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提能增分练(二) 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题
[A级夺高分]
1．(2016·四川高考)如图所示，正六边形abcdef 区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb，当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc，不计粒子重力。则( )
A．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1
B．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2
C．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1
D．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2
解析：选A 如图所示，设正六边形的边长为l，当带电粒子的速度大小为vb时，其圆心在a点，轨道半径r1＝l，转过的圆心角θ1＝π，当带电粒子的速度大小为vc时，其圆心在O点(即fa、cb延长线的交点)，故轨道半径r2＝2l，转过的圆心角θ2＝，根据qvB＝m，得v＝，故＝＝。由于T＝得T＝，所以两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，又t＝T，所以＝＝。故选项A正确，选项B、C、D错误。
2.(2017·焦作模拟)如图所示，在x>0、y>0的空间有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B，现有四个质量及电荷量均相同的带电粒子，由x轴上的P点以不同的初速度平行于y轴射入此磁场，其出射方向如图所示，不计重力的影响，则( )
A．初速度最大的粒子是沿①方向射出的粒子
B．初速度最大的粒子是沿②方向射出的粒子
C．在磁场中运动时间最长的是沿③方向射出的粒子
D．在磁场中运动时间最短的是沿④方向射出的粒子
解析：选A 由R＝可知，速度越大半径越大，选项A正确，B错误；由于粒子质量、电荷量相同，由周期公式T＝可知，粒子周期相同，运动时间取决于圆弧对应的圆心角，所以在磁场中运动时间最长的是沿④方向射出的粒子，选项C、D错误。
3．(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，板间距离也为l，板不带电，现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )
A．使粒子的速度v＜
B．使粒子的速度v＞
C．使粒子的速度v＞
D．使粒子的速度v满足＜v＜
解析：选AB 若带电粒子刚好打在极板右边缘，如图所示，有r＝2＋l2，又因r1＝，解得v1＝；若粒子刚好打在极板左边缘，如图所示，有r2＝＝，解得v2＝，故A、B正确。
4.(多选)(2017·常德模拟)如图所示，宽为d的有界匀强磁场的边界为PP′、QQ′。一个质量为m、电荷量为q的微观粒子沿图示方向以速度v0垂直射入磁场，磁感应强度大小为B，要使粒子不能从边界QQ′射出，粒子的入射速度v0的最大值可能是下面给出的(粒子的重力不计)( )
A. B. C. D.
解析：选BC 微观粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，qvB＝，R＝，要使粒子不能从边界QQ′射出，粒子的入射速度v0最大时，轨迹与QQ′相切。若粒子带正电，R＝＋d，d＝，v0＝，B正确；若粒子带负电，R＋＝d，v0＝，C正确。
5．(多选)(2017·石家庄联考)如图所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，∠A＝60°，AO＝L，在O点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电粒子。已知粒子的比荷为，发射速度大小都为v0＝。设粒子发射方向与OC边的夹角为θ，不计粒子间相互作用及重力。对于粒子进入磁场后的运动，下列说法正确的是( )
A．当θ＝45°时，粒子将从AC边射出
B．所有从OA边射出的粒子在磁场中运动时间相等
C．随着θ角的增大，粒子在磁场中运动的时间先变大后变小
D．在AC边界上只有一半区域有粒子射出
解析：选AD 粒子在磁场中运动的半径为R＝＝L，当θ＝45°时，由几何关系可知，粒子将从AC边射出，选项A正确；所有从OA边射出的粒子在磁场中运动时所对应的弧长不相等，故粒子在磁场中运动的时间不相等，选项B错误；当θ＝0°飞入的粒子，在磁场中恰好从AC中点飞出，在磁场中运动时间是；当θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动时间恰好也是，对应0°和60°，粒子在磁场中运动时间最长，故θ从0°到60°在磁场中运动时间先减小后增大，当θ从60°到90°过程中，粒子从OA边射出，此时在磁场中运动的时间逐渐减小，故C错误；当θ＝0°飞入的粒子，在磁场中恰好从AC中点飞出，因此在AC边界上只有一半区域有粒子射出，故D正确。
