高中数学-第一章-解三角形-1.2-应用举例(二)导学案-新人教A版必修5.docx

高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例（二）导学案 新人教A版必修5

高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例（二）导学案 新人教A版必修5

年级：
姓名：

1.2 应用举例（二）
教学目标
1.会运用测仰角(或俯角)解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.
2.会用测方位角解决立体几何中求高度问题.
3.进一步培养学习数学、应用数学的意识．
教学过程　
一、创设情景
教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《1.2应用举例（二）》课件测量“天塔”高度的问题，与大家分享自己对此类问题解决办法的了解。通过举例说明和互相交流，做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价.
二、自主学习
1.　如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，如果能测出点C，D间的距离m和由C点，D点观察A的仰角，怎样求建筑物高度AB？(已知测角仪器的高是h)

提示：
在△ACD中，＝
所以AC＝，
在Rt△AEC中，AE＝ACsinα，
AB＝AE＋h.
2.　如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD?

提示：
先在△ABC中，用正弦定理求BC＝，再在Rt△DBC中求DC＝BCtan8°.
二、合作探究　
探究点1：测量仰角(或俯角)求高度问题
例1　如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(　　)

A．10m B．5m
C．5(－1) m D．5(＋1) m
D　[设AB＝xm，则BC＝xm.
∴BD＝(10＋x)m.
∴tan∠ADB＝＝＝.
解得x＝5(＋1)m.
所以A点离地面的高AB等于5(＋1)m.]
名师点评：　(1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形．
(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进．
例2　如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD.(精确到1m)

解　在△ABC中，
∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，
∠BAC＝α－β，∠BAD＝α.
根据正弦定理，＝，
所以AB＝＝.
解Rt△ABD，
得BD＝ABsin∠BAD＝.
将测量数据代入上式，得
BD＝
＝
≈176.5(m)．
CD＝BD－BC≈176.5－27.3≈149(m)．
答　山的高度约为149m.
名师点评：利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题．
探究点2：测量方位角求高度问题
例3　如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.

解　由于CD⊥平面ABD，
∠CAD＝45°，所以CD＝AD.
因此只需在△ABD中求出AD即可，
在△ABD中，
∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
由＝，得
AD＝＝
＝800(＋1)(m)．
即山的高度为800(＋1) m.
名师点评：此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题．
四、当堂检测
1．一架飞机在海拔8000m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________m．(精确到0.1m)
2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．
3．为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．

提示：1．5856.4　2.20米，米
3．解　在△ABT中，
∠ATB＝21.4°－18.6°＝2.8°，
∠ABT＝90°＋18.6°，AB＝15(m)．
根据正弦定理，＝，
AT＝.
塔的高度为
AT×sin21.4°＝×sin21.4°
≈106.19(m)．
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
1．在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式．
2．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
六、课例点评
解三角形的应用是数学联系实际的良好素材，但是，一般情况下，教师从高考的角度出发，将重点放在解题的方法与技巧上。本课例从实际应用的角度出发，将教学重点设置为“数学建模”，从学生的视角出发，顺应学生的思维发展和学习规律，真正做到了“课堂教学以学生为主体”的教学理念。教学内容科学严谨，材料充足，语言准确，媒体使用合理有效。