2021-2022学年高中数学-第8章-立体几何初步-8.6.3-第1课时-平面与平面垂直的判定定理.docx

2021-2022学年高中数学 第8章 立体几何初步 8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定定理训练新人教A版必修第二册

2021-2022学年高中数学 第8章 立体几何初步 8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定定理训练新人教A版必修第二册

年级：
姓名：

8.6.3　平面与平面垂直
第1课时　平面与平面垂直的判定定理
课后·训练提升
基础巩固
1.从空间一点P向二面角α-l-β的两个半平面α,β所在的平面分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则该二面角的大小为(　　)
A.60° B.120° C.60°或120° D.不确定
答案C
2.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于点A,B),PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为(　　)

A.60° B.30°
C.45° D.15°
解析由题意,易知∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中,PA=AC,所以∠PCA=45°.
答案C
3.如图,在四面体P-ABC中,PA=PB=PC,△ABC为等腰直角三角形,AC=BC,O为AB的中点.下列说法错误的是(　　)

A.平面PAB⊥平面ABC
B.平面PAB⊥平面POC
C.平面POC⊥平面ABC
D.平面PCA⊥平面PCB
解析因为PA=PB,AC=BC,O为AB的中点,所以PO⊥AB,CO⊥AB.
又PO∩CO=O,所以AB⊥平面POC.
又AB⊂平面PAB,AB⊂平面ABC,所以平面PAB⊥平面POC,平面POC⊥平面ABC.故B,C正确.
因为△ABC为等腰直角三角形,O为AB的中点,所以AO=CO.
又PA=PC,所以△PAO≌△PCO,
所以∠POA=∠POC=90°,即PO⊥CO.
又PO⊥AB,AB∩CO=O,所以PO⊥平面ABC,
又PO⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABC.
故A正确.故选D.
答案D
4.如图,四棱锥P-ABCD的底面为菱形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上,下列说法错误的是(　　)

A.当且仅当E为PB的中点时,平面PBD⊥平面AEC
B.当E在棱PB上移动时,总有平面PBD⊥平面AEC
C.当且仅当E为PB的中点时,平面AEC⊥平面ABCD
D.若AE⊥PB,则平面AEC⊥平面PBC
解析因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.
又PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AC.
又PD∩BD=D,所以AC⊥平面PBD.
又AC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面PBD.
故当E在棱PB上移动时,总有平面PBD⊥平面AEC.
故A错误.故选A.
答案A
5.如图,将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角,此时∠B'AC=60°,则这个二面角大小是(　　)

A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析如图,连接B'C,则△AB'C为等边三角形.由题意可知,∠B'DC为所求二面角的平面角.
设AD=a,则B'C=AC=2a,B'D=DC=a,所以B'C2=B'D2+DC2,所以∠B'DC=90°.故选D.

答案D
6.如图,在四面体P-ABC中,△ABC与△PBC均为边长为2的正三角形,PA=3,D为PA的中点,则二面角D-BC-A的大小为　　　　　,二面角B-PA-C的余弦值为　　　　　. 

答案60°　-17
7.如图,在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PC,AC的中点,BA=BC,PA⊥AC.

求证:平面BDE⊥平面PAC.
证明∵D,E分别为PC,AC的中点,∴DE∥PA.
又PA⊥AC,∴DE⊥AC.
∵BA=BC,E为AC的中点,∴BE⊥AC.
又BE∩DE=E,∴AC⊥平面BDE.
又AC⊂平面PAC,∴平面BDE⊥平面PAC.
8.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=3.

(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A-BE-P的平面角的大小.
(1)证明连接BD(图略),因为四边形ABCD是菱形,∠BCD=60°,所以△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.
又AB∥CD,所以BE⊥AB.
因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BE.
又PA∩AB=A,所以BE⊥平面PAB.
又BE⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解由(1)知,BE⊥平面PAB,所以BE⊥PB.
又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.
在Rt△PAB中,tan∠PBA=PAAB=3,
所以∠PBA=60°.
故二面角A-BE-P的平面角的大小是60°.
9.图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.

(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;
(2)求图2中的四边形ACGD的面积.
(1)证明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,
故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.
由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.
又因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.

