初中数学等腰三角形分类讨论与存在性问题.doc

初中数学等腰三角形的分类讨论
等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。那么在什么情况下应该分类讨论呢？本课分以下几种情形讲述。
一. 遇角需讨论
例1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ）
A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75°
说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。
二. 遇边需讨论
例2. 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。
说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。
三. 遇中线需讨论
例3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，
说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。
四. 遇高需讨论
例4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。
简析：
例5. 为美化环境，计划在某小区内用的草皮铺设一块一边长为10的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
说明：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。
五. 遇中垂线需讨论
例6.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。
说明：这里的---最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，这样才能正确解题。
等腰三角形的存在性问题
专题攻略
如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．
已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．
解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．
几何法一般分三步：分类、画图、计算．
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．
针对训练
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．

2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．

3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标．

4.如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案:
1．因为D（3，4），所以OD＝5，．
①如图1，当PD＝PO时，作PE⊥OD于E．
在Rt△OPE中，，，所以．
此时点P的坐标为．
②如图2，当OP＝OD＝5时，点P的坐标为(5，0)．
③如图3，当DO＝DP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点P的坐标为(6，0)．

第1题图1 第1题图2 第1题图3
2．在Rt△ABC中，.因此.
在△PQC中，CQ＝t，CP＝10－2t.

第2题图1 第2题图2 第2题图3
①如图1，当时，，解得(秒).
②如图2，当时，过点Q作QM⊥AC于M，则CM＝.
在Rt△QMC中，，解得(秒).
③如图3，当时，过点P作PN⊥BC于N，则CN＝.
在Rt△PNC中，，解得(秒).
综上所述，当t为时，△PQC为等腰三角形.
3．由y＝2x＋2得，A(－1，0)，B(0，2)．所以OA＝1，OB＝2．
如图，由△AOB∽△QOP得，OP∶OQ＝OB∶OA＝2∶1．
设点Q的坐标为(0，m)，那么点P的坐标为(2m，0)．
因此AP2＝(2m＋1)2，AQ2＝m2＋1，PQ2＝m2＋(2m)2＝5m2．
①当AP＝AQ时，AP2＝AQ2，解方程(2m＋1)2＝m2＋1，得或．所以符合条件的点P不存在．
②当PA＝PQ时，PA2＝PQ2，解方程(2m＋1)2＝5m2，得．所以．
③当QA＝QP时，QA2＝QP2，解方程m2＋1＝5m2，得．所以．

第3题图
4．（12临沂26）
（1）如图，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．
在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．
所以点B的坐标为．
（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，
代入点B，．解得．
所以抛物线的解析式为．
（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．
①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．
当P在时，B、O、P三点共线．
②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以．解得．
③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以．解得．
综合①、②、③，点P的坐标为．

第4题图

4 / 4