2018高一数学滚动练习50-普通用卷(1).doc

2018宁海中学高一数学滚动练习50
期末复习
题号
一
二
总分
得分

一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
1. 已知集合A={−1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B= ______ ．
2. 已知f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)=x+1，则f(−1)= ______ ．
3. 若tanα=3，tanβ=43，则tan(α−β)等于______ ．
4. 已知A(−3，4)、B(5，−2)，则|AB|= ______ ．
5. 函数y=e2x−1的零点是______ ．
6. 把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，再将图象上所有点向右平移π3个单位，所得函数图象所对应的解析式为______ ．
7. 若函数f(x)=(14)x，x∈[−2017，0)4x，x∈[0，2017]，则f(log23)= ______ ．
8. 函数y=sin(2x−π4)的单调递增区间为______ ．
9. 设a，b是两个不共线向量，AB=2a+pb，BC=a+b，CD=a−2b，若A、B、D三点共线，则实数P的值是______ ．
10. 若cos2αsin(α−π4)=−22，则sin2α的值为______ ．
11. f(x)=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是______ ．
12. 如图，O是坐标原点，M、N是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，则|OM+ON|的范围为______ ．

13. 如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若sinθ=14，则折痕l的长度= ______ cm．

14. 函数f(x)=bx+cax2+1(a，b，c∈R)是奇函数，且f(−2)≤f(x)≤f(2)，则a= ______ ．
二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
15. 已知a=(1，2)，b=(−3，1)．
(Ⅰ)求a−2b；
(Ⅱ)设a，b的夹角为θ，求cosθ的值；
(Ⅲ)若向量a+kb与a−kb互相垂直，求k的值．

16. 已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，cosβ=−13，sin(α+β)=4−26．
(I)求tan2β的值；
(II)求α的值．

17. 已知函数f(x)满足f(x+1)=lg(2+x)−lg(−x)．
(1)求函数f(x)的解析式及定义域；
(2)解不等式f(x)<1；
(3)判断并证明f(x)的单调性．

18. 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为p元，写出函数p=f(x)的表达式；
(3)当销售商一次订购多少个时，该厂获得的利润为6000元？(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价−成本)

19. 如图1，在△ABC中，|AB|=2，|AC|=1，点D是BC的中点．
(I)求证：AD=AB+AC2；
(II)直线l过点D且垂直于BC，E为l上任意一点，求证：AE⋅(AB−AC)为常数，并求该常数；
(III)如图2，若cos=34，F为线段AD上的任意一点，求AF⋅(FB+FC)的范围．

20. 已知g(x)=x2−2ax+1在区间[1，3]上的值域[0，4]．
(1)求a的值；
(2)若不等式g(2x)−k⋅4x≥0在x∈[1，+∞)上恒成立，求实数k的取值范围；
(3)若函数y=g(|2x−1|)|2x−1|+k⋅2|2x−1|−3k有三个零点，求实数k的取值范围．

