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男子百米短跑运动问题分析与研究
摘要
本文通过建立回归模型预测男子百米短跑极限成绩和2015年世锦赛上该项目冠军成绩，继而通过灰色关联模型分析影响我国男子百米跑成绩的主要因素，并构建体能目标挑战模型规划我国男子百米跑训练计划。
第一问要求我们预测男子100米短跑极限成绩。首先我们查阅了历届奥运会上男子百米跑冠军成绩，因从长期来看，男子100米短跑成绩存在某一极限值，故建立奥运会届数的倒数与历届奥运会上男子百米最好成绩的倒数的回归方程，针对此回归方程做置信度分析，有置信度为 0.73，即拟合程度相对较好，可以相信此回归方程所预测的极限值，为9.25s。
第二问要求我们预测2015年北京世锦赛上男子100米跑冠军成绩。仍使用历届奥运会数据，直接构建年份与历届奥运会上男子百米最好成绩的回归方程，将2015年份代入回归方程，预测2015年男子百米跑最好成绩为9.70s。但从长期来看，男子百米跑成绩存在某一极限值，故男子百米短跑成绩符合阻滞增长模型。构建阻滞增长模型，验证其平均误差率约为0.529%，误差率较小，可以相信阻滞增长模型预测出的2015年世锦赛男子百米跑最好成绩，为9.74s。
第三问要求从体能水平分析影响我国100米跑运动员成绩的重要因素。首先将体能系统剖析为形态、机能、运动素质三大要素。其次构建18组我国百米运动员各体能要素与相应百米跑成绩之间的逐步回归方程，发现不存在不敏感指标，即均通过检验。所以本文将利用全部的各项指标与百米成绩进行灰色关联分析，求出10项体能指标的权重，分别为0.074268、0.084511、0.088162、0.089391、0.104793、0.106044、0.108881、0.110281、0.116762、0.116907。
第四问要求推断19号运动员的百米跑成绩，并分析该加强哪方面锻炼以提高成绩。首先将权重与各组运动员体能指标值乘积作为自变量，各组运动员相应的成绩为因变量，构建回归方程，检验其回归方程置信度为0.9808，且验证误差较小，故相信该回归方程预测出的第19组成员百米跑成绩，为10.46s。随后我们构建体能目标挑战模型，将运动员的各项体能最优值视为目标值，并建立的差距系数公式，以此界定优劣势临界值（平均值±方差），发现第19组成员需要加强裸围/跟腱、肺活量、30米跑训练以提高成绩。

关键词： 回归模型 置信度分析 灰色关联分析 体能目标挑战模型

1 问题重述
田径的短跑竞技比赛至今已经有100多年的发展历程了，在竞技体育中，一个国家短跑运动水平的高低往往可以代表其田径运动的发展水平，而百米跑运动成绩又是决定短跑运动水平至关重要的因素。而100米短跑是特别具有代表性的项目，由于它是典型的，又最能表现运动员体能的速度性项目，其比赛过程极短，争夺极为激烈。从最早的美国运动员布克的12秒到现在的牙买加运动员博尔特的9秒58,纪录被提高了 2.42秒。牙买加选手博尔特先是打破了 100米世界纪录，而后又一次次刷新自己所保持的世界纪录，人类的速度极限在不断的提高。虽然我国男子100米运动水平与世界先进运动水平的差距十分明显，但是近年来我国的运动员们也屡屡打破国内纪录，在5月31号举行的2015国际田联钻石联赛尤金站男子100米比赛中，25岁的中国选手苏炳添以9秒99获得第三，他在打破全国纪录的同时，也终于完成了中国几代“飞人”突破百米十秒大关的夙愿。如何提高运动员成绩，这也一直是体育科研人员、教练员和运动员努力的方向。
请联系国际田联和互联网数据，以及附表从身体形态、生理机能和运动素质三个层面有效的反映运动员的体能水平的我国某一时期男子百米键将级运动员体能指标，研究以下问题：
1、建立数学模型，分析男子100米跑运动成绩极限状态；
2、预测即将到来的2015年8月22日— 8月30日北京世界田径锦标赛男子100米跑冠军成绩；
3、就附表(序号1-18)数据，选择合适的方法，从体能水平分析影响我国100
米跑运动员成绩的重要因素；
4.、由附表(序号19) 提供的运动员体能指标数据，推断其100米跑成绩；如果要提高比赛成绩，加强哪方面训练。

