2021-2022学年高中数学-全书要点速记学案-新人教A版必修第一册.doc

2021-2022学年高中数学 全书要点速记学案 新人教A版必修第一册2021-2022学年高中数学 全书要点速记学案 新人教A版必修第一册年级：姓名：全书要点速记第一章集合与常用逻辑用语1常用数集数集名称非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集字母表示NN*或NZQR2集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序性3元素与集合的关系：4集合的表示方法：列举法、描述法5集合间的基本关系重要结论(1)若集合A中含有n个元素，则有2n个子集，有2n1个非空子集，有2n1个真子集，有2n2个非空真子集(2)子集关系的传递性，即AB，BCAC.易错警示空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解6集合的基本运算(1)并集：ABx|xA或xB；(2)交集：ABx|xA且xB；(3)补集：UAx|xU且xA重要结论ABABAABB.7充分条件与必要条件若p，则q若q，则pp是q的_条件真命题假命题充分不必要假命题真命题必要不充分真命题真命题充要假命题假命题既不充分也不必要8全称量词命题与存在量词命题的否定含有一个量词的命题的否定，既要否定量词，又要否定结论全称量词命题p：xM，p(x)，它的否定为p：x0M，p(x0)；存在量词命题p：x0M，p(x0)，它的否定为p：xM，p(x)9根据集合间的关系判断充分、必要条件集合关系p是q的_条件Ax|p(x)，Bx|q(x)AB充分不必要BA必要不充分AB充要AB且BA既不充分也不必要第二章一元二次函数、方程和不等式1作差法比较两个实数的大小ab0ab；ab0ab；ab0abbb，bcac；性质3(可加性)：abacbc；性质4：ab，c0acbc；ab，c0acb，cdacbd；性质6：ab0，cd0acbd；性质7：ab0，nN，n2anbn；性质8：ab0，nN，n2.3基本不等式：(1)不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号(3)基本不等式的变形：ab2(a，bR)(4)重要不等式： a2b22ab(a，bR)(5)最值定理：已知x0，y0，则如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2.(简记：积定和最小)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值.(简记：和定积最大)易错警示应用基本不等式求最值的前提条件：“一正、二定、三相等”4解一元二次不等式的一般步骤计算判别式000求根有两个不等的实数根x 1，x 2有两个相等的实数根x 1，x 2无实数根画图f(x) 0x|xx1或xx2Rf(x)0x| x10(f(x)(g(a)f(x)max(g(a)00f(x)在a，b上是增函数； (x1x2)f(x1)f(x2)00，m，nN*，且n1)(2)a(a0，m，nN*，且n1)(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义3有理指数幂的运算性质(1)arasars(a0，r，sQ)；(2)(ar)sars(a0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)4指数式与对数式的关系(1)互化式：若a0，且a1，则axNlogaNx.(2)对数的基本性质零和负数没有对数，即真数N0；1的对数为0，即loga10(a0，且a1)；底数的对数等于1，即logaa1(a0，且a1)(3)两个重要的对数恒等式alogaNN(a0，且a1，N0)；logaaNN(a0，且a1)5对数的四则运算法则如果a0，且a1，M0，N0，那么： (1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logalogaMlogaN；(3)logaMnnlogaM(nR)6对数的换底公式及推论(1)换底公式：logab(a0，且a1，c0，且c1，b0)(2)常用推论： logablogba1；logablogbclogca1；logambnlogab(a0，a1，b0，m0)7指数、对数函数的图象及性质说明(1)研究指数、对数函数的性质时，要首先考虑底数a的取值范围，分a1和0a1两种情况进行讨论，在这两种情况下，函数的单调性不同，相应的图象也不同，其次要注意函数的定义域(2)底数互为倒数，两指数函数的图象关于y轴对称；两对数函数的图象关于x轴对称(3)同底数的指数函数和对数函数的图象关于直线yx对称8函数的应用(二)(1)函数的零点概念：函数f(x)的零点是使f(x)0的实数x.(2)函数的零点与函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：(3)函数零点存在定理条件：函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线；f(a)f(b)0.结论：函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根特别提醒(1)函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数如图，虽然都有f(a)f(b)0，但图中函数在区间(a，b)内有4个零点，图中函数在区间(a，b)内仅有1个零点 (2)函数零点存在定理是不可逆的，因为f(a)f(b)0可以推出函数yf(x)在区间(a，b)内存在零点但是，已知函数yf(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)f(b)0.(3)如果单调函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的实数解(4)二分法：对于在区间a，b上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法第五章三角函数1任意角和弧度制(1)终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ(2)角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180 rad rad1801 rad0.017 45 rad1 rad57.30度数弧度数弧度数度数(3)弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，(00)，则sin ，cos ，tan .(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦3同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21；(2)商数关系：tan .4三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限5正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k，2k递减区间2k，2k无对称中心(k，0)对称轴方程xkxk无重要结论函数f(x)Asin(x)(A0，0)为偶函数的充要条件是k(kZ); f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)6三角恒等变换(1)两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos()cos cos sin sin (C()；cos()cos cos sin sin (C()；sin()sin cos cos sin (S()；sin()sin cos cos sin (S()；tan()(T()；tan()(T()(2)二倍角公式sin 22sin cos ；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.(3)半角公式sin ；cos ；tan ；tan ；tan .(4)辅助角公式asin bcos sin()其中sin ，cos .重要结论(1)公式的常用变式tan tan tan()(1tan tan )；sin 2；cos 2.(2)降幂公式：sin2；cos2；sin cos sin 2.7函数yAsin(x)(1)函数yAsin(x)，A0，0中参数的物理意义(2)用五点法画yAsin(x)(A0，0，xR)一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A0(3)函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的两种途径方法一(先平移后伸缩)方法二(先伸缩后平移)易错警示左右平移是相对于自变量x而言的，与其系数无关8三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略利用三角恒等变换把函数化为f(x)Asin(x)b的形式(1)求周期：在0，A0的前提下，利用周期公式T即可计算出函数f(x)的最小正周期(2)求单调区间：在0的前提下，2kx2k(kZ)的解集即为函数f(x)的单调递增区间(3)求最值：代换法：若A0，0，把x看作一个整体，由x的范围计算出ux的取值范围，然后结合函数ysin u的图象确定函数f(x)的最小值和最大值转化法：形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)换元法：形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的最值