答案和解析
【答案】
1. {0，1}  
2. 2  
3. 13  
4. 10  
5. 0  
6. y=sin(2x−2π3)  
7. 9  
8. (−π8+kπ，3π8+kπ)  ，(k∈Z)  
9. −1  
10. −34  
11. (−∞，−2]∪[2，+∞)  
12. [0．2)  
13. 645  
14. 14  
15. 解：(Ⅰ)a−2b=(1，2)−2(−3，1)=(1+6，2−2)=(7，0)．
(Ⅱ)cosθ=a⋅b|a|⋅|b|=1×(−3)+2×11+(−3)222+1=−210．
(Ⅲ)因为向量a+kb与a−kb互相垂直，
所以，(a+kb)⋅(a−kb)=0，即a2−k2b2=0
因为a2=5，b2=10，所以，5−10k2=0，解得k=±22．  
16. (本题满分为14分)
解：(I)∵β∈(π2，π)，cosβ=−13，可得：sinβ=1−cos2β=223，…2分
∴tanβ=sinβcosβ=223−13=−22，…4分
∴tan2β=2tanβ1−tan2β=427…7分
(II)∵α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，
∴α+β∈(π2，3π2)，
又∵sin(α+β)=4−26，
∴cos(α+β)=−1−sin2(α+β)=−4+26，…9分
∴cosα=cos(α+β−β)=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=(4+26)×(−13)+223×(4−26)=22，
∵α∈(0，π2)，
∴α=π4.…14分  
17. 解：(1)f(x+1)=lg(2+x)−lg(−x)，
可令t=x+1，则x=t−1，可得f(t)=lg(1+t)−lg(1−t)，
即有f(x)=lg(1+x)−lg(1−x)，
由1+x>0且1−x>0，解得−1<x<1，
则函数f(x)的定义域为(−1，1)；
(2)由f(x)<1即lg(1+x)−lg(1−x)<1，
即为lg(1+x)<lg10(1−x)，
可得0<1+x<10(1−x)，
解得−1<x<911，
则不等式的解集为(−1，911)；
(3)证明：f(x)在(−1，1)上为增函数．
理由：设−1<m<n<1，则f(m)−f(n)=lg(1+m)−lg(1−m)−[lg(1+n)−lg(1−n)]
=lg1+m1−m−lg1+n1−n=lg1+m1−m⋅1−n1+n=lg1+m1+n⋅1−n1−m，
由于−1<m<n<1，可得1−m>1−n>0，1+n>1+m>0，
可得0<1+m1+n<1，0<1−n1−m<1，
则0<1+m1+n⋅1−n1−m<1，
即有lg1+m1+n⋅1−n1−m<0，
则f(m)−f(n)<0，即f(m)<f(n)，
故f(x)在(−1，1)上为增函数．  
18. 解：(1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x0个，
则x0=100+60−510.02=550(个)
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元.…(2分)
(2 )当0≤x≤100时，p=60；…(3分)
当100<x<550时，p=60−0.02(x−100)=62−x50；…(4分)
当x≥550时，p=51.…(5分)
所以p=60(0<x≤100)62−x50(100<x<550)51(x≥550)(x∈N*)…(6分)
(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L=(p−40)x=20x(0<x≤100)22x−x250(100<x<550)(x∈N*)11x(x≥550)…(9分)
当0<x≤100时，L≤2000；…(10分)
当x≥500时，L≥6050；…(11分)
当100<x<550时，L=22x−x250．
由22x−x250=6000100<x<550，解得x=500．
答：当销售商一次订购500个时，该厂获得的利润为6000元.…(13分)  
19. (I)证明：延长AD到A1使得AD=DA1，连接CA1，A1B，
∵D是BC的中点，
∴四边形ACA1B是平行四边形，
∴AA1=AB+AC，
∵AD=AB+AC2；
(II)证明：∵AE=AD+DE，
∴AE⋅(AB−AC)=(AD+DE)⋅(AB−AC)=AD⋅CB+DE⋅CB，
∵DE⊥BC，∴DE⋅CB=0，
∵AD⋅CB=12(AB2−AC2)=32，
∴AE⋅(AB−AC)=32
(III)解：△ABC中，|AB|=2，|AC|=1，cosA=34，AD=AB+AC2，

