湖北省荆门市2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题文新人教A版.doc

　2012—2013学年湖北省荆门市高二(下）期末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题,每小题5分，满分50分）
1．(5分）（2005•重庆一模）若集合M=｛x｜x﹣2＜0}，N={x｜｜x﹣1｜＜2｝，则M∩N=（　　）

A．
｛x｜﹣2＜x＜2｝
B．
{x｜x＜2｝
C．
｛x｜﹣1＜x＜2｝
D．
｛x｜﹣1＜x＜3｝

考点：
交集及其运算．
专题：
计算题．
分析：
由不等式的解法，易得M、N，进而由交集的意义，可得答案．
解答：
解：M={x｜x﹣2＜0}=｛x|x＜2｝,N={x｜|x﹣1|＜2}=｛x|﹣1＜x＜3｝,
所以M∩N={x｜﹣1＜x＜2｝，
故选C．
点评：
本题考查集合间的交集的运算,应注意不等式的正确求解，并结合数轴判断集合间的关系．

2．(5分）设i是虚数单位，复数z=,则在复平面内对应的点在(　　）

A．
第一象限
B．
第二象限
C．
第三象限
D．
第四象限

考点:
复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义．
专题：
计算题．
分析：
利用两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，化简复数等于1+i，此复数复平面内对应的点
的坐标为（1，1),由此可得结论．
解答：
解：∵复数z===1+i，则此复数复平面内对应的点的坐标为（1,1），
故选A．
点评：
本题主要考查复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．

3．（5分)（2011•吉安二模）已知x与y之间的一组数据是（　　)
x
0
1
2
3
y
2
4
6
8
则y与x的线性回归方程y=bx+a必过点(　　）

A．
（2,2)
B．
（1,2）
C．
（1.5，0）
D．
（1.5，5)

考点：
线性回归方程．
专题:
计算题．
分析：
做出这组数据的x，y的平均数,得到这组数据的样本中心点，因为线性回归直线一定过样本中心点，得到y与x的线性回归方程y=bx+a必过点样本中心点．
解答：
解：根据所给的表格得到
，
，
∴这组数据的样本中心点是（1.5，5）
∵线性回归直线一定过样本中心点，
∴y与x的线性回归方程y=bx+a必过点（1。5,5）
故选D．
点评：
本题考查线性回归方程,考查线性回归直线一定过样本中心点，本题是一个基础题，这种题目可以单独出现也可以作为解答题目的一部分．

4．（5分）（2013•威海二模）一算法的程序框图如图所示，若输出的，则输入的x可能为（　　)

A．
﹣1
B．
1
C．
1或5
D．
﹣1或1

考点：
选择结构．
专题：
图表型．
分析:
根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是求分段函数的函数值．利用输出的值，求出输入的x的值即可．
解答：
解：这是一个用条件分支结构设计的算法，
该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y=的函数值，
输出的结果为，当x≤2时，sin=,解得x=1+12k，或x=5+12k，k∈Z,即x=1，﹣7，﹣11,…
当x＞2时,2x=，解得x=﹣1（不合，舍去），
则输入的x可能为1．
故选B．
点评：
根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型,注意读懂框图的作用，考查计算能力

5．（5分)在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
几何概型．
专题:
概率与统计．
分析:
首先分析题目求在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积超过 的概率，即可考虑画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么．再根据几何关系求解出它们的比例即可．
解答:
解：记事件A={△PBC的面积超过｝，
基本事件空间是三角形ABC的面积，（如图)
事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（DE是三角形的中位线），
因为阴影部分的面积是整个三角形面积的 ，
所以P（A）=1﹣=．
故选A．

点评：
本题主要考查了几何概型．由这个题目可以看出，解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指面积还是长度或体积，同学们需要注意．

6．(5分）某路段检查站监控录象显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如图的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90km/h 的约有（　　）

