2020-2021学年高中数学-第四章-指数函数、对数函数与幂函数单元素养评价新人教B版必修第二册.doc

2020-2021学年高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数单元素养评价新人教B版必修第二册

2020-2021学年高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数单元素养评价新人教B版必修第二册

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单元素养评价(一)(第四章)
(120分钟　150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若幂函数f(x)=xa的图像过点(4,2),则f(a2)= (　　)
A.a B.-a C.±a D.|a|
【解析】选D.由题意f(4)=4a=2,
解得a=,
所以f(x)=,
所以f(a2)=(a2=|a|.
2.设a∈,则使函数y=xa的定义域是R,且为奇函数的所有a的值是(　　)
A.1,3 B.-1,1
C.-1,3 D.-1,1,3
【解析】选A.当a=-1时,y=x-1的定义域是,且为奇函数;当a=1时,函数y=x的定义域是R且为奇函数;当a=时,函数y=的定义域是{x|x≥0}且为非奇非偶函数.当a=3时,函数y=x3的定义域是R且为奇函数.
3.(2020·全国Ⅱ卷)若2x-2y<3-x-3-y,则(　　)
A.ln(y-x+1)>0 B. ln(y-x+1)<0
C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0
【解析】选A.由2x-2y<3-x-3-y
得:2x-3-x<2y-3-y,
令f(t)=2t-3-t,则f(x)<f(y),
因为y=2x为R上的增函数,y=3-x为R上的减函数,所以f(t)为R上的增函数,所以x<y,
所以y-x>0,所以y-x+1>1,
所以ln(y-x+1)>0,则A正确,B错误;
因为|x-y|与1的大小关系不确定,故C、D无法确定.
4.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图像如图所示,则下列结论成立的是 (　　)

