2020-2021高中数学-第六章-计数原理-6.2.2-排列数素养检测新人教A版选择性必修第三册.doc

2020-2021高中数学 第六章 计数原理 6.2.2 排列数素养检测新人教A版选择性必修第三册

2020-2021高中数学 第六章 计数原理 6.2.2 排列数素养检测新人教A版选择性必修第三册

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姓名：

三　排　列　数

(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.若=2,则m的值为 (　　)
A.5 B.3 C.6 D.7
【解析】选A.根据题意,若=2,则有m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)=2×m(m-1)(m-2),
即(m-3)(m-4)=2,解可得:m=5(m=2舍去).
2.若6名学生排成两排,每排3人,则不同的排法种数为 (　　)
A.36 B.120 C.720 D.240
【解析】选C.此问题可以看成求6名同学站成一排的方法数,即==720.
3.计算= (　　)
A.12 B.24 C.30 D.36
【解析】选D.=7×6×,=6×,
所以原式==36.
4.由0,1,2,3,4,5组成的无重复数字的三位数中是5的倍数的有 (　　)
A.120个 B.30个 C.36个 D.48个
【解析】选C.因为5的倍数的特征是个位数字为5或0,所以按照个位数字分为两类:
当个位数字为5时,首位数字从1,2,3,4中选一个,十位数字从0及余下的3个数字中选一个,所以有4×4=16个;当个位数字为0时,前面两位数字从1,2,3,4,5中选2个排列,所以有=5×4=20个,
所以所求的三位数有16+20=36个.
5.现有10名学生排成一排,其中4名男生,6名女生,若有且只有3名男生相邻排在一起,则不同的排法共有　　　　种 (　　) 
A. B.
C. D.
【解析】选D.采用捆绑法和插空法;从4名男生中选择3名,进而将3个相邻的男生捆在一起,看成1个男生,方法数是种,这样与第4个男生看成是2个男生;然后6个女生任意排的方法数是种;最后在6个女生形成的7个空隙中,插入2个男生,方法数是种.综上所述,不同的排法共有种.
6.10个人排队,其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻的排法有 (　　)
A.种 B.-种
C.种 D.种
【解析】选C.因为10个人排成一排,其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻排成一排,所以采用插空法来解,另外六人,有种结果,再在排列好的六人的七个空隙里,排列甲、乙、丙、丁,有种结果,根据分步乘法计数原理知共有种.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.在学校国庆文艺晚会上,有三对教师夫妇参加表演节目,要求每人只能参加一个单项表演节目.按节目组节目编排要求,男教师的节目不能相邻,且夫妻教师的节目也不能相邻,则该6名教师表演的节目的不同编排顺序共有　　　　种.(用数字填写答案) 
【解析】把6个节目按照先后出场顺序依次记为编号1,2,3,4,5,6,则3名男教师只有(1,3,5),(1,3,6),(1,4,6),(2,4,6)共4种位置安排,由于夫妻教师的节目又不能相邻,可得以上4种安排的每种安排里,3名女教师的安排均是1种,故该6名教师的节目不同的编排顺序共有4=24种.
答案:24
8.三个女生和五个男生排成一排.
(1)如果女生必须全排在一起,可有　　　种不同的排法. 
(2)如果女生必须全分开,有　　　种不同的排法. 
【解析】(1)由于女生排在一起,可把她们看成一个整体,这样同五个男生合在一起有六个元素,排成一排有种排法,而其中每一种排法中,三个女生间又有种排法,因此共有·=4 320种不同排法.
(2)先排5个男生,有种排法,这5个男生之间和两端有6个位置,从中选取3个位置排女生,有种排法,因此共有·=14 400种不同排法.
答案:(1)4 320　(2)14 400
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.七名班委中有A,B,C三人,有七种不同的职务,现对七名班委进行职务具体分工.
(1)若正、副班长只能从A,B,C三人中选两人担任,有多少种分工方案?
(2)若正、副班长至少要选A,B,C三人中的一人担任,有多少种分工方案?
【解析】(1)先排正、副班长有种方案,再安排其余职务有种方案,依分步乘法计数原理知,共有=720种分工方案.
(2)七人中任意分工方案有种,A,B,C三人中无一人任正、副班长的分工方案有种,因此A,B,C三人中至少有一人任正、副班长的分工方案有-=3 600(种).
10.用0,1,2,3,4,5这六个数字,完成下面两个小题.
(1)若数字不允许重复,可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数?
(2)若直线方程ax+by=0中的a,b可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字,则直线方程表示的不同直线共有多少条?
【解析】(1)当末位数字是0时,百位数字有4个选择,共有4=96(个);
当末位数字是5,首位数字是3时,共有=24(个);
当末位数字是5时,首位数字是1或2或4时,共有3×3×=54(个);
故共有96+24+54=174(个).
(2)a,b中有一个取0时,有2条;a,b都不取0时,有=20(条);
a=1,b=2与a=2,b=4重复;a=2,b=1,与a=4,b=2重复.
故共有2+20-2=20(条).