∴|AD|=124+2×2×1×34+1=2，
同理FB+FC=2FD，
∴AF⋅(FB+FC)=AF⋅2FD=|AF|⋅|FD|，
设|AF|=x，则|FD|=2−x(0≤x≤2)，
∴AF⋅(FB+FC)=2x(2−x)≤2(x+2−x2)2=1，当且仅当x=22时取等号，
∴AF⋅(FB+FC)∈(0，1]．  
20. 解：(1)g(x)=x2−2ax+1=(x−a)2+1−a2在区间[1，3]上的值域[0，4]．
若1≤a≤3时，g(x)的最小值为g(a)=1−a2，
由1−a2=0，可得a=1(−1舍去)，g(x)=(x−1)2满足在区间[1，3]上的值域[0，4]；
若a>3时，g(x)在[1，3]递减，g(x)的最小值为g(3)，
由g(3)=10−6a=0，解得a=53(舍去)；
若a<1，则g(x)在[1，3]递增，g(x)的最小值为g(1)，
由g(1)=2−2a=0，解得a=1．
综上可得，a=1；
(2)由g(2x)−k⋅4x≥0即(2x)2−2⋅2x+1−k⋅4x≥0，
化为k≤(2−x)2−2⋅2−x+1，令t=2−x，由x≥1可得0<t≤12，
则k≤t2−2t+1，0<t≤12，
记h(t)=t2−2t+1，0<t≤12，由单调递减，可得h(t)的最小值为(12−1)2=14，
则k的取值范围是k≤14；
(3)令y=0，可化为|2x−1|2−2⋅|2x−1|+1+2k−3k⋅|2x−1|=0(|2x−1|≠0)有3个不同的实根．
令t=|2x−1|，则t>0，由2x−1>−1，当x<0时，t=|2x−1|=1−2x，t∈(0，1]且递减，
当0<x<1时，t=|2x−1|=2x−1，t∈(0，1)且递增，
当x=1时，t=1.当x>1时，t=|2x−1|=2x−1，t∈(1，+∞)且递增，
t2−(3k+2)t+1+2k=0有两个不同的实数解t1，t2，
已知函数有3个零点等价为0<t1<1，t2>1或0<t1<1，t2=1，
记m(t)=t2−(3k+2)t+1+2k，则2k+1>0m(1)=−k<0或h(0)=2k+1>0h(1)=−k=00<3k+22<1，
解得k>0或k无实数解，
综上可得，k的取值范围是(0，+∞)．  
【解析】
1. 解：∵集合A={−1，0，1}，B={0，1，2}，
∴A∩B={0，1}．
故答案为：{0，1}．
利用交集的性质求解．
本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用．
2. 解：∵f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)=x+1，
∴当x<0时，f(x)=−x+1，
∴f(−1)=−(−1)+1=2．
故答案为：2．
由题意得当x<0时，f(x)=−x+1，由此能求出f(−1)．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
3. 解：tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=3−431+3×43=13，
故答案为13．
由正切的差角公式tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ解之即可．
本题考查正切的差角公式．
4. 解：由题意A(−3，4)、B(5，−2)，
∴|AB|=(−3−5)2+(4+2)2=100=10
故答案为10
由题意，已知A(−3，4)、B(5，−2)，将此两点坐标代入向量求模的公式，计算即可得到|AB|的值
本题考查平面向量坐标表示的运用，考查了向量模的坐标表示公式，解题的关键是熟练记忆求模公式，本题是基础概念考查题，向量基本题，求模公式虽简单，但其用途很大，是向量中重要公式，要准确掌握它的形式
5. 解：令y=0，即e2x=1，解得：x=0，
故答案为：0．
令y=0，求出x的值，即函的零点即可．
本题考查了解方程问题，考查函数的零点的定义，是一道基础题．
6. 解：把图象上所有点的横坐标缩小到原来的 12，得到y=sin2x，
再函数y=sin2x的图象上所有点向右平移 π3个单位，得到y=sin[2(x−π3)]=sin(2x−2π3)对图象，
∴所求函数的解析式为：y=sin(2x−2π3).
故答案为：y=sin(2x−2π3).
把图象上所有点的横坐标缩小到原来的 12，得到y=sin2x，再函数y=sinx的图象上所有点向右平移 π3个单位，得到y=sin[2(x−π3)]，写出要求的结果．
本题考查三角函数图形的变换，注意在图象平移时，要看清楚函数的解析式中x的系数是不是1，若只考查图象变换，则一般先平移后伸缩．
7. 解：∵函数f(x)=(14)x，x∈[−2017，0)4x，x∈[0，2017]，
log23>log22=1，
∴f(log23)=4log23=4log49=9．
故答案为：9．
由log23>log22=1，得到f(log23)=4log23，由此利用对数性质及运算法则能求出结果．
本题考查数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
8. 解：令2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，k∈z，求得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈z，故函数的增区间为(−π8+kπ，3π8+kπ) ，(k∈Z)
故答案为 (−π8+kπ，3π8+kπ) ，(k∈Z)．
令2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的增区间．
本题主要考查复合三角函数的单调性，属于中档题．
9. 解：∵BC=a+b，
CD=a−2b，
∴BD=2a−b，
∵A、B、D三点共线，
∴AB=λBD，
∴2=2λ，p=−λ
∴p=−1，
故答案为：−1．
要求三点共线问题，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判断，本题知道AB，要根据BC和CD算出BD，再用向量共线的充要条件．
本题考查三点共线问题，注意使用三点共线的充要条件，三点共线实质上就是两向量共线，容易出错的是向量共线的坐标形式．
10. 解：∵cos2αsin(α−π4)=−22，
∵2cos2α=2sin(π4−α)，
∴2(cos2α−sin2α)=cosα−sinα，
∴cosα−sinα=0，或cosα+sinα=12，
平方可得1−sin2α=0，或1+sin2α=14，
∴sin2α=1，或sin2α=−34，
∵若sin2α=1，则cos2α=0，代入原式可知应舍去，
故答案为：−34．
由三角函数公式化简已知式子可得cosα−sinα=0或cosα+sinα=12，平方可得答案．