A．
100辆
B．
200辆
C．
300辆
D．
400辆

考点:
频率分布直方图．
专题:
计算题；概率与统计．
分析：
根据小矩形的面积之和,算出位于60~90的前3组数的频率之和为0.7，从而得到位于90～110的数据的频率之和为1﹣0。7=0。3，再由频率计算公式即可算出这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90km/h 的车辆数．
解答:
解：∵位于60～70、70～80、80～90的小矩形的面积分别为
S1=0.01×10=0.1，S2=0。02×10=0.2，S3=0。04×10=0.4
∴位于60~70、70～80、80～90的据的频率分别为0。1、0.2、0。4
可得位于60～90的前3组数的频率之和为0.1+0.2+0。4=0.7
由此可得位于90～110的数据的频率之和为1﹣0.7=0.3
∴位于90～110的频数为1000×0。3=300，
即在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90km/h 的约有300辆
故选:C
点评：
本题给出频率分布直方图,求该时段内通过该站的汽车中速度不小于90km/h的车辆数，着重考查了频率分布直方图的理解和频率计算公式等知识，属于基础题．

7．（5分）函数y=x﹣sinx，x∈[,π］的最大值是 (　　）

A．
1
B．
2π
C．
π
D．
4

考点：
利用导数研究函数的极值．
专题：
计算题．
分析:
函数y=x在给定区间上是增函数，而y=sinx在给定区间上减函数，在同一个区间上增函数减去一个减函数则整个这个函数在给定区间上是增函数，这样最大值就在端点处取到．
解答:
解：∵y=x在[，π]上单调递增,
y=﹣sinx在［，π]上单调递增
∴y=x﹣sinx在［,π］上单调递增，
即最大值为f（π）=π,
故答案为π．
故选C．
点评：
本题考查了利用函数的单调性求函数的最值问题,属于基础题．

8．(5分）已知双曲线﹣=1(a＞0,b＞0）的离心率为2,该双曲线与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点，若｜AB|=6，则双曲线的方程为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点:
双曲线的标准方程．
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
根据双曲线方程,求出抛物线的准线方程,利用｜AB|=6，即可求得结论．
解答：
解：∵抛物线y2=16x，2p=16，p=8,∴=4．
∴抛物线的准线方程为x=﹣4．
设双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y＞0），
则｜AB｜=|y﹣（﹣y）｜=2y=6，∴y=3．
将x=﹣4，y=3．
代入双曲线C：﹣=1，得，①
又双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴，
即,b2=3a2②
由①②得a2=1,b2=3，
∴双曲线C的方程为,
故选A．

点评：
本题考查抛物线，双曲线的几何性质,考查学生的计算能力，属于基础题．

9．（5分）（2013•牡丹江一模）下列命题正确的个数(　　）
（1)命题“"的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x";
（2）函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；
（3）“x2+2x≥ax在x∈［1，2]上恒成立"⇔“（x2+2x）min≥(ax）max在x∈[1，2］上恒成立”
(4）“平面向量与的夹角是钝角"的充分必要条件是“”

A．
1
B．
2
C．
3
D．
4

考点：
命题的真假判断与应用;平面向量数量积的运算．
专题:
阅读型．
分析：
（1）根据特称命题的否定是全称命题来判断是否正确；
（2）化简三角函数，利用三角函数的最小正周期判断；
(3）用特例法验证（3）是否正确；
(4）根据向量夹角为π时,向量的数量积小于0，来判断（4)是否正确．
解答：
解:（1）根据特称命题的否定是全称命题,∴（1）正确；
（2）f（x）=﹣=cos2ax，最小正周期是=π⇒a=±1,∴（2）正确;
（3）例a=2时,x2+2x≥2x在x∈[1,2]上恒成立,而（x2+2x）min=3＜2xmax=4，∴(3)不正确;
（4)∵•=｜||｜cos,∵=π时＜0，∴(4）错误．
故选B
点评:
本题借助考查命题的真假判断，考查命题的否定、向量的数量积公式、三角函数的最小正周期及恒成立问题．

10．（5分）（2013•辽宁一模）若a＞1，设函数f(x)=ax+x﹣4的零点为m，g（x）=logax+x﹣4的零点为n，则的取值范围（　　）

A．

B．
（1，+∞）
C．
(4，+∞)
D．

考点：
函数零点的判定定理；反函数．
专题:
计算题．
分析：
把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数,得到两个函数图象之间的关系求出m，n之间的关系个，根据两者之和是定值,利用基本不等式得到要求的结果．
解答：
解：函数f（x）=ax+x﹣4的零点是函数y=ax与函数y=4﹣x图象交点A的横坐标，
函数g（x)=logax+x﹣4的零点是函数y=logax与函数y=4﹣x图象交点B的横坐标，
由于指数函数与对数函数互为反函数，
其图象关于直线y=x对称，
直线y=4﹣x与直线y=x垂直，
故直线y=4﹣x与直线y=x的交点（2，2）即是A，B的中点，
∴m+n=4，
∴，
当m=n=1等号成立，
故所求的取值范围是［1，+∞）．
故选B．
点评：
本题综合函数零点、考查反函数的性质,考查利用基本不等式求最值．考查根据函数图象的对称性找到两个函数零点的关系．是一道在知识网络的交汇处命题的优秀试题．