(35分钟　70分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对得3分,有选错的得0分)
1.3位数学家,4位物理学家,站成两排照相.其中前排3人后排4人,要求数学家要相邻,则不同的排队方法共有 (　　)
A.5 040种 B.840种 C.720种 D.432种
【解析】选D.第一类:3位数学家相邻在前排有种;第二类:三位数学家相邻在后排,先从4位物理学家中选3位排在前排有种,将3位数学家合一,与剩下的一名物理学家在后排排列有种,3位数学家再排有种,此类共有种,综上共有+=432(种).
2.将9个相同的小球放入3个不同的盒子,要求每个盒子中至少有一个小球,且每个盒子里的小球个数都不相同,则不同的放法有 (　　)
A.15种 B.18种 C.19种 D.21种
【解析】选B.每个盒子先放一个球,用去3个球,则不同放法就是剩余6个球的放法;有两类:第一,6个球分成1,5或2,4两组,共有2=12种方法;第二,6个球分成1,2,3三组,有=6种方法.所以不同放法共有12+6=18(种).
3.(多选题)A,B,C,D,E五个人并排站在一起,则下列说法正确的有 (　　)
A.若A,B两人站在一起有24种方法
B.若A,B不相邻共有72种方法
C.若A在B左边有60种排法
D.若A不站在最左边,B不站最右边,有78种方法
【解析】选BCD.对于A,先将A,B排列,再看成一个元素,和剩余的3人,一共4个元素进行全排列,由分步乘法计数原理可知共有=48种,所以A不正确;对于B,先将A,B之外的3人全排列,产生4个空,再将A,B两元素插空,所以共有=72(种),所以B正确;
对于C,5人全排列,而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的,所以A在B的左边的排法有=60种,所以C正确;
对于D,对A分两种情况:一是若A站在最右边,则剩下的4人全排列有种,另一个是A不在最左边也不在最右边,则A从中间的3个位置中任选1个,然后B从除最右边的3个位置中任选1个,最后剩下3人全排列即可,由分类加法计数原理可知共有+=78(种),所以D正确.
4.《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词.在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有 (　　)
A.288种 B.144种 C.720种 D.360种
【解析】选B.根据题意分2步进行分析:①将《将进酒》《望岳》和另外两首诗词全排列,则有=24种顺序,因为《将进酒》排在《望岳》的前面,所以这4首诗词的排法有=12种.
②这4首诗词排好后,不含最后,有4个空位,在4个空位中任选2个,安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》,有=12种安排方法,则后六场的排法有12×12=144种.
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.首届中国国际进口博览会在上海举行,某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动.若甲连续参加2天,其他人各参加1天,则不同的安排方法有　　　　种;若甲参加2天,其中1天是第一天,其他人参加1天,则不同的安排方法有　　　　种.(用数字作答) 
【解析】在5天里,连续2天的情况,一共有4种,剩下的3人全排列有种,故一共有4×=24(种);若甲参加第一天和剩下4天当中的一天,则等价于4人选择4天的全排列,有种,即24种.
答案:24　24
6.现有完全相同的物理书4本,语文、数学、英语书各1本,把这7本书摆在书架的同一层,要求每一本物理书至少与另一本物理书相邻,则共有　　　　种摆法(用数字作答) 
【解析】第一类,把物理书看作1本,和另外三本书全排即可,即=24种,第二类,把4本物理书分每两本组合在一起,把语文、数学、英语排好,有=6种排列,将每两本物理书插入到所形成的空中,即有=36种,由分类加法计数原理可得共有24+36=60(种).
答案:60
7.5位同学排队演出,其中3位女生,2位男生.如果2位男生不能相邻,且女生甲不能排在第一位,则排法种数为　　　　. 
【解析】若第一个出场的是男生,则第二个出场的是女生,以后的顺序任意排,有2×3×=36种排法;若第一个出场的是女生(不是女生甲),则将剩余的2位女生排列好,2位男生插空,有2××=24种排法.故所有的排法种数为36+24=60.
答案:60
8.用数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的6位自然数.若要求相邻两个数字奇偶性不同,则可以组成　　　　个.(用数字作答) 