本题考查两角和与差的三角函数公式，二倍角公式的应用，属基础题．
11. 解：f(x)=x2，x∈[t，t+2]，
不等式f(x+t)≥2f(x)=f(2x)在[t，t+2]恒成立，
即|x+t|≥|2x|在[t，t+2]恒成立，
即：x≤(1+2)t在[t，t+2]恒成立，
或x≤(1−2)t在[t，t+2]恒成立，
解得：t≥2或t≤−2，
故答案为：(−∞，−2]∪[2，+∞)．
问题转化为|x+t|≥|2x|在[t，t+2]恒成立，去掉绝对值，得到关于t的不等式，求出t的范围即可．
本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．
12. 解：设OM，ON的夹角为θ，θ∈(π2，π]，则cosθ∈[−1，0)，
|OM+ON|2=OM2+ON2+2OM⋅ON=2+2cosθ∈[0，2)
|OM+ON|的范围为：[0，2)，
故答案为[0，2).
设OM，ON的夹角为θ，θ∈(π2，π]，则cosθ∈[−1，0)，|OM+ON|2=OM2+ON2+2OM⋅ON=2+2cosθ即可．
本题考查了向量模的取值范围的求解，转化为三角函数求最值，属于基础题．
13. 解：由已知及对称性知，GF=BF=lcosθ，GE=BE=lsinθ，
又∠GEA=∠GFB=2θ，
∴AE=GEcos2θ=lsinθcos2θ，
又由AE+BE=lsinθcos2θ+lsinθ=6得：l=6sinθ(1+cos2θ)
=6sinθ(2−2sin2θ)=614×[2−2×(14)2]=645．
故答案为：645．
根据图形判断直角三角形，利用直角三角形求解AE=GEcos2θ=lsinθcos2θ，由AE+BE=lsinθcos2θ+lsinθ=6，求解即可．
本题考查了矩形的对折问题、直角三角形的边角关系、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14. 解：∵函数f(x)=bx+cax2+1(a，b，c∈R)是奇函数且定义域内有0
∴f(0)=0
解得c=0，故f(x)=bxax2+1．
x>0，a>0，f(x)=bxax2+1=bax+1x≤b2a(ax=1x时取等号)
∵f(−2)≤f(x)≤f(2)，∴2a=1a，∴a=14．
故答案为14．
由f(0)=0可求c，根据f(−2)≤f(x)≤f(2)，利用基本不等式，即可得出结论．
本题主要考查了奇函数性质的简单应用，考查基本不等式的运用，属于中档题．
15. (Ⅰ)利用两个向量坐标形式的加减运算法则，进行运算．
(Ⅱ)把两个向量的坐标直接代入两个向量的夹角公式进行运算．
(Ⅲ)因为向量a+kb与a−kb互相垂直，所以，它们的数量积等于0，解方程求得k的值．
本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，
两个向量夹角公式的应用．
16. (I)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinβ，tanβ，进而利用二倍角的正切函数公式即可求得tan2β．
(II)由已知可求范围α+β∈(π2，3π2)，利用同角三角函数基本关系式可求cos(α+β)的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解cosα的值，结合范围α∈(0，π2)，可求α=π4．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
17. (1)可令t=x+1，则x=t−1，代入可得f(t)，即f(x)的解析式；再由对数的真数大于0，可得函数的定义域；
(2)运用对数的运算性质和对数函数的单调性，可得不等式，解不等式可得解集；
(3)f(x)在(−1，1)上为增函数.由单调性定义，分设值、作差、变形和定符号、下结论，注意运用对数函数的性质，即可得证．
本题考查函数的解析式的求法，注意运用换元法，考查不等式的解法，注意运用对数函数的单调性，同时考查运用定义法证明函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
18. (1)根据当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，可求得一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元；
(2)函数为分段函数，当0≤x≤100时，p为出厂单价；当100<x<550时，p=60−0.02(x−100)=62−x50；当x≥550时，p=51，故可得结论；
(3)根据工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价−成本，求出利润函数，利用利润为6000元，可求得结论．
本题考查函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是确定分段函数模型．
19. (I)延长AD到A1使得AD=DA1，连接CA1，A1B，证明四边形ACA1B是平行四边形，即可证明：AD=AB+AC2；
(II)证明AE⋅(AB−AC)=(AD+DE)⋅(AB−AC)=AD⋅CB+DE⋅CB，即可得出：AE⋅(AB−AC)为常数，并求该常数；
(III)确定AF⋅(FB+FC)=2x(2−x)，利用基本不等式，求AF⋅(FB+FC)的范围．
本题考查平面向量知识的运用，考查向量数量积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20. (1)对g(x)配方，求出对称轴x=a，讨论若1≤a≤3时，若a>3时，若a<1，由单调性可得最小值，解方程，即可得到所求a的值；
(2)由题意可得(2x)2−2⋅2x+1−k⋅4x≥0，化为k≤(2−x)2−2⋅2−x+1，令t=2−x，求出t的范围，求得右边函数的最小值即可得到k的范围；
(3)令y=0，可化为|2x−1|2−2⋅|2x−1|+1+2k−3k⋅|2x−1|=0(|2x−1|≠0)有3个不同的实根.令t=|2x−1|，讨论t的范围和单调性，t2−(3k+2)t+1+2k=0有两个不同的实数解t1，t2，已知函数有3个零点等价为0<t1<1，t2>1或0<t1<1，t2=1，记m(t)=t2−(3k+2)t+1+2k，由二次函数图象可得不等式组，解不等式可得k的范围．
本题考查二次函数在闭区间上最值问题，注意对称轴和区间的关系，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查函数零点问题，注意转化思想运用，考查分类讨论思想方法运用，以及运算化简能力，属于难题．
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