二、填空题（共7小题,每小题5分，满分35分）
11．（5分）已知a＞0，b＞0,且，则a与b的大小关系是　a＞b　．

考点：
函数单调性的判断与证明；不等关系与不等式．
专题：
探究型．
分析：
利用条件,将式子进行等价转化为整式不等式，然后判断a，b的大小关系．
解答：
解：因为a＞0，b＞0，所以1+a＞0，1+b＞0．
所以由得a（1+b)＞b(1+a),
即a+ab＞b+ab,所以a＞b．
故答案为：a＞b．
点评：
本题的考点是利用不等式确定a，b的大小关系,要求熟练掌握不等式的性质，以及判断大小的方法．

12．（5分）已知函数f（x）=，则此函数的单调递减区间是　（5，+∞）　．

考点:
复合函数的单调性．
专题：
函数的性质及应用．
分析:
先求出函数的定义域,然后利用复合函数的单调性确定函数f（x）的单调递减区间．
解答:
解：要使函数有意义，则x2﹣6x+5＞0，解得x＞5或x＜1,设t=x2﹣6x+5，则函数在（﹣∞，1）上单调递减，在（5,+∞）上单调递增．
因为函数，在定义域上为减函数，所以由复合函数的单调性性质可知,则此函数的单调递减区间是（5，+∞）．
故答案为：（5,+∞）．
点评：
本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”．

13．(5分）（2005•重庆）曲线y=x3在点（1，1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为　　．

考点：
利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：
计算题．
分析：
欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程,只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
解答：
解：∵y=x3，
∴y'=3x2,当x=1时，y'=3得切线的斜率为3，所以k=3;
所以曲线在点（1,1）处的切线方程为：
y﹣1=3×(x﹣1)，即3x﹣y﹣2=0．
令y=o得：x=，
∴切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为:
S=×(2﹣)×4=
故答案为：．
点评：
本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．

14．(5分）若点A的坐标为(3，2)，F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使｜MF｜+｜MA|取得最小值的M的坐标为　（2,2）　．

考点:
抛物线的简单性质．
专题：
计算题．
分析：
求出焦点坐标和准线方程，把｜MF|+｜MA｜转化为|MA|+|PM｜，利用 当P、A、M三点共线时，|MA｜+|PM｜取得最小值，把y=2代入抛物线y2=2x 解得x值,即得M的坐标．
解答:
解:由题意得 F（ ，0），准线方程为 x=﹣,设点M到准线的距离为d=｜PM｜，
则由抛物线的定义得|MA｜+｜MF|=｜MA|+｜PM｜,
故当P、A、M三点共线时，|MF|+｜MA｜取得最小值为｜AP|=3﹣（﹣）=．
把 y=2代入抛物线y2=2x 得 x=2，故点M的坐标是（2，2），
故答案为：(2，2)．

点评：
本题考查抛物线的定义和性质应用,解答的关键利用是抛物线定义,体现了转化的数学思想．

15．（5分）（2013•东至县一模）已知f（x)为偶数，且f(2+x)=f（2﹣x），当﹣2≤x≤0时，f(x）=2x，若n∈N*，an=f（n)，则a2013=　　．

考点:
数列的函数特性；函数解析式的求解及常用方法．
专题：
计算题；函数的性质及应用．
分析:
根据题意，可得函数f（x）的最小正周期为4,从而得出f（2013)=f（1)，再利用函数为偶函数及当﹣2≤x≤0时的表达式，即可求出a2013的值．
解答：
解：∵f（2+x）=f（2﹣x），
∴f（4+x）=f（2+（2+x））=f（2﹣（2+x））=f（﹣x）
又∵f（x）为偶数,即f（﹣x)=f(x）
∴f（4+x）=f（x)，得函数f（x）的最小正周期为4
∴f（2013）=f（503×4+1）=f（1）
而f（﹣1）=2﹣1=,可得f(1）=f（﹣1)=
因此，a2013=f（2013）=f（1)=
故答案为：
点评:
本题给出函数的奇偶性和周期,求自变量2013对应的函数值．着重考查了函数的奇偶性、周期性和数列的函数特性等知识,属于中档题．

