基于几何直观的“单元—课时”教学设计——以“函数”单元中的“一次函数的图象”为例.pdf

基 于 几 何 直 观 的“单 元课 时”教 学 设 计 以“函数”单元中的“一次函数的图象”为例傅瑞琦(金华市教育教学研究中心,浙江 金华 321000)摘 要:文章通过分析“单元课时”的数学知识与核心素养的关联,让教师从整体与结构上把握数学知识间的联系,促进学生理解数学本质,发展核心素养.文章以“一次函数的图象”为例,通过解析单元内容、目标,从几何直观的视角制定课时目标,明确教学重点和难点,提炼研究函数图象的一般路径,形成运用图表描述和分析问题的意识和习惯.关键词:几何直观;单元课时;教学设计;一次函数中图分类号:O122.1 文献标识码:A 文章编号:1003-6407(2023)11-0011-04 为实现核心素养导向的教学目标,整体把握教学内容之间的关联,帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系1,要改变过于注重以课时为单位的教学设计,推进单元整体教学.“单元课时”教学设计是在单元教学设计的基础上,给出课时教学设计,以充分体现教学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性和思维的系统性2,体现数学知识之间的内在逻辑关系,以及学习内容与核心素养表现的关联.“一次函数”是浙教版义务教育教科书数学(以下统称“教材”)(八年级上册)第五章的内容,是学生学习函数概念后学习的第一个特殊函数.画出函数图象这一数形结合活动,是认识函数概念、发现函数性质、理解函数本质的重要环节.如何通过画函数图象从整体与结构上认识函数要素之间的关联,从而培养几何直观?笔者以“一次函数的图象”为中心课时,探讨基于几何直观的“单元课时”的教学设计,引导学生感悟数学思想方法,理解数学本质.4 基于网络画板的数学实验课堂实施成效在数学实验课堂上,学生通过网络画板进行探究、思辨、致用和释疑,开拓和发展了学生的思维能力.这一变化促进了学生学习数学的方式的改变,让学生成为学习的主体,成为教学活动的参与者和知识的建构者.通过数学实验和分享学习的多边互动,调动学生参与课堂的积极性,提升学生学习数学的兴趣,培养学生的信息技术能力和解决问题的能力,减轻学生的学习负担,使“双减”真正落地,涵育初中生的实证意识、理性态度、创新精神、进取信念等综合素养.4.1 学生信息化能力的提升一批学有余力且语言表达能力较强的学生,组成“网络画板说题小组”.在教师的指导下,定期拍摄各学段的教学视频,形成优质、全面的网络画板解题资源库,供全体学生观看.4.2 学生逻辑思维能力的提升借助网络画板改变以往书面作业的形式,让学生通过动手操作边玩边学,增加作业的趣味性,丰富学生的想象力,增强学生的动手操作能力,锻炼学生分析问题和解决问题的能力.让学生在数学实验室上课,自己动手绘制几何图形以及函数图象等,再通过移、拼等操作,对数学知识有了更系统的认识.4.3 学生自主学习能力的提升网络画板将抽象的数学变得生动、形象,让静态的图形动起来,让学生通过动手操作将数学神奇般地由难变易、趣味横生,激发学生的学习兴趣,提高学生自主学习的能力.学生在课后对某一题型不完全掌握时,可以观看学生拍摄的说题视频解答疑惑,不占用额外时间,不用重复完成纸质作业,从而减轻学生的作业负担.112023 年第 11 期中学教研(数学)收文日期:2023-06-19;修订日期:2023-07-14作者简介:傅瑞琦(1966),男,浙江金华人,中学高级教师,浙江省特级教师.研究方向:数学教育.1 单元内容、目标及解析函数主要研究变量之间的关系,表达现实世界事物的简单规律,是第 4 学段(79 年级)“数与代数”的核心内容,对高中进一步学习函数具有“脚手架”的作用.每一类特殊函数都隶属于“函数”大单元,不同函数之间都存在一些必然的、逻辑上的联系,将它们整体看待更能体现知识内容的整体性、思想方法的一致性,为学生整体把握知识、提升素养提供了载体.1.1 单元内容及解析函数是学生学习“数与式”“方程与不等式”后学习的第 3 个主题,其单元知识结构图如图 1 所示,围绕函数的要素(对应关系),形成“引入变量对应关系画出图象探究性质解决问题”的学习结构,即从问题情境中抽象概括函数概念,借助在直角坐标系中的描点,理解函数图象与表达式的对应关系,直观得出性质,在应用中感悟函数本质,增强几何直观,发展应用意识.