2 问题分析
2.1 第一问分析

问题一要求我们分析男子100米跑运动成绩的极限状态。通过相关信息的查找，我们决定使用在一定程度上能代表世界最高水平奥运会冠军的成绩，对该数据进行分析处理。由于随着一次次世界记录的打破，时间和成绩定呈负相关关系，直接拟合对于求极限没有意义。因此为了配合线性回归方程的实现，我们采用将届数和成绩的倒数进行拟合，再通过计算求极值得到奥运会冠军成绩的极限，即可将该成绩认为是100米跑运动成绩的极限状态。最后通过进行置信度的分析来检验该成绩的有效性。
2.2 第二问分析
问题二要求预测即将到来的2015年北京世界田径竞标赛男子100米跑冠军的成绩。我们首先想到的是将时间和成绩直接进行一次和二次拟合，把两者进行比较选择较好的一个作为模型1预测出2015北京世锦赛的成绩。因为模型1只能对近期成绩进行预测，不能预测长期成绩，所以我们针对模型1缺陷将其进行优化。采用阻滞增长模型[1]，随着成绩的不断提高，阻碍作用增大，再将模型1中一元线性回归方程的斜率近似作为固定增长率，建立模型2预测成绩。同时通过模型2计算出所采用数据期间的预测成绩，将它们和实际成绩进行比较，通过误差检验该模型的可信度。
2.3 第三问分析
通过附表的数据，选择合适方法，从体能水平分析我国的100米跑运动员的成绩的影响因素。而体能水平又可以分成身体形态、生理机能和运动素质这三方面。首先对这三方面的各项指标进行逐步回归运算。通过逐步回归的复相关系数筛选出对成绩影响较大的指标，作为对成绩的影响较因素。再将筛选之后的指标与百米成绩做灰色关联分析并建立各个指标的权重。通过对权重的分析，以此得出相关指标对百米跑成绩的影响力大小。
2.4 第四问分析
要求用附表的指标数据推断百米跑成绩，并分析要加强哪方面的训练。这里可以采用第三问的权重值。求得各项指标权重与指标的乘积的和值。将求解出的总数值作为x轴，百米跑成绩作为y轴，进行拟合。得出总值与百米跑成绩的相关方程，并将19组数据代入方程中求解出该指标对应的成绩。同时构建体能目标挑战模型，将19名我国百米跑运动员的最优值作为目标值，其余运动员则与目标值直接存在差距，建立差距系数公式：差距系数=权重×差距／最优值×100。最后根据差距系数表得出我国百米跑运动员的优劣势，并应加强劣势方面体能水平的训练。
3 问题假设与符号说明
3.1 问题假设

1. 假设奥运会冠军成绩可以代表世界最好成绩。
2. 假设100米短跑成绩的突破完全是靠自身形态、生理机能和运动素质的提升达到，不考虑违禁药品和高科技手段辅助等造成影响。
3. 假设运动成绩极限是指想当长一段时间内的极限，但是不考虑进化人类较大程度上的进化的影响。
4. 假设运动员的100米短跑成绩很大程度上受附表中给出的体能指标项目的影响。
5. 由于使用了60年代开始记录的数据，而该时期计时程度并没有如今精确，因此允许该误差的存在。
3.2 符号说明

符号
说明
单位
x
年份或届数
年或届
y
男子百米成绩时间
s

奥运会届数的倒数
1/届

男子百米跑成绩的倒数
1/s
x0
初始状态（1948年）成绩
s
xm
男子百米极限成绩
s
t
与初始年份差
年
r
固定增长率

4 模型的建立与求解
4.1 建立数学模型，分析男子100米短跑运动成绩极限状态
在男子100短跑竞赛历史中，从最早的美国运动员布克的12秒到现在的牙买加运动员博尔特的9秒58,纪录被提高了 2.42秒。本文收集了历届奥运会男子100米短跑冠军成绩，利用因果关系，回归分析的方法，预测了男子百米运动成绩的极限。
设某年所对应的奥运会届数为x，男子百米冠军成绩为y。若直接对x,y进行拟合作线性回归方程，求得的回归方程值将随x递减，求极限时，x趋向于无穷，成绩y总将变为负值，这明显与实际不符，为配合线性回归方程的实现，我们取两者的倒数，令，将两者进行拟合，如下表所示：

