2021-2022学年高中数学-第8章-立体几何初步-8.6.3-第1课时-平面与平面垂直的判定定理.docx

2021-2022学年高中数学 第8章 立体几何初步 8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定定理训练新人教A版必修第二册2021-2022学年高中数学 第8章 立体几何初步 8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定定理训练新人教A版必修第二册年级：姓名：8.6.3平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定定理课后训练提升基础巩固1.从空间一点P向二面角-l-的两个半平面,所在的平面分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若EPF=60,则该二面角的大小为()A.60B.120C.60或120D.不确定答案C2.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于点A,B),PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为()A.60B.30C.45D.15解析由题意,易知PCA是二面角P-BC-A的平面角.在RtPAC中,PA=AC,所以PCA=45.答案C3.如图,在四面体P-ABC中,PA=PB=PC,ABC为等腰直角三角形,AC=BC,O为AB的中点.下列说法错误的是()A.平面PAB平面ABCB.平面PAB平面POCC.平面POC平面ABCD.平面PCA平面PCB解析因为PA=PB,AC=BC,O为AB的中点,所以POAB,COAB.又POCO=O,所以AB平面POC.又AB平面PAB,AB平面ABC,所以平面PAB平面POC,平面POC平面ABC.故B,C正确.因为ABC为等腰直角三角形,O为AB的中点,所以AO=CO.又PA=PC,所以PAOPCO,所以POA=POC=90,即POCO.又POAB,ABCO=O,所以PO平面ABC,又PO平面PAB,所以平面PAB平面ABC.故A正确.故选D.答案D4.如图,四棱锥P-ABCD的底面为菱形,PD底面ABCD,点E在棱PB上,下列说法错误的是()A.当且仅当E为PB的中点时,平面PBD平面AECB.当E在棱PB上移动时,总有平面PBD平面AECC.当且仅当E为PB的中点时,平面AEC平面ABCDD.若AEPB,则平面AEC平面PBC解析因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.又PD底面ABCD,所以PDAC.又PDBD=D,所以AC平面PBD.又AC平面AEC,所以平面AEC平面PBD.故当E在棱PB上移动时,总有平面PBD平面AEC.故A错误.故选A.答案A5.如图,将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角,此时BAC=60,则这个二面角大小是()A.30B.45C.60D.90解析如图,连接BC,则ABC为等边三角形.由题意可知,BDC为所求二面角的平面角.设AD=a,则BC=AC=2a,BD=DC=a,所以BC2=BD2+DC2,所以BDC=90.故选D.答案D6.如图,在四面体P-ABC中,ABC与PBC均为边长为2的正三角形,PA=3,D为PA的中点,则二面角D-BC-A的大小为,二面角B-PA-C的余弦值为.答案60-177.如图,在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PC,AC的中点,BA=BC,PAAC.求证:平面BDE平面PAC.证明D,E分别为PC,AC的中点,DEPA.又PAAC,DEAC.BA=BC,E为AC的中点,BEAC.又BEDE=E,AC平面BDE.又AC平面PAC,平面BDE平面PAC.8.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,BCD=60,E是CD的中点,PA底面ABCD,PA=3.(1)证明:平面PBE平面PAB;(2)求二面角A-BE-P的平面角的大小.(1)证明连接BD(图略),因为四边形ABCD是菱形,BCD=60,所以BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BECD.又ABCD,所以BEAB.因为PA平面ABCD,所以PABE.又PAAB=A,所以BE平面PAB.又BE平面PBE,所以平面PBE平面PAB.(2)解由(1)知,BE平面PAB,所以BEPB.又ABBE,所以PBA是二面角A-BE-P的