图 11.2 单元目标及解析目标 1 经历从问题情境中发现变量之间的数量关系获得研究对象的过程,通过“观察、分析、概括”获得函数概念,体悟相关函数概念获得的一般方法.达标标志 通过对两个变量对应关系的分析,表述概念.目标 2 经历从函数表达式出发,通过“列表、描点、连线”探究图象的类型,会画 3 种函数的图象,知道它们的整体特征、变化规律,获得函数性质.达标标志 描点画出函数图象,能通过观察、分析、归纳得出图象性质,结合图象对函数关系进行分析.目标 3 能用函数相关知识解决简单实际问题,掌握其学习路径,形成结构化的知识体系,进一步发展模型观念、抽象能力、几何直观和推理能力.达标标志 能从实际问题中建立函数模型,利用函数有关知识解决问题,能梳理函数的学习思路,推广、类比并规划一个新函数的学习路径.2 课时教学设计“单元课时”教学设计是在整体分析教学内容和学生认知规律的基础上,让学生经历前后一致、逻辑连贯的完整学习过程.在宏观层面上,笔者围绕函数的要素,让学生经历函数“画出图象概括性质解决问题”的学习过程;在微观层面上,关注每一环节,将之前学习函数获得的方法迁移到新函数的学习中,深化知识结构.为此,笔者选择函数图象这一单元,规划学习课时,选择“一次函数的图象”进行课时设计(见表 1),重点关注几何直观的形成途径.表 1“一次函数的图象”课时设计 课时内容年段章节第 1 课时:函数图象是函数的 3 种表示方法之一,通过具体实例理解含义教材(八年级上册)第 5.2 节第 2 课时:一次函数的图象经历“描点法”画出图象的过程,形成简化画图象的方法教材(八年级上册)第 5.4 节第 3 课时:反比例函数的图象与性质类比一次函数,经历“描点法”画出图象的过程,并利用中心对称性简化画图象教材(八年级下册)第 6.2 节第 4 课时:二次函数的图象类比一次函数,经历“描点法”画出图象的过程,并利用轴对称性简化画图象教材(九年级上册)第 1.2 节2.1 课时教学目标1)经历“取值列表、描点连线”得到一次函数图象的过程,加深对函数概念的理解,感受变化与对应的数学思想;2)会画一次函数的图象,了解其意义,会求一次函数的图象与坐标轴的交点;21中学教研(数学)2023 年第 11 期3)完善一次函数图象的学习路径,发展图象获得过程中的抽象能力,数与形关联中的几何直观,观察、归纳和论证过程中的推理能力.2.2 教学重点和难点重点 画一次函数的图象.难点 学生能够从感性角度接受“一次函数的图象是一条直线”,但从理性角度接受,验证图象的完备性(在直角坐标系中满足一次函数表达式的点在直线上)、纯粹性(图象上点的坐标满足函数表达式),学生不容易理解其意义,这是本节课教学的难点.3 教学过程设计3.1 提出问题问题 1在 A 型的弹簧下悬挂质量分别为1 kg,2 kg,3 kg,的小球,记下弹簧长度(见表2).若小球的质量为 2.5 kg,试求弹簧的长度.表 2 弹簧长度变化球的质量/kg 弹簧长度/cm 球的质量/kg 弹簧长度/cm0839.518.529 师生活动 学生归纳,小球每增加 1 kg,弹簧长度增加 0.5 cm.当小球的质量为 2.5 kg 时,弹簧的长度为 9+0.50.5=9.25(cm).追问 1弹簧的长度 y(cm)与小球的质量x(kg)之间是函数关系吗?师生活动 依据函数概念,关系式为 y=0.5x+8,是一次函数.图 2 追问 2如图 2,若将各弹簧间隔相同距离摆放,观察有什么特征?设计意图在实验情境中抽象出一次函数模型,直观感受一次函数图象.问题 1 的设问是基于图象加密活动,让学生感受点与点之间还有无数个点需要探究,体会学习函数图象的必要性,为形成推理能力和抽象能力做准备.追问 3 联系函数概念,将学习一次函数哪些内容?如何学习?设计意图 联系图象法的直观优点、学生已有的知识结构,提出学习函数图象的必要性.