图表 1
年份
届(x)
男子百米成绩（y）
x′
y′
1948
14
10.3
0.071428571
0.097087379
1952
15
10.4
0.066666667
0.096153846
1956
16
10.5
0.0625
0.095238095
1960
17
10.2
0.058823529
0.098039216
1964
18
10.0
0.055555556
0.1
1968
19
9.95
0.052631579
0.100502513
1972
20
10.14
0.05
0.098619329
1976
21
10.06
0.047619048
0.099403579
1980
22
10.25
0.045454545
0.097560976
1984
23
9.99
0.043478261
0.1001001
1988
24
9.92
0.041666667
0.100806452
1992
25
9.96
0.04
0.100401606
1996
26
9.84
0.038461538
0.101626016
2000
27
9.87
0.037037037
0.101317123
2004
28
9.85
0.035714286
0.101522843
2008
29
9.69
0.034482759
0.103199174
2012
30
9.63
0.033333333
0.10384216

用MATLAB进行拟合得到回归方程：

将，代入上式得：

对上式关于x求一阶导数，得：

所以函数单调递减。
对该函数求极限：

当结束x趋向无穷时，可认为最总成绩将趋向于人类极限，由此可见，男子100米短跑成绩极限为9.25秒。随着时代的进步，运动竞技的发展，运动员对世界记录的不断打破，预测100米短跑世界记录成绩将趋向于9.25这个值，并且无限接近它，但不能达到这个极限。
同时，我们还对上述回归方程利用MATLAB软件进行置信区间分析， 输出R-square: 0.73，其他分析结果如图所示：

图表 2

图表 3
由上图可得第14届到第30届奥运会男子百米成绩的置信区间，与实际值历届奥运会男子百米冠军成绩对比，发现均落在置信区间内。尽管拟合程度并不是很完善，但还是可以相信男子百米极限成绩为9.25秒。

4.2 预测北京世界田径锦标赛男子100米跑冠军成绩
4.2.1 对男子百米短跑冠军成绩进行预处理
鉴于世界田径锦标赛只开展了14届，且数据有所丢失，于是我们仍使用第一问中使用的历届奥运会男子百米短跑冠军成绩数据进行分析。首先我们先就每届奥运会男子百米短跑成绩进行相关统计、分析和整理，下图为奥运会冠军成绩的散点图：

图表 4

从图形中可以看出历年的成绩基本呈现下降，且速度越来越快的趋势，但是也有几个比相邻的上一届成绩上升的特殊点。通过一阶差分[2]（p阶差分表达式为：），我们能清楚的看出相对于前一届奥运会成绩上升的那些特殊点就是一阶差分后再零以上的点。
下表是对所给的数据作的一些描述性分析，给出相关均值、标准差、极差和最大、最小值:

图表 5 均值、标准差、极差和最大、最小值
n
Range
Minimum
Maximum
Mean
Std.Deviation
17
0.87
9.63
10.5
10.03235
0.23219

从上表中可以看出参加分析的有17个数据，也就是17届的奥运会男子百米冠军成绩，而极差表示是17届奥运会成绩中最好的成绩和最差的成绩的差，同时可以看出最好的成绩是9.63秒，最差的成绩是10.5秒，而这17届奥运会成绩的均值为10.03235秒，标准差为0.23219。

4.2.2 构建模型1—拟合模型
对已经查到的数据用MATLAB分次进行一次和二次拟合，拟合得到表达式和图形如下，其中实线表示的是拟合出来的直线，而点表示的是具体真实的数据。
拟合出来的一阶方程如下：

方程图像和真实的散点数据如下：

图表 6 方程图像和真实的散点数据

得到一阶拟合方程的残差分析如表7、表8：

图表 7 残差统计量

极小值
极大值
均值
标准
偏差
N
预测值
9.6990
10.3657
10.0324
.21041
17
残差
-.20735
.21765
.00000
.11406
17
标准预测值
-1.584
1.584
.000
1.000
17
标准 残差
-1.760
1.848
.000
.968
17

