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2021-2022学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系学案 新人教A版必修2

2021-2022学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系学案 新人教A版必修2

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2.1.2　空间中直线与直线之间的位置关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1.会判断空间两直线的位置关系．(易错点)
2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角．(难点、易错点)
3.能用公理4解决一些简单的相关问题. (重点)
1.通过对空间直线位置关系的学习，培养直观想象的数学核心素养．
2.通过求异面直线所成角及公理4的运用，培养逻辑推理、直观想象的数学核心素养．

1．空间直线的位置关系
(1)异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线．
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．

①　　　　　　②

(3)空间两条直线的三种位置关系
①从是否有公共点的角度来分：

②从是否共面的角度来分：

思考：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
[提示]　不一定. 可能平行、相交或异面．
2．公理4及定理
(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：a∥b，b∥c⇒a∥c．
(2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角就是直线a′与b′所成的锐角(或直角).
(2)范围：0°＜θ≤90°．特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b．

1．空间任意两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为(　　)
A．60°　　　B．120°　　　C．30°　　　D．60°或120°
D　[α与β相等或互补，β为60°或120°，故选D.]
2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是(　　)
A．共面 B．平行
C．异面 D．平行或异面
D　[平行直线和异面直线都没有公共点，故应选D.]
3．如图所示，正方体ABCD­A′B′C′D′中，异面直线A′B′与BC所成的角为________．异面直线AD′与BC所成的角为________．

90°　45°　[∵BC∥B′C′，
∴∠A′B′C′即异面直线A′B′与BC所成的角，∴∠A′B′C′＝90°，又BC∥AD，∴∠D′AD是异面直线AD′与BC所成的角，∴∠D′AD＝45°.]

空间两条直线位置关系的判定
【例1】　(1)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为 (　　)

A.1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
C　[还原的正方体如图所示，是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.]

(2)以下选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是(　　)

A　　　　B　　　C　　　　D　　
C　[本题容易错选A或B或D.不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择．A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交．故选C.]

1．判断空间中两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.
2．判定两条直线是异面直线的方法
(1)证明两条直线既不平行又不相交．
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这

个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，B∉l，l⊂α，则AB与l是异面直线(如图).

1．(1)一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是(　　)
A．平行或异面　 B．相交或异面
C．异面 D．相交
(2)在空间四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC，BD的中点，则BE与CF的位置关系为(　　)
A．平行 B．异面
C．相交 D．以上均有可能
(1)B　(2)B　[(1)假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行(否则c∥b，则有a∥b，矛盾)；因此c与b可能相交或异面．
(2)根据题意画出图形如图，BE与点C在平面ABC内，且BE不过点C，又点F∉平面ABC，故BE与CF既不平行也不相交，只能异面．]

公理4及等角定理的应用
【例2】　如图所示，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E、F、E′、F′分别是AB、BC、A′B′、B′C′的中点．

求证：EE′∥FF′.
[证明]　因为E、E′分别是AB、A′B′的中点，
所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.
所以四边形EBB′E′是平行四边形．
所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.
所以EE′∥FF′.

1．证明空间两条直线平行的方法
(1)平面几何法
三角形中位线、平行四边形的性质等．
(2)定义法
用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点．
(3)公理4
用公理4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由公理4即可得到a∥c.
2．证明两个角相等或互补的方法
(1)利用等角定理．
(2)利用三角形全等或相似．

2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.
[证明]　因为F为BB1的中点，所以BF＝BB1，因为G为DD1的中点，所以D1G＝DD1.

又BB1綊DD1，所以BF綊D1G.
所以四边形D1GBF为平行四边形．
所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.
所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.

异面直线所成的角
[探究问题]
1.已知直线a，b是两条异面直线，如图，如何作出这两条异面直线所成的角？

[提示]　如图，在空间中任取一点O，过点O作直线a′∥a，b′∥b，则两条相交直线a′，b′所成的锐角(或直角)θ，即两条异面直线a，b所成的角．

2．异面直线a与b所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？
[提示]　异面直线a与b所成角的大小只与a，b的相互位置有关，与点O的位置选择无关，一般情况下为了简便，点O常选取在两条异面直线中的一条上．
【例3】　如图，三棱锥A­BCD中，AC⊥BD，E在棱AB上，F在棱CD上，并使AE∶EB＝CF∶FD＝m(m＞0)，设α为异面直线EF和AC所成的角，β为异面直线EF和BD所成的角，试求α＋β的值.

[解]　过点F作MF∥BD，交BC于点M，连接ME，

则CM∶MB＝CF∶FD ＝m，
又因为AE∶EB＝CF∶FD＝m，
所以CM∶MB＝ AE∶EB，
所以EM∥AC，
所以α＝∠MEF，β＝∠MFE，
所以AC与BD所成的角为∠EMF.
因为AC⊥BD，所以∠EMF＝90°，
所以α＋β＝ 90°.

将本例变为： 如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝，求异面直线AD和BC所成的角．

[解]　如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.

因为E，F分别是AB，CD的中点，
故EG∥BC且EG＝BC＝1，
FG∥AD，且FG＝AD＝1，即∠EGF为所求角，
又EF＝，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.

求两条异面直线所成的角的一般步骤
(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角．
(2)计算角：求角度，常利用三角形．
(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．

1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．
2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．

1．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为(　　)
A．130°　　　　 B．50°
C．130°或50° D．不能确定
C　[根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.]
2．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：

(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面　[(1)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．]
3．如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．

[解]　取AC的中点G，连接EG，FG，
则FG∥CD，EG∥AB，

所以∠FEG即为EF与AB所成的角，
且FG＝CD，EG＝AB，
又AB＝CD，
所以FG＝EG.
又由AB⊥CD得FG⊥EG，所以∠FEG＝45°.
故EF和AB所成的角为45°.