围绕函数图象的组成要素(符合表达式的点),数形结合地研究函数,形成函数的学习路径.3.2 探究图象问题 2 什么是函数图象?如何画出函数 y=kx+b 的图象?师生活动 通过取值、描点和连线画出图象,采取特例研究的方法,如先画 y=2x,y=2x+2 等的图象来总结画图方法形成函数图象的概念.探究 1 画一次函数 y=2x 的图象.思考 该函数表达式有什么特征?根据这个特征思考如何取值,并猜想图象特征.图 3师生活动引导学生根据表达式的代数特征,猜想图象的几何特征.追问1 根据表3 的数据在图 3 中描点,描出的这些点有什么特征?如何说明坐标满足 y=2x 的点都在这条直线上?表 3 以 x=0 为基准左右对称取值xyxy12-2-424-1-200 1)当 x=0 时,y=0,图象过原点;2)当 x,y 的值同正或同负时,图象过第一、第三象限;3)当 x=2 时,y=4,或当 x=-2 时,y=-4,图象关于原点对称;4)当 x=1 时,y=2,或当 x=2 时,y=4,函数值随着 x 的增大而增大;师生活动 引导学生观察得出猜想,并经历加密验证的过程,如在点 A(1,2),B(2,4)之间再加一点 C32,3(),也在该直线上.追问 2 y=2x 的图象一定是一条直线吗?如何验证?师生活动 经历用几何画板软件验证的过程.一是验证图象的完备性,如图 4,在任意两点之间作一点 M(m,2m),说明满足 y=2x 的点都在这条直线上;二是验证图象的纯粹性,如图 5,在直线上312023 年第 11 期中学教研(数学)取一点 P(x,y),度量点的坐标满足 y=2x,说明直线上任意一点的坐标都满足函数表达式.图 4图 5设计意图借助特例 y=2x,获得“根据特征取值描点顺次联结加密验证”的图象一般画法.借助几何画板软件进一步验证图象的完备性和纯粹性,感悟思维的严密性,发展几何直观.探究 2 画一次函数 y=2x+2 的图象.思考 y=2x+2 与 y=2x 在形式上有何联系?根据这个关系如何取值?师生活动 根据表 4 的取值描点后发现,相同x 值的对应点,函数 y=2x 图象上的点都向上平移2 个单位就是 y=2x+2 图象上的点.表 4 以 x=0 为基准左右对称取值xy=2xy=2x+2xy=2xy=2x+2124-2-4-23235-32-3-1246-1-20002 追问 1 试猜想函数 y=kx+b(其中 k0)与函数 y=kx 的图象关系?如何简便地画一次函数 y=kx+b 的图象?你有什么经验?师生活动 概括得出函数 y=kx+b(其中 k0)与 y=kx 的图象是互相平行的直线.根据“两点确定一条直线”,简化画函数图象的方法.设计意图 通过列表、描点发现两个图象的平移关系,即函数 y=kx+b 的图象可以转化为函数y=kx 的图象,优化画图过程,经历从特殊到一般,感受化归转化思想,进一步发展几何直观.3.3 画出图象图 6问题 3在同一直角坐标系中画出函数 y=3x,y=-3x+2的图象.师生活动画出图象(如图 6),为方便描点,取点的坐标尽可能是整数.追问1 试判断点(-2,-6)是否在函数图象上?师生活动 方法 1 是把 x=-2 代入函数表达式求值,判断 y 值是否为-6;方法 2 是由 y=-6,得方程-6=3x 和-6=-3x+2,求得解是否为-2.追问 2如何求图象与坐标轴的交点坐标?如何求两条直线的交点坐标?师生活动 利用函数表达式与图象的联系,求图象与坐标轴的交点坐标,分别令 x=0 或 y=0,转化为方程求解.求两直线的交点坐标时,转化为方程组y=3x,y=-3x+2,求得交点坐标为13,1().设计意图 通过判断点是否在函数图象上,以及求交点坐标,体会点的坐标与函数表达式之间的关系、方程与函数的关联,进一步体会图象的直观作用以及数形结合的思想.追问 3 说一说“一次函数表达式”“函数图象上的点”“函数图象”之间的关联.师生活动 引导学生总结,通过“一次函数表达式”取两组对应值,描出两点画出直线(函数图象),也可以在直线(函数图象)上取两点,求该“一次函数表达式”.