图表 8 模型汇总b
模型
R
R 方
调整 R 方
标准估计的误差
1
.879a
.773
.758
.11781

从上面的图表可以看出，我们用一阶拟合出来的方程是比较好的，整个方程能解释变量中的87.9%的变异。而且从残差图中也没有明显的规律，说明我们拟合的方程较接近真实数据。

拟合出来的二阶方程如下：

类似的，我们也能给出二阶拟合方程的残差分析和图表，但是从拟合的方程中可以看到，拟合出来的二次项前面的系数非常的小，接近于零，因此，我们用二阶方程拟合出来的作用并不是很大，这里就不再赘述了。
4.2.3 模型1的检验分析
我们用得到的一阶、二阶方程去预测2015年世锦赛的的成绩发现：用一阶方程预测得成绩为：9.70s，而用二阶方程预测得成绩为：9.65s。因为两者成绩相差不大，而且二阶方程的二次方系数过小，所以本文采用一阶方程，并对一阶方程进一步优化。
对模型1的优缺点进行分析：从得到的预测方程和真实数据的图像可以看到，如果下一年的成绩是继续下降的话，那么用模型1得到的结果将是很好的。但这个模型的缺点就是在于它不能做长期的预测，因为长跑的成绩不会一直都是下降的，而应该是在一定时候将会达到稳定的或者接近稳定的状态。然而模型1的预测条件是下一年还要按照现在的方式下降。在实际中这一点并不能保证，因此需要进行常微分方程模型进行预测。
4.2.4 构建模型2—阻滞增长模型
对模型1进行优化，采用阻滞增长模型。男子百米成绩提高到一定数值后，由于人的身体素质和各方面的其他原因对人百米短跑成绩起着阻碍作用，并且随着成绩的增长，阻滞作用越来越大。建立的阻滞模型如下：

其中的r表示的是固有增长率，而引起身体素质所能承受的最好成绩为xm，当x=xm的时候，增长率r(xm)=0。
对上述模型用MATLAB进行求解的程序，得到的结果如下：

即：
我们将固定增长率取为r=0.0104，之所以取这个数，是因为前面的模型1给我们的提示，模型1中的斜率其实就是我们固定增长率的一种很好的近似。而最大值xm=9.25，这是人为假定的，本文取第一问中所求得的男子百米短跑的极限成绩9.25秒。取1948年的奥运会的百米冠军成绩作为初始值，。t为预测年份与初始年份1948的差值。把模型曲线和实际数据作图如下：

图表 9

从上图中看到，模型2在预测1972年到1996年左右的成绩和实际情况拟合的较好，但有部分年份的预测数据比实际数据明显降低。根据资料显示，有可能是体育技术的进步、体育研究成果带来的成绩提高。
我们用这个模型去预测2015年的世界田径锦标赛男子100米冠军成绩，得到2015年男子百米冠军成绩为9.74s。
4.2.5 模型2的检验分析
任意取其中几个年份的比赛如1960，1972，1984，1996，2008的数据进行检验，将初始状态X1948 =10.3带入方程，得到预测值分别为10.16，10.04，9.95，9.86，9.78。根据相对误差的定义[3]，，计算出相对误差分别为0.39%，0.98%，0.40%，0.20%，0.92%。由此得相对误差都非常小，都在可以接受的范围之内，因此用该模型预测的2015年世锦赛100米短跑冠军成绩是可信的。
模型2的优缺点：模型2 较好的克服了模型1的缺点，它能给出一个男子百米成绩的最好值，使得预测的成绩不会超过这个最好值，而且预测的效果也不错。因此它相对于模型1来说，能进行较长时间的成绩预测。而且模型2不光使用于这样一类的模型，而且还适用于很多带有阻滞作用的模型，比如人口模型等。当然，影响成绩的因素很多，实际成绩与预测成绩难免有差异，因为决定最终实际成绩的是参赛者，而不是时间和数学模型。
4.2.6 结论
本文一次线性拟合和建立常微分方程来预测2015年北京世锦赛的100米短跑成绩。常微分方程模型是对线性拟合模型的优化，解决了模型1不能长期预测的缺陷。对历届奥运会成绩数据进行统计分析，并且该模型对历年的预测值和实际值的比较，发现两者的相对误差较小，均在可以接受的范围之内，因此认为该预测是可信的。
4.3 从体能水平分析影响我国100米跑运动员成绩的重要因素
百米跑运动员的体能作为一个复杂的系统对最终成绩有着重要影响，其包括很多子系统。从结构上对其剖析，它包括形态、机能和运动素质三大要素。每一要素中又蕴含着大量的具体指标，这些指标分别反映着运动员体能某一方面的状态水平，其整体的有机结合则完整地构成了运动员的体能指标体系，用以预测运动员百米成绩和指导运动员日常训练。但是，如此众多的形态、机能和素质指标对运动员体能的贡献率大小是不同的，这就要求我们筛选出有效反映运动员体能水平的指标体系。
4.3.1 指标的筛选结果
形态是人体结构的外在表现，具体指身高、体重及四肢长度的比例等。对形态指标进行逐步回归分析[4]的结果，如下表所示：