【解析】用数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的6位自然数,若首位为偶数,则首位不为0,有2××=24(个),若首位为奇数,则有:×=36(个);故共有24+36=60(个).
答案:60
三、解答题(每小题10分,共30分)
9.从6名运动员中选4人参加4×100米接力赛,在下列条件下,各有多少种不同的排法?
(1)甲、乙两人必须入选且跑中间两棒;
(2)甲不跑第一棒且乙不跑第四棒.
【解析】(1)因为甲、乙两人必须入选且跑中间两棒,所以可分两步,第一步,排甲、乙两人,有=2种排法;
第二步,从剩下4人选出两人来跑第一棒和第四棒,有=12种排法,
所以共有2×12=24种排法.
(2)以乙跑不跑第一棒分成两类:
第一类,乙跑第一棒,有=60种排法;
第二类,乙不跑第一棒,有=192种排法,
所以共有60+192=252种排法.
10.在班级活动中,4名男生和3名女生站成一排表演节目:(写出必要的数学式,结果用数字作答)
(1)女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端,有多少种不同的排法?
(2)甲、乙、丙三人按高矮从左到右有多少种不同的排法?(甲、乙、丙三位同学身高互不相等)
(3)现在有7个座位连成一排,仅安排4个男生就座,恰好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种?
【解析】(1)根据题意,分2种情况讨论:
①女生甲站在右端,其余6人全排列,有=720种情况,
②女生甲不站在右端,甲有5种站法,女生乙有5种站法,将剩余的5人全排列,安排在剩余的位置,有=120种站法,则此时有5×5×120=3 000种站法,则一共有+5×5×=720+3 000=3 720种站法.
(2)根据题意,首先把7名同学全排列,共有种结果,甲、乙、丙三人内部的排列共有=6种结果,要使甲、乙、丙三个人按照一个高矮顺序排列,结果数只占6种结果中的一种,则有=840(种).
(3)根据题意,恰好有两个空座位相邻分2种情况:①两个相邻空座位在两边,1、2或6、7上,第三个空座有4种选择;②两个相邻空座位在中间,可能是2、3,3、4,4、5,5、6中的一个,第三个空位有3种选择,4个男生全排列有=24种坐法,共(2×4+4×3)×24=480种坐法.
11.从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列,求解下列问题.
(1)甲不在首位的排法有多少种?
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种?
(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种?
(4)甲不在首位,同时乙不在末位的排法有多少种?
【解析】(1)方法一:把元素作为研究对象.
第一类,不含甲,此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上,有种排法.
第二类,含有甲,甲不在首位.先从4个位置中选出1个放甲,再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上,有种排法.根据分步乘法计数原理,有4×种排法.
由分类加法计数原理知,共有+4×=2 160(种)排法.
方法二:把位置作为研究对象.
第一步,从甲以外的6名同学中选1名排在首位,有种方法;
第二步,从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上,有种方法.
由分步乘法计数原理知,共有·=2 160(种)排法.
方法三:(间接法):先不考虑限制条件,从7人中选出5人进行排列,然后把不满足条件的排列去掉.
不考虑甲在首位的要求,总的可能情况有种,甲在首位的情况有种,所以符合要求的排法有-=2 160(种).
(2)把位置作为研究对象,先考虑特殊位置.
第一步,从甲以外的6名同学中选2名排在首末两个位置上,有种方法;
第二步,从未排上的5名同学中选3名排在中间3个位置上,有种方法.
根据分步乘法计数原理,共有·=1 800(种)方法.
(3)把位置作为研究对象.
第一步,从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置,有种方法;
第二步,从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上,有种方法.
根据分步乘法计数原理,共有·=1 200(种)方法.
(4)间接法.
总的排法是种,减去甲在首位的种排法,再减去乙在末位的种排法.注意到甲在首位,同时乙在末位的排法数被减去了两次,所以还需加上种排法,所以共有-2+=1 860(种)排法.