设计意图 通过画图象后的解题反思,进一步领会“表达式、图象上的点、图象”之间的关联,自然引出待定系数法求函数表达式,完善研究函数的路径.3.4 问题解决问题 4 B 型弹簧不挂小球时长 6 cm,挂上小球后伸长的长度与所挂的小球质量成正比,挂上1 kg 的小球弹簧的长度为 6.9 cm.当用相同质量的小球时,该弹簧与问题 1 中 A 型弹簧的长度能否相等?思考 你能通过画图象的方法判断吗?图 7师生活动设弹簧的长度为 y(cm),小 球 质 量 为x(kg),在图 7 中画出两个函数的图象,两直线有交点,说明两弹簧的长度能够相等.追问 1你能求两直线的交点坐标吗?其实际意义是什么?师生活动设 B 型弹簧的函数表达式为 y=kx+6.当 x=1 时,y=6.9,代入求得 k=0.9,即 B 型41中学教研(数学)2023 年第 11 期弹簧的函数表达式为 y=0.9x+6.联立方程组y=0.5x+8,y=0.9x+6,解得x=5,y=10.5,交点坐标为(5,10.5).实际意义是当小球的质量为 5 kg 时,两弹簧的长度都是 10.5 cm.设计意图 通过画图象后进行判定,体现图象的直观性.用图象知识解决问题,再一次体现图象的意义和用处,发展几何直观和推理能力.3.5 概括总结问题 5通过本节课的学习,获得了哪些新知?是按照怎样的路径研究?进一步将学习什么内容?师生活动 引导学生通过小结,概括出知识结构图.设计意图将本节课的知识纳入一次函数的知识结构中,指出进一步学习的内容和方向(图象性质和应用),形成完整的知识体系,进一步完善学习路径.4 教学建议函数的教学目标是要让学生理解用函数表达变量关系的实际意义,体会建模思想;理解函数图象与表达式的对应关系,增强几何直观;会用函数表达现实世界的变化规律,发展应用意识.4.1 运用图表体验函数模型图表具有信息量大、整体性强、直观明了等特点,常成为人们表达和交流的重要工具3.因此,在一次函数的研究中,通过取值列表,一是感知变量的对应关系、函数表达式与图象的关联;二是初步感知函数的性质、系数对图象的影响等,如用点坐标的符号判断图象所经过的象限;三是发现函数y=2x 与 y=2x+2 图象间的平移关系,即研究函数y=kx+b 的图象可转化为研究函数 y=kx 的图象问题,体现化归思想,为其他特殊函数图象的研究提供路径,发展基于图表的几何直观.4.2 数形结合发展推理能力直角坐标系可以直观描述函数两个变量之间的对应关系,为数形结合提供逻辑基础,通过数形结合活动帮助学生借助图象的直观,逐步形成代数形式的直观,从而发展数学直觉.例如,y=2x 的代数特征与函数图象特征的关联,为“形”的角度研究函数提供基础.求图象的交点坐标,是用函数的观点,即用图象的直观性来处理方程问题.又如,数(y=kx+b)与形(直线)的对应关系,斜率 k 相同的两条直线可以互相平移等,形成从几何变化的视角研究图象、探索性质的思维,将抽象的逻辑推理体现在具体的图象之中.关注基于代数的逻辑推理,基于图象的函数想象,提升发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力,以及有逻辑地表达与交流的能力,促进推理能力的形成.4.3 提炼路径实现方法迁移本单元主要研究对象是函数,需要以一次函数的研究为起点,完善研究函数的途径、依据、结果等,构成研究方法体系,为后续学习反比例函数、二次函数提供路径.如图 8,在一次函数图象的研究中,形成“一般描点法”到“方法优化”的结构,应用该结构研究反比例函数图象,并深化结构研究二次函数图象.通过类比,进行前后连贯、逻辑一致的教学,帮助学生构建有序、系统的知识结构,促进知识与方法的迁移,以及几何直观等核心素养的形成.图 8参 考 文 献1 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2022 年版)M.北京:北京师范大学出版社,2022.2 章建跃.普通高中教科书数学(人教 A 版)“单元课时教学设计”体例与要求J.中学数学教学参考(上旬),2019(8):14-16.3 鲍建生,章建跃.数学核心素养在初中阶段的主要表现之三:几何直观J.中国数学教育(初中版),2022(7/8):3-9.512023 年第 11 期中学教研(数学)