图表 10 运动员形态指标筛选结果
入选指标
回归系数
剩余平方和
回归平方和
R
R2
F

0.012
0.408
0.985
0.971
251.942
裸围/跟腱
0.480

克托莱指数
-0.101

从上表中可以看出，筛选结果是很理想的。回归方程的复相关系数R为0.985，表明回归方程的入选指标和因变量高度相关；决定系数R2为0.971，说明入选变量反映了总变量97.1%的信息量。
机能指标是指运动员无氧非乳酸供能系统的机能。在百米跑活动中，肌肉的活动达到最大强度，运动器官和内脏器官是在大量缺氧条件下完成这种工作的。对机能指标逐步回归分析，结果如下表所示：

图表 11 运动员机能指标筛选结果
入选指标
回归系数
剩余平方和
回归平方和
R
R2
F

0.197
0.128
0.989
0.978
702.215
肺活量/体重
0.141

ATP--CP
-0.137

从上表中可以看出，回归方程的复相关系数R为0.989，表明回归方程的入选指标和因变量高度相关；决定系数R2为0.978，说明入选变量反映了总变量97.8%的信息量。
运动素质是指人体在中枢神经系统的支配下，在运动活动中所表现出来的运动能力。百米跑专项素质包括速度、速度力量和速度耐力等。对运动素质指标逐步回归分析的结果如下表：

图表 12 运动员素质指标筛选结果
入选指标
回归系数
剩余平方和
回归平方和
R
R2
F

0.011
0.410
0.987
0.975
71.155
立定三级跳(m)
0.330

30米行进间跑
-2.481

150米跑
0.639

300米跑
0.184

30米跑计时（s）
0.455

60米跑计时（s）
0.154

从上表中可以看出，回归方程的复相关系数R为0.987，表明回归方程的入选指标和因变量高度相关；决定系数R2为0.975，说明入选变量反映了总变量97.5%的信息量。
4.3.2 百米运动员体能水平的评价体系的构建
通过对体能水平各个指标的回归分析，得出各个指标对最终成绩就都有较大影响，所以本文把全部的各项指标与百米成绩进行灰色关联分析[5]，计算出了关联度的大小反映了体能指标与专项成绩间的灰色相关性高低，从一个侧面反映了各项指标对于最终成绩的贡献大小，这10项指标的灰色关联序一方面影响了对于运动员的成绩；另一方面，利用10项指标的关联度，求出每项指标对于最终成绩的权重。
将用时最短的运动员的各项指标作为特征序列，将其他运动员的各项指标作为因素序列。对其进行灰色关联分析。将作为参照的特征序列记为，采集m个数据：记因素序列为，其中有n个子序列，每个子序列采集m个数据：