A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1
C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1
【解析】选D.因为函数单调递减,所以0<a<1,
当x=1时loga(x+c)=loga(1+c)<0,
即1+c>1,即c>0,
当x=0时loga(x+c)=logac>0,
即c<1,即0<c<1.
5.(2020·天津高一检测)已知a=21.2,b=2log52,c=ln ,则 (　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.b>c>a
【解析】选A.a=21.2>21=2,
b=2log52=log54<log55=1且b=log54>log51=0,
c=ln =-ln 3<-ln e=-1,
即c<-1<0<b<1<2<a,所以a>b>c.
6.(2019·北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A.1010.1 B.10.1
C.lg 10.1 D.10-10.1
【解析】选A.令m1=-26.7,m2=-1.45,
则m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25=lg,lg=10.1,=1010.1.
7.(2020·三明高一检测)已知函数f(x)=的值域为[-8,1],则实数a 的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-3] B.[-3,0)
C.[-3,-1] D.
【解析】选B.当0≤x≤4时,f(x)=-x2+2x=-+1,
所以-8≤f(x)≤1;
当a≤x<0时,f(x)=-,
所以-≤f(x)<-1,
因为f(x)的值域为[-8,1],
所以故-3≤a<0.
8.(2020·厦门高一检测)函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数;②存在⊆D使f(x)在上的值域为,那么就称y=f(x)为“成功函数”.若函数f(x)=loga(ax+t),(a>0,a≠1)是“成功函数”,则t的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
【解析】选A.因为f(x)=loga(ax+t),(a>0,a≠1)是“成功函数”,当a>1时,f(x)在其定义域内为增函数,
当0<a<1时,f(x)在其定义域内为增函数,所以f(x)在其定义域内为增函数,
由题意得f(x)=loga(ax+t)=,
所以ax+t=,ax-+t=0,令q=>0,
所以q2-q+t=0 有两个不同的正数根,
所以
解得t∈.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.下列函数中,其定义域与函数y=eln x的定义域相同的是 (　　)
A.y=x B.y=lg x
C.y=2x D.y=
【解析】选BD.函数y=eln x的定义域为(0,+∞),函数y=x的定义域为R,不满足要求;函数y=lg x的定义域为(0,+∞),满足要求;函数y=2x的定义域为R,不满足要求;函数y=的定义域为(0,+∞),满足要求.
10.对于0<a<1,下列四个不等式中成立的是 (　　)
A.loga(1+a)<loga
B.loga(1+a)>loga
C.a1+a<
D.a1+a>
【解析】选BD.因为0<a<1,所以a<,
从而1+a<1+.
所以loga(1+a)>loga.
又因为0<a<1,所以a1+a>.
11.设函数f(x)=2x,对于任意的x1,x2(x1≠x2),下列命题中正确的是 (　　)
A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)
B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)
C.>0
D.f<
【解析】选ACD.·=,所以A成立,×≠,所以B不成立,函数f(x)=2x,在R上是单调递增函数,若x1>x2则f(x1)>f(x2),则>0,若x1<x2则f(x1)<f(x2),则>0,故C正确;
f<说明函数是凹函数,
而函数f(x)=2x是凹函数,故D正确.
12.(2020·枣庄高一检测)已知函数f(x)=logax图像经过点(4,2),则下列结论正确的有 (　　)
A.函数为增函数
B.函数为偶函数
C.若x>1,则f(x)>0
D.若0<x1<x2,则<f.
【解析】选ACD.由题知2=loga4,a=2,故f(x)=log2x.
对A,函数为增函数正确.
对B,f(x)=log2x不为偶函数.
对C,当x>1时, f(x)=log2x>log21=0成立.
对D,因为f(x)=log2x往上凸,故若0<x1<x2,则<f成立.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.(2020·长春高一检测)设log23=a,log215=b,则log275=________(结果用a,b表示). 
【解析】依题意,知log215=b,
即log23+log25=b,可得log25=b-a,
则log275=log23+2log25=a+2(b-a)=2b-a.
答案:2b-a
14.(2020·石嘴山高一检测)不等式>1的解集是________. 
【解析】>1⇔x2-2x-3<0⇔-1<x<3.
答案:
15.设f(x)=则f(f(2))=________. 
【解析】因为f(2)=log3(22-1)=1,
所以f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.
答案:2
16.已知函数f(x)=为定义在区间[-2a,3a-1]上的奇函数,则a=________,
f=________. 
【解析】因为f(x)是定义在[-2a,3a-1]上的奇函数,
所以定义域关于原点对称,即-2a+3a-1=0,所以a=1,
因为函数f(x)=为奇函数,
所以f(-x)===-,
即b·2x-1=-b+2x,所以b=1,
所以f=,
所以f===2-3.
答案:1　2-3
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)(1)已知log2(16-2x)=x,求x的值.
(2)计算:+810.75-×+log57·log725.
【解析】(1)因为log2(16-2x)=x,
所以2x=16-2x,化简得2x=8,
所以x=3.
(2)原式=1+(34-3×(23+·
=1+27-12+2=18.
18.(12分)(2020·南昌高一检测)已知函数f(x)=2x-4x.
(1)求y=f(x)在[-1,1]上的值域;
(2)解不等式f(x)>16-9×2x;
(3)若关于x的方程f(x)+m-1=0在[-1,1]上有解,求m的取值范围.
【解析】(1)设t=2x,因为x∈[-1,1],
所以t∈,y=t-t2=-+,
所以t=时,f(x)max=,
t=2时,f(x)min=-2.
所以y=f(x)在[-1,1]上的值域为.
(2)设t=2x,由f(x)>16-9×2x,得t-t2>16-9t,
即t2-10t+16<0,
所以2<t<8,即2<2x<8,所以1<x<3,
所以不等式的解集为(1,3).
(3)方程有解等价于m在1-f(x)的值域内,
所以m的取值范围为.
19.(12分)(2020·合肥高一检测)若函数y=f(x)=为奇函数.
(1)求a的值;(2)求函数的定义域;(3)求函数的值域.
【解析】因为函数y=f(x)==a-,
(1)由奇函数的定义,可得f(-x)+f(x)=0,
即2a--=0,
所以a=-.
(2)因为y=--,
所以3x-1≠0,即x≠0.
所以函数y=--的定义域为{x|x≠0}.
(3)由(2)知x≠0,
因为3x -1≠0且3x-1>-1,
所以-1<3x-1<0或3x-1>0.
所以-->或--<-.
即函数的值域为.
20.(12分)已知a>2,函数f(x)=log4-log4.
(1)求f(x)的定义域;
(2)当a=4时,求不等式f≤f的解集.
【解析】(1)由题意得:
解得
因为a>2,所以2<x<a,故f(x)的定义域为.
(2)因为a=4,
所以f=log4-log4,f=log41-log41=0,
因为f≤f,
所以log4-log4≤0,
即log4≤log4,
从而解得<x≤4,
故不等式f≤f的解集为.
21.(12分)对年利率为r的连续复利,要在x年后达到本利和A,则现在投资值为B=Ae-r x,e是自然对数的底数.
如果项目P的投资年利率为r=6%的连续复利.
(1)现在投资5万元,写出满n年的本利和,并求满10年的本利和.(精确到0.1万元)
(2)一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金,若每年初一次性给项目P投资2万元,那么,至少满多少年基金共有本利和超过一百万元?(精确到1年)
【解析】(1)由题意可得5=A·e-0.06n,
所以A=5·e0.06n;
当n=10时,A=5·e0.6≈9.1万元.
(2)n年后的本利和为A=2·e0.06n+2·e0.06(n-1)+2·e0.06(n-2)+…+2·e0.06
=2·,
令2·>100,
可得n>22.7.
所以至少满23年后基金共有本利和超过一百万元.
22.(12分)已知函数f(x)=log2.
(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值.
(2)若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值范围.
(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围.
【解析】(1)函数f(x)是R上的奇函数,则f(0)=0,求得a=0.
又此时f(x)=-x是R上的奇函数.所以a=0为所求.
(2)函数f(x)的定义域是一切实数,则+a>0恒成立.
即a>-恒成立,由于-∈(-∞,0).故只要a≥0即可.
(3)由已知函数f(x)是减函数,故f(x)在区间[0,1]上的最大值f(0)=log2(1+a),
最小值是f(1)=log2.
由题设log2(1+a)-log2
≥2⇒.
故-<a≤-为所求.