16．（5分)椭圆+=1和双曲线﹣y2=1的公共焦点为F1、F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是　　．

考点:
圆锥曲线的共同特征．
专题：
计算题．
分析：
先求出公共焦点分别为F1，F2,再联立方程组求出P,由此可以求出 ,最后根据公式cos∠F1PF2=进行求解即可．
解答:
解:由题意知F1（﹣2，0）,F2（2,0），
解方程组 得 ,
取P点坐标为（ ），，
cos∠F1PF2==
故答案为:．
点评：
本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，属基础题．

17．（5分）已知曲线方程f（x）=sin2x+2ax（a∈R），若对任意实数m直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是　a＜﹣1或a＞0　．

考点：
利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：
计算题．
分析:
先将条件“对任意实数m直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线”转化成f'（x)=﹣1无解，然后求出2sinxcosx+2a=﹣1有解时a的范围，最后求出补集即可求出所求．
解答：
解：∵对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线
∴曲线y=f（x）的切线的斜率不可能为﹣1
即f'（x）=2sinxcosx+2a=﹣1无解
∵0≤sin2x+1=﹣2a≤2
∴﹣1≤a≤0时2sinxcosx+2a=﹣1有解
∴对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线,则a的取值范围是a＜﹣1或a＞0
故答案为：a＜﹣1或a＞0
点评：
本题解题的关键是对“对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线"的理解，同时考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及转化的数学思想，属于基础题．

三、解答题（共5小题，满分65分)
18．（12分）已知a＞1，0＜x＜1，试比较｜loga(1﹣x）|与|loga(1+x）|的大小．

考点：
对数值大小的比较．
专题:
函数的性质及应用．
分析:
先通过讨论两个对数的符号，去掉绝对值，然后利用作差法比较两个对数的大小．
解答:
解:因为0＜x＜1，所以0＜1﹣x＜1，1＜1+x＜2．
又a＞1，所以loga(1﹣x）＜0,loga（1+x）＞0．
所以|loga(1﹣x）|﹣|loga（1+x）|=﹣loga（1﹣x）﹣loga（1+x）=﹣loga(1﹣x2），
因为0＜1﹣x2＜1，a＞1，所以loga（1﹣x2）＜0，即﹣loga（1﹣x2）＞0．
所以|loga(1﹣x)｜﹣｜loga（1+x）|＞0，即｜loga（1﹣x）|＞｜loga（1+x）|．
点评：
本题考查了利用作差法比较两个数的大小，通过讨论去掉绝对值是解决本题的关键，同时要结合对数函数的性质进行判断．

19．（12分)一个口袋内装有大小相同的6个小球，其中2个红球，记为A1、A2，4个黑球，记为B1、B2、B3、B4,从中一次摸出2个球．
（Ⅰ）写出所有的基本事件;
(Ⅱ）求摸出的两个球颜色不同的概率．

考点：
列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
专题:
计算题．
分析：
（Ⅰ)用列举法根据题意用分类列举的方法，列举出所有可能的情况;
（Ⅱ)由（I)，找出符合事件“摸出的两个球颜色不同”的所有基本事件，查出其个数,再由公式求出“摸出的两个球颜色不同"这个事件的概率
解答：
解：(Ⅰ）则从中一次摸出2个球，有如下基本事件：（A1，A2），（A1，B1）,
( A1，B2）,（A1，B3)，（ A1，B4）,（A2,B1），（A2,B2)，（A2，B3）,（A2，B4），
(B1,B2)，(B1，B33）,（B1,B4），（B2，B3),（B2，B4)，（B3,B4）
共有15个基本事件 …（5分）
（Ⅱ）从袋中的6个球中任取2个，所取的2球颜色不同的方法有：
（1，3)，（1，4）,（1，5）,（1，6），（2，3），(2,4)，（2，5），（2，6)共有8种,
故所求事件的概率P=…(10分）
点评:
本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，解题的关键是熟练运用分类列举的方法及事件事件的性质将所有的基本事件一一列举出来,运用公式求出概率，列举法求概率适合基本事件数不太多的概率求解问题,本题考查了分类的思想．