本文采用均值化算子，进行无量钢化[6]。。为因素的行为序列，D为均值化序列算子，，则均值化的数据为：

然后计算关联度。特征序列与因素序列在第t点的关联系数为：

公式（2）中为的最大值；为的最小值；为分布系数，本文取。因此，特征序列与因素序列的关联度为：

考虑到是n个子序列对i个指标的灰色关联度，而且事实上他们反映每一个i的特征序列值与因素序列值的关联程度，故其平均值：

就反映了第i个指标对整个成绩所占的比重。

将归一化处理，，因此可以将作为指标的权重。
求解，得出如下结果：

图表 13
项目成绩
分辨系数
相关度
权重
ATP
0.5
0.513235068
0.074268
克托莱指数
0.584023206
0.084511
肺活量/体重
0.609248699
0.088162
立定三级跳(m)
0.61774115
0.089391
裸围/跟腱
0.724181694
0.104793
300米跑（s）
0.73282338
0.106044
30米跑计时（s）
0.752428708
0.108881
60米起动计时（s）
0.76210866
0.110281
150米跑
0.806892814
0.116762
30米行进间跑
0.807894745
0.116907

从表格中得出，对于我国100米跑运动员来说，各项指标的权重大小排序为：30米行进间跑、150米跑、60米起动计时（s）、30米跑计时（s）、300米跑（s）、裸围/跟腱、立定三级跳(m)、肺活量/体重、克托莱指数、ATP。30米行进间跑和150米跑是影响成绩最大的因素，他们的权重分别达到：0.116907、0.116762。它们反映着运动员的加速能力和耐力。而60米起动计时虽然位于第三，但权重于第一仅仅相差0.06。而影响最小的是ATP。从大类上来看，运动素质（64.83%）居于首位、身体形态次之（18.93%）、身体机能（16.24%）稍低于身体形态。

图表 14 百米跑运动员体能因素权重分布图
4.4 推断某运动员100米成绩
由图表13我们可以看到由各个体能指标与100米短跑成绩的相关度求出的权重。我们通过权重和相应的体能指标相乘得出下表：

图表 15
序号
权重*指标
成绩
1
849.40842
10.19
2
838.60636
10.24
3
831.26471
10.33
4
806.21632
10.42
5
785.1081
10.54
6
851.27735
10.18
7
851.23169
10.17
8
842.9811
10.2
9
839.84313
10.22
10
833.29025
10.28
11
836.04505
10.25
12
789.55204
10.51
13
776.44902
10.57
14
824.81482
10.37
15
781.82666
10.56
16
815.41188
10.38
17
766.35752
10.59
18
770.98723
10.58

对于表格中的数据进行分析处理，就权重*指标乘积做降序排列，得到顺序为6、7、1、8、9、2、11、10、3、14、16、4、12、5、15、13、18、17，此排列顺序与成绩的降序排列顺序相同因此我们认为两者存在一定的线性关系。利用MATLAB将成绩和乘积进行拟合做回归方程：

我们通过该模型推断出第十九号运动员的成绩。利用相应的数据，我们可以计算出权重和数据的乘积和为797.15495，将其代入回归方程，得到第19组的时间为10.46秒。
4.4.1 回归模型的检验与分析
正如回归模型所示，成绩y和成绩x成负相关关系，为了检验其准确度，我们还进行了置信区间的检验，其拟合数据如下图所示：