6.(2017·浙江金华模拟)如图所示，在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为－q的带电粒子(重力不计)，从AB边的中点O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场的大小B需满足( )
A．B> B．B< C．B> D．B<
解析：选B 粒子刚好达到C点时，其运动轨迹与AC相切，如图所示，则粒子运动的半径为r0＝acot 30°＝a。由r＝得，粒子要能从AC边射出，粒子运动的半径r>r0，解得B<，选项B正确。
7.(2017·河南信阳中学检测)如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径。一带电粒子从a点射入磁场，速度大小为v、方向与ab成30°角时，恰好从b点飞出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t；若同一带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，则其速度大小为( )
A.v B.v C.v D.v
解析：选C 设圆形区域的半径为R。带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则qvB＝m，得r＝，r∝v，
当粒子从b点飞出磁场时，入射速度与出射速度与ab的夹角相等，故速度的偏转角为60°，轨迹对应的圆心角为60°。如图1所示，根据几何知识得，粒子的轨迹半径为r1＝2R。当粒子从a点沿ab方向射入磁场时，经过磁场的时间也是t，说明轨迹对应的圆心角与第一种情况相等是60°，如图2所示，根据几何知识得，粒子的轨迹半径为r2＝R。解得：＝＝，得：v′＝v，C对。
8.(多选)(2017·邯郸第一中学检测)如图所示，在平面直角坐标系中有一垂直纸面向里的圆形匀强磁场(未画出)，其边界过原点O和y轴上的点a(0，L)。一质量为m、电荷量为e的电子从a点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场，并从x轴上的b点射出磁场，此时速度的方向与x轴正方向的夹角为60°，下列说法正确的是( )
A．电子在磁场中运动的时间为
B．电子在磁场中运动的时间为
C．磁场区域的圆心坐标为
D．电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为(0，－2L)
解析：选BC 设电子的轨迹半径为R，电子运动轨迹如图所示，由几何知识，Rcos 60°＝R－L，得R＝2L，电子在磁场中运动时间t＝，而T＝，得：t＝，A错误，B正确；设磁场区域的圆心坐标为(x，y)，其中x＝Rsin 60°＝L，y＝，所以磁场圆心坐标为，故C正确；由R＝2L，且入射点坐标为(0，L)，所以电子的圆周运动的圆心坐标为(0，－L)，故D错误。
9.如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4与A1A3的夹角为60°。一质量为m、电荷量为＋q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与A1A3成30°角的方向射入磁场，随后该粒子沿垂直于A2A4的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最后再从A4处射出磁场。已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求：
(1)画出粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的运动轨迹；
(2)粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的轨迹半径R1和R2的比值；
(3)Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小(忽略粒子重力)。
(1) 解析：画出粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的运动轨迹如图所示。
(2)设粒子的入射速度为v，已知粒子带正电，故它在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针做圆周运动，最后从A4点射出，用B1、B2，R1、R2，T1、T2分别表示在磁场Ⅰ、Ⅱ区的磁感应强度、轨迹半径和周期。