20．（13分）已知命题p:|4﹣x｜≤6,q:x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

考点：
必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法．
专题：
计算题．
分析：
先解不等式分别求出¬p和q，再由非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
解答:
解：¬p：|4﹣x｜＞6,x＞10，或x＜﹣2，
A={x｜x＞10,或x＜﹣2｝
q：x2﹣2x+1﹣a2≥0，x≥1+a，或x≤1﹣a，
记B={x｜x≥1+a,或x≤1﹣a｝
而¬p⇒q，∴A⊊B,即，∴0＜a≤3．
点评：
本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断和应用，解题的关键是正确求解不等式．

21．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调递增，在（﹣1，2）上单调递减，当且仅当x＞4时．f（x)＞x2﹣4x+5=g(x）．
（1）求函数f(x）的解析式；
（2）若函数y=m与函数f（x），g(x）的图象共有3个交点，求实数m的取值范围．

考点：
利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；根的存在性及根的个数判断．
专题:
导数的综合应用．
分析：
（1）先利用函数在区间上的单调性,确定﹣1和2是两个极值点，从而确定条件关系求出参数a，b，c．
（2）求出函数f（x），g（x）的极大值和极小值，结合图象，确定实数m的取值范围．
解答：
解：（1)因为函数在（﹣∞，﹣1)，（2，+∞）上单调递增，在(﹣1，2）上单调递减,所以﹣1，2是函数的两个极值点，即﹣1，2是f’(x）=0的两个根，
因为f’（x）=3x2+2ax+b,所以由根与系数之间的关系得．
所以．
令，则H'（x）=3x2﹣5x﹣2=（3x+1）(x﹣2),
所以函数H（x）在(﹣∞，)，（2，+∞）上为增函数，在（）上为减函数,故，解得c=﹣11．
所以此时．
（2）因为，则，
故当﹣21＜m＜﹣时，直线y=m与函数f(x）的图象有3个交点,与g（x）的图象没有交点．
又g(x)=x2﹣4x+5=(x﹣2）2+1≥1，故当m＞1时，直线y=m与g（x）的图象有2个交点,与f（x）的图象有1个交点，
又f(4）=g（4）=5，故当1＜m＜5或m＞5时，直线y=m与函数f（x），g(x）的图象共有3个交点，
故实数m的取值范围．

点评:
本题主要考查了利用导数研究函数的极值和最值的关系．对应两个函数图象的相交问题，要利用数形结合的数学思想去解决，一般是通过确定函数的极值点和最值点来确定满足条件的范围．

22．（14分）（2007•湖南模拟）如图椭圆C的方程为,A是椭圆C的短轴左顶点，过A点作斜率为﹣1的直线交椭圆于B点，点P（1，0），且BP∥y轴,△APB的面积为．
(1）求椭圆C的方程；
（2)在直线AB上求一点M,使得以椭圆C的焦点为焦点，且过M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程．

考点:
直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程．
专题：
综合题．
分析：
（1）先根据△APB的面积为，以及AB斜率为﹣1,求出A,B，P的坐标，再把A，B坐标代入椭圆C的方程，求出a，b的值即可．
(2）由（1)知椭圆C的焦点坐标,以及在直线AB的方程,因为M在双曲线E上，要双曲线E的实轴最大,只须｜｜MF1｜﹣｜MF2|｜最大，找到｜|MF1|﹣|MF2｜的范围，求最值即可．
解答：
解：(1),又∠PAB=45°,AP=PB，故AP=BP=3．
∵P(1，0），A（﹣2，0），B(1,﹣3)
∴b=2，将B（1，﹣3）代入椭圆得：得a2=12，
所求椭圆方程为．
（2)设椭圆C的焦点为F1,F2，
则易知F1（0,﹣）F2（0，）,
直线AB的方程为:x+y+2=0，因为M在双曲线E上，要双曲线E的实轴最大，只须|｜MF1|﹣｜MF2|｜最大，设F1（0,﹣）关于直线AB的对称点为F1'（﹣2，﹣2），则直线F2F1′与直线的交点为所求M，
因为F2F1′的方程为：，联立得M(1，﹣3)
又2a′=||MF1|﹣|MF2|｜=｜｜MF1'|﹣|MF2｜|≤|F2F1'|
==2,故，
故所求双曲线方程为：

点评：
本题考查了直线与椭圆，双曲线的位置关系,做题时要细心．