图表 16

图表 17
实际值均落在置信区间之内，，输出的R-square值为0.9808，可见其拟合程度十分高。因此我们可以充分相信该拟合结果。
任意去几组数据，如第5组，第10组，第15组。它们的乘积分别为785.1081，833.29025，781.82666，代入回归方程，计算出推断的100米短跑成绩为10.53，10.28，10.54。将他们和实际值相比较，发现两者的误差非常小，进一步检验了该模型的有效性。
在该模型中，充分认为所有的体能指数能对100米短跑成绩照成影响，由它们相关度计算出来的权重来反应该因素对成绩的影响程度。
4.5 应加强裸围/跟腱、肺活量、30米跑训练以提高成绩
前文所述的评价法，可以直观地判定运动员在体能指标体系中的得分情况，即可以根据运动员的体能水平预测该运动员的百米成绩，但是评价法还不能准确地定量告诉我们在我国运动员体能构成中哪些是关键的多数？哪些是次要少数？即不能直接告诉我们我国运动员的优势劣势在哪里？为此，需要借助态势分析法对运动员的体能进行态势分析。本研究借助于雷达分析法与评分评价法相结合[7]，构建体能目标挑战模型，对百米跑运动员体能进行了态势分析。
4.5.1 构建体能目标挑战模型
虽然，19组运动员中最终也可能没有任何一人能够再所有指标上完全达到目标挑战模型的要求，但是我们可以通过指标差异系数（运动员再体能结构中每项指标与目标模型的差距大小）的建立来完成运动员体能训练策略规划的目的。
目标模型中每项指标是19名我国百米跑运动员的最优值，其中拥有某项指标最优值的运动员达到了该项指标水平的100%（即再该项指标上与模型的差距为0），其余运动员则与目标值直接存在差距。考虑到不同指标的权重不同，故我们建立的差距系数公式包含指标权重。公式为：
差距系数=权重×差距／最优值×100
4.5.2 体能目标挑战模型的检验与分析
利用上述公式,我们计算出全部运动员在每项指标距离目标模型的差距系数。并可以求出其平均值和方差进行比较。建立表格如下所示：

图表 18

克托莱指数

裸围/跟腱

立定三级跳(m)

30米行进间跑

150米跑

权重

0.084511

0.104793

0.089391

0.116907

0.116762

M±SD

0.65±0.16

2.67±1.15

0.55±0.37

0.54±0.22

0.43±0.22

19组运动员的差距系数

0.94

3.22

0.68

0.63

0.55

300米跑
30米跑计时（s）
60米起动计时（s）
ATP-CP
肺活量/体重
权重
0.106044

0.108881

0.110281

0.074268

0.088162

M±SD

0.47±0.26

0.79±0.61

0.32±0.30

0.30±0.26

0.57±0.45

19组运动员的差距系数

0.66

0.74

0.40

0.46

0.62

通过表格数据，我们可以明显看出，在身体形态方面裸围/跟腱的数值远大于克托莱指数，因此个人要更加注重前一项项目的训练；在生理技能方面，肺活量/体重的数值大于ATP-CP，所以要更加注重肺活量的训练和体重的控制；在运动素质方面，影响较大的是30米计时跑，30米行进跑和300米跑，前两项可以看出是对短时爆发力的训练，后者则注重对耐力的训练，两者结合才能提高相对应的成绩。
就我国男子百米跑运动员体能指标和运动成绩表的数据而言，要提高我国运动员的成绩最需要加强的是裸围/跟腱方面和肺活量的训练，在运动素质方面要加大30米跑和300米跑的训练。对19号运动员来说，应加强裸围/跟腱、肺活量和30米计时跑。
该模型中，一般认为最优值是集合不同人的最优指标，但是在本题中，刚刚好7号运动员的所有指标都是最优的，而他的成绩也是最优的。因此，通过比较，都是不同运动员或者整体与7号运动员进行比较。一般情况下不会出现这种情况，这里应该算是特例，但是并不影响模型的结果。

5 模型评价
针对本文研究的男子100米跑运动极限成绩、预测北京世界锦标赛男子100米跑冠军成绩、影响我国100米跑运动员成绩因素和根据体能指标数据预测成绩等问题，分别建立相应的数学模型，我们得出了如下的结论。
5.1 模型优点
问题一的优点：文本通过对历届奥运会100米跑成绩与届数比较，发现总体上，世界的百米跑成绩随着届数的增长而逐步增长，并且增长速度逐步的减缓。主观认知和科学研究相吻合。为避免成绩值变为负值。采用届数和百米跑运动成绩的倒数进行拟合，利用MATLAB软件得到拟合回归方程：

将x，y值代回后对函数求极限，求得极限成绩为：9.25s。由此可见，当随着时间的流逝，人类男子百米跑运动成绩回无限接近9.25s而无法超越。
问题二的优点：后续利用MATLAB软件做回归模型进行100米跑成绩与年份的数据拟合，来得出100米跑成绩增长与届数存在着正相关性。建立一阶、二阶拟合模型，并选择一阶模型进行进一步优化，构建第二个模型—阻滞增长模型，模型建立如下：