设圆形区域的半径为r，已知带电粒子过圆心且垂直于A2A4进入Ⅱ区磁场，连接A1A2，△A1OA2为等边三角形，A2为带电粒子在Ⅰ区磁场中运动轨迹的圆心，
由几何关系知，其半径
R1＝A1A2＝OA2＝r
粒子在Ⅱ区磁场中运动的轨迹半径R2＝
即＝2∶1。
(3)qvB1＝m
qvB2＝m
T1＝＝
T2＝＝
圆心角∠A1A2O＝60°，带电粒子在Ⅰ区磁场中运动的时间为t1＝T1
在Ⅱ区磁场中运动的时间为t2＝T2
带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间t＝t1＋t2
由以上各式可得
B1＝，B2＝。
答案：(1)见解析 (2)2∶1 (3)B1＝，B2＝
[B级冲满分]
10.(2017·郑州一中模拟)如图所示，带异种电荷的粒子a、b，以相同的动能同时从O点射入宽度为d的有界匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为30°和60°，且同时到达P点。a、b两粒子的质量之比为( )
A．1∶2 B．2∶1 C．3∶4 D．4∶3
解析：选C 带电粒子进入匀强磁场做匀速圆周运动，由题意知，圆周运动的弦长都等于OP，则OP的垂直平分线与初速度垂线的交点分别是二者圆周运动的圆心。如图所示，设粒子a、b圆周运动的半径分别为Ra和Rb，根据几何关系可判断半径比＝，运动经过的圆心角分别为和，运动经过的圆弧长分别为×Ra和×Rb，所以经过的圆弧长度之比为2∶，由于运动时间相等，所以线速度之比为va∶vb＝2∶。两粒子动能相等，mav＝ mbv，从而可得＝＝，选项C对，A、B、D错。
11.(多选)(2017·宜昌一中模拟)如图所示，半径为R的一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，一电荷量为q(q>0)、质量为m的粒子，沿正对cO中点且垂直于cO方向射入磁场区域。不计重力，则( )
A．若要使粒子能从bd之间飞出磁场，射入粒子的速度大小的范围是<v<(2＋)
B．若要使粒子能从bd之间飞出磁场，射入粒子的速度大小的范围是<v<(1＋)
C．若要使粒子在磁场中运动的时间为四分之一周期，射入粒子的速度为
D．若要使粒子在磁场中运动的时间为四分之一周期，射入粒子的速度为
解析：选AC 如图甲所示，
若粒子恰好从d点飞出磁场，由几何关系得r1＝R，由qBv1＝，得v1＝，如图，∠bOg＝90°＋60°＝150°，所以∠gOO′＝105°，∠gO′O＝15°，在三角ΔgOO′中，由正弦定理：＝，得r2＝R＝(2＋)R，qBv2＝，v2＝(2＋)，所以速度范围：<v<(2＋)。
粒子在磁场中运动四分之一周期射出磁场的轨迹如图乙，设∠fOd＝α，由几何关系 Rsin 60°＋Rsin α＝Rcos α＋Rcos 60°＝r3，cos α－sin α＝－，得：sin 2α＝，α＝30°，r3＝R，qBv3＝，v3＝，A、C正确。
12.(2017·长沙长郡中学检测)如图所示，第四象限内有互相正交的电场强度为E的匀强电场，与磁感应强度为B1＝0.25 T的匀强磁场，第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里、磁感应强度为B2的匀强磁场，磁场的下边界与x轴重合，质量为m＝×10－10 kg、带电荷量q＝＋1×10－6 C 的微粒以速度v＝1×103 m/s，从y轴上的M点开始沿与y轴正方向成60°角的直线匀速运动，从P点进入处于第一象限内的匀强磁场区域，一段时间后，微粒经过y轴上的N点，并与y轴正方向成60°角的方向进入第二象限，M点的坐标为(0，－10 cm)，N点的坐标为(0,30 cm)，不计重力，g取10 m/s2，求：
(1)第四象限内匀强电场的电场强度E；
(2)第一象限内匀强磁场的磁感应强度B2的大小；
(3)第一象限内矩形匀强磁场区域的最小面积Smin。
解析：(1)由于重力忽略不计，微粒在第四象限内仅受电场力和洛伦兹力，且微粒做直线运动，速度的变化会引起洛伦兹力的变化，所以微粒必做匀速直线运动，故电场力和洛伦兹力大小相等，方向相反，电场E的方向与微粒运动的方向垂直，即与y轴负方向成30°角斜向下，由力的平衡有Eq＝B1qv，
E＝B1v＝2.5×102 N/C，方向与y轴负方向成30°角斜向右下方。
(2)画出微粒的运动轨迹如图。
由几何关系可知，粒子在第一象限内做圆周运动的半径为
R＝ m
微粒做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，即
qB2v＝m，解得B2＝ T。
(3)由图可知，磁场B2的最小区域应该分布在图示的矩形PACD内，由几何关系易得
PD＝2Rsin 60°＝0.2 m
PA＝R(1－cos 60°)＝ m
所以，所求磁场的最小面积为
Smin＝×＝× m2＝ m2。
答案：(1)2.5×102 N/C，方向与y轴负方向成30°角斜向右下方 (2) T (3) m2
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