2020年高三数学崇明一模.doc

上海市崇明区2020届高三一模数学试卷
2019.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 已知集合，，则
2. 不等式的解集是
3. 半径为1的球的表面积是
4. 已知等差数列的首项为1，公差为2，则该数列的前项和
5. 函数的反函数是
6. 计算：
7. 二项式的展开式中常数项的值等于
8. 若双曲线的一个顶点坐标为，焦距为10，则它的标准方程是
9. 已知、，若直线与直线互相垂直，则的最大
值等于
10. 已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，
则实数的值等于
11. 某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，
若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同
的选派方案共有 种
12. 正方形ABCD的边长为4，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足，则
的最小值为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
14. 已知，“”是“为纯虚数”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

15. 如图，在底面半径和高均为的圆锥中，AB、CD是底
面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过
CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一
部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离等于（ ）
A. B. C. D.
16. 若不等式对恒成立，则的值等于（ ）
A. B. C. D.

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 在直三棱柱中，，，.
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求点与平面的距离.

18. 已知函数.
（1）求函数的最大值，并写出取得最大值时的自变量的集合；
（2）设△的内角、、所对的边分别为、、，且，，
若，求、的值.

19. 某辆汽车以公里/小时速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求
）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升.
（1）欲使每小时的油耗不超过9升，求的取值范围；
（2）求该汽车行驶100公里的油耗关于汽车行驶速度的函数，并求的最小值.

20. 已知椭圆，其左右顶点分别为、，上下顶点分别为、，圆
是以线段为直径的圆.
（1）求圆的方程；
（2）若点、是椭圆上关于轴对称的两个不同的点，直线、分别交轴于点、
，求证：为定值；
（3）若点是椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

21. 已知无穷数列、、满足：对任意的，都有，，，记（表示3个实数、、中的最大值）.
（1）若，，，求、、的值；
（2）若，，求满足的的所有值；
（3）设、、是非零实数，且、、互不相等，证明：存在正整数，使得数列、、中有且只有一个数列自第项起各项均为0.