代入数据预测出北京世界锦标赛百米跑的成绩为：9.74s，数值合理，拟合程度较高。
问题三的优点，先对所有的各项指标进行逐步回归分析，判断其对百米跑运动成绩的影响力。对于剩余成绩进行灰色关联分析，求出关联系数和关联度，并以此求解各个指标的权重。凭借权重判断各项指标对百米跑运动成绩的影响力大小。将抽象的名词量化，给出了相应的权重数值。
问题四的优点，通过权重，得出各项指标的权重总值。将总值与百米跑运动成绩进行线性回归拟合。建立方程：
y=-0.005175x+14.59

并将该项指标的总值带入方程，得出最后成绩为10.46。数值合理，拟合程度，R-square:0.9808。

5.2 模型缺点
模型一的缺点：这个模型的极值求解仅仅依赖于历年的奥运会成绩，没有各个数据的精确值，如前30米加速，中后段的保持和起跑反应时间等。并且没有根据外界环境，如风速来修正模型。是模型求得的极限值存在一定误差。
模型二的缺点：由于1948年前的数值不够精确，且数值变化较大而不有使用，使模型的数据量不够大，不够准确。并且没有根据外界环境，如风速来修正模型。是模型求得的预测值存在一定误差。
模型三的缺点：虽然ATP的权重最小，但是ATP的数值相远大于其他指标的值，使ATP这项指标左右总值的大小，影响了其他指标的判断。
模型四的缺点：由于ATP较大影响总值，使之预测受到ATP影响严重。对于加强训练方面，仅仅采用各项指标的权重，不够严谨，准确。并且同样没有考虑外界环境的影响。

参考文献
[1] 胡朝辉.美国人口数据的阻滞增长模型拟合分析[J].科技广场, 2007(4).
[2] 吴亮红.差分算法及应用研究[D].湖南大学控制理论与控制工程, 2007.
[3] 姜浩.误差分析研究[D].国防科学技术大学, 2013.
[4] 贺江舟，龚明福.逐步回归及通径分析在主成份分析中的应用[J].新疆农业科学, 2010(3).
[5] 孙玉刚.灰色关联分析及其应用的研究[D].南京航空航天大学, 2007.
[6] 张晓明. 决策分析中的数据无量纲化方法比较分析[J]. 闽江学院学报. 2012(05)
[7] 袁运平，袁作生.我国高水平男子百米跑运动员体能训练理论体系的研究[D].北京体育大学, 2002.
[8] 陈发平，叶风玲.世界优秀男子跳高运动员的各项身体素质指标与其运动成绩间的灰关联度分析[N].广州体育学院学报, 2003(23卷3期).
附录1 MATLAB程序
文件名：t1.m.m
说明：第一问中构建奥运会届数的倒数与成绩倒数之间的回归方程，并求其置信区间
x=[0.071428571，0.066666667，0.0625，0.058823529，0.055555556
0.052631579，0.05，0.047619048，0.045454545，0.043478261
0.041666667，0.04，0.038461538，0.037037037，0.035714286
0.034482759，0.033333333];
y=[0.097087379，0.096153846，0.095238095，0.098039216，0.1
0.100502513，0.098619329，0.099403579，0.097560976，0.1001001
0.100806452，0.100401606，0.101626016，0.101317123，0.101522843
0.103199174，0.10384216];
p=polyfit(x,y,1)
x1=0.03;0.001;0.075; y1=0.10;0.001;0.95;
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')
文件名：t2.m.m
说明：第二问中构建奥运会年份与成绩之间的回归方程，并求其置信区间
x=[48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，100，104，108
112];
y=[10.3，10.4，10.5，10.2，10，9.95，10.14，10.06，10.25，9.99，9.92，9.96
9.84，9.87，9.85，9.69，9.63];
p=polyfit(x,y,1)
x1=0.03;0.001;0.075; y1=9.60;0.1;10.6;
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')
文件名：t3.m.m
说明：第四问中构建体能水平评价体系与成绩的回归方程，并求其置信区间
x=[849.4084189，838.6063558，831.2647118，806.2163173，785.1080967
851.2773476，851.231687，842.9811016，839.8431283，833.2902538
836.0450547，789.5520375，776.4490198，824.8148192，781.8266631
815.411