，所以 a0，b=-，所以=4b2-4ac=4-4ac=40，所以ax2+2bx+c=0有两个不相等的实数根，即两函数图像一定有两个交点.(2)若结论不成立，则-2或-，由-2，结合(1)a0，得c-2a，即a+c-a，所以-b-a，所以ab，这与条件中ab矛盾；再由-，得2c-a，即c-(a+c)=b，所以bc，这与条件中bc矛盾，故假设不成立，原不等式成立.