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2021-2022学年高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 第1课时 不等关系与不等式学案 新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 第1课时 不等关系与不等式学案 新人教A版必修第一册

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第2章 一元二次函数、方程和不等式
2.1　等式性质与不等式性质
第1课时　不等关系与不等式
学 习 任 务
核 心 素 养
1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)
2．会用比较法比较两实数的大小．(重点)
1.借助不等式表示实际问题，提升数学建模素养．
2. 通过比较大小，培养逻辑推理素养.

你见过图中的高速公路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1(单位：km/h，下同)应该满足100≤v1≤120；右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率v2应该满足60≤v2≤100.

知识点1　基本事实
如果a－b是正数，那么a>b；
如果a－b等于0，那么a＝b；
如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．
依据
a>b⇔a－b>0；
a＝b⇔a－b＝0；
a<b⇔a－b<0
结论
要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小
1.思考辨析(正确的画√，错误的画×)
(1)不等式a≥b等价于“a不小于b”．(　　)
(2)若x－2≤0，则x<2.(　　)
(3)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√
2.大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为(　　)
A．T<40 B．T>40　　
C．T≤40 D．T≥40
C　[限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.]

如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边的长为a，b(a≠b)．
(1)正方形的面积为多少？4个直角三角形的面积为多少？由此可以得出一个什么不等式？
(2)如果4个直角三角形变为等腰直角三角形，即正方形EFGH缩为一个点，这时(1)中的不等关系变成了什么关系？
知识点2　重要不等式
一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
3.若a，b∈R，且a2＋b2＝1，则ab的最大值为________，此时a＝________.
　　[∵a2＋b2≥2ab，∴ab≤＝，
当且仅当a＝b＝时等号成立．]

类型1　用不等式(组)表示不等关系
【例1】　京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．
[解]　设复兴号列车速度为v1，
民航飞机速度为v2，
普通客车速度为v3.
v1、v2的关系：2v1＋100≤v2，
v1、v3的关系：v1＞3v3.

在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可用不等式(组)来表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一．

1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系．
[解]　由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0<x≤18，
这时菜园的另一条边长为＝(m)．
因此菜园面积S＝x·，
依题意有S≥216，即x≥216，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为
类型2　比较两数(式)的大小
【例2】　(对接教材P38例题)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，
∴(3x2＋1)(x－1)≤0，
∴3x3≤3x2－x＋1.

把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝(3x2＋1)(x－1)．
∵3x2＋1＞0，
当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；
当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；
当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1.

作差法比较两个实数大小的基本步骤

2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
[解]　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1
＝2＋.
∵2≥0，∴2＋≥＞0.
∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0，
∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.
类型3　不等关系的实际应用
【例3】　某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．

先分别建立费用表达式，再思考如何借助基本事实比较两数大小．

[解]　设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝nx.
因为y1－y2＝x＋xn－nx
＝x－nx＝x，
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2.
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．

解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后用作差法比较它们的大小即可．

3．为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并求有哪些符合题意的组建方案．
[解]　因为组建中型图书角x个，所以组建小型图书角为(30－x)个，
则
解这个不等式组得18≤x≤20.
由于x只能取正整数，
所以x的取值是18,19,20.
当x＝18时，30－x＝12；
当x＝19时，30－x＝11；
当x＝20时，30－x＝10.
故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个.

1．某路段竖立的的警示牌是提示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为(　　)
A．v<60　 B．v>60　　　
C．v≤60　 D．v≥36
[答案]　C
2．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是(　　 )
A．a－b＞0　　 B．a－b＜0
C．a－b≥0 D．a－b≤0
[答案]　C
3．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　)
A．v≤120 km/h且d≥10 m
B．v≤120 km/h或d≥10 m
C．v≤120 km/h
D．d≥10 m
A　[v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m，故选A.]
4．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________．
4．5t<28 000　[由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000.]
5．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”)
>　[因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0.]

回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．作差法比较两个实数的大小的依据是什么？
[提示]　a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.
2．作差法比较大小的一般步骤是什么？
[提示]　第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；
第三步：定号，就是确定差是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．