(2)解取CG的中点M,连接EM,DM.
因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE,
所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.
由已知,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°,得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.
在Rt△DEM中,DE=1,EM=3,故DM=2.
所以四边形ACGD的面积为4.
能力提升
1.如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),PA垂直于圆O所在的平面,点M为PB的中点,下列结论正确的是(　　)

A.PA∥平面MOB
B.平面MOC⊥平面PAB
C.OC⊥平面PAC
D.平面PAC⊥平面PBC
解析PA⊂平面MOB,故A错误;
当点C在圆周上运动时,平面MOC与平面PAB不一定垂直,故B错误;
因为AB为圆O的直径,所以BC⊥AC,又PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,所以OC与平面PAC不垂直,故C错误;
又BC⊂平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC,故D正确.
答案D
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,M为BB1的中点,则下列结论错误的是(　　)

A.D1O∥平面A1BC1
B.MO⊥平面A1BC1
C.二面角M-AC-B等于60°
D.异面直线BC1与AC所成的角等于60°
解析对于A,连接B1D1,交A1C1于点E,连接BE,OB(图略),则四边形D1OBE为平行四边形,故D1O∥BE,又D1O⊄平面A1BC1,BE⊂平面A1BC1,故D1O∥平面A1BC1,故A正确;
对于B,连接B1D,BD(图略),因为O为底面ABCD的中心,M为BB1的中点,所以MO∥B1D,易证B1D⊥平面A1BC1,则MO⊥平面A1BC1,故B正确;
对于C,易知BO⊥AC,MO⊥AC,则∠MOB为二面角M-AC-B的平面角,而tan∠MOB=22,故∠MOB≠60°,故C错误;
对于D,因为AC∥A1C1,所以∠A1C1B为异面直线BC1与AC所成的角,因为△A1C1B为等边三角形,所以∠A1C1B=60°,故D正确.
答案C
3.如图,平面角为锐角的二面角α-EF-β,A∈EF,AG⊂α,∠GAE=45°,若AG与β所成的角为30°,则二面角α-EF-β的大小为　　　　　. 

解析如图,作GH⊥β于点H,作HB⊥EF于点B,连接AH,GB,则GB⊥EF,∠GAH为AG与β所成的角,故∠GBH为二面角α-EF-β的平面角,∠GAH=30°.

设AG=a,则GB=22a,GH=12a,故sin∠GBH=GHGB=22,所以∠GBH=45°,故二面角α-EF-β的大小为45°.
答案45°
4.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,E为BC的中点,把△ABE和△CDE分别沿AE,DE折起,使点B与点C重合于点P.

(1)求证:平面PDE⊥平面PAD;
(2)求二面角P-AD-E的大小.
(1)证明由题意可知,AP⊥PE,DP⊥PE.
又AP∩DP=P,∴PE⊥平面PAD.
又PE⊂平面PDE,∴平面PDE⊥平面PAD.

(2)解如图,取AD的中点F,连接PF,EF,则PF⊥AD,EF⊥AD,
∴∠PFE为二面角P-AD-E的平面角.
又PE⊥平面PAD,∴PE⊥PF.
∵EF=AB=2,PE=1,
∴sin∠PFE=PEEF=22,∴∠PFE=45°.
∴二面角P-AD-E的大小为45°.
5.已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点.求证:平面MND⊥平面PCD.
证明如图,取PD的中点E,连接AE,NE.

∵E,N分别是PD,PC的中点,
∴EN∥CD,EN=12CD.
又ABCD,AM=12AB,
∴ENAM,
∴四边形AMNE是平行四边形,
∴MN∥AE.
∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥CD.
又CD⊥AD,PA∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD,
∴CD⊥AE.
∵PA=AD,E是PD的中点,
∴AE⊥PD.
又CD∩PD=D,∴AE⊥平面PCD.
又MN∥AE,∴MN⊥平面PCD.
又MN⊂平面MND,
∴平面MND⊥平面PCD.
6.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=2PA=2AB=2BC=2.

(1)求证:平面PCD⊥平面PAC.
(2)在线段PC上是否存在点E,使得平面AED⊥平面PCD?若存在,求出PEEC的值;若不存在,说明理由.
(1)证明因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.
由题意可知,AB=BC=1,又∠ABC=90°,
所以∠BAC=45°,AC=2.
又∠BAD=90°,所以∠CAD=45°.
在△ACD中,由余弦定理,得CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD=2,所以AC2+CD2=AD2,
所以AC⊥CD.
又PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.
又CD⊂平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAC.

(2)解过点A作AE⊥PC于点E,连接ED.
由(1)知,CD⊥平面PAC,则CD⊥AE.
又PC∩CD=C,
则AE⊥平面PCD.
又AE⊂平面AED,
故平面AED⊥平面PCD.
在Rt△PAC中,因为PA=1,AC=2,
所以PC=3,AE=63.
又AE⊥PC,所以PE=33,EC=233,所以PEEC=12.
故线段PC上存在点E,使得平面AED⊥平面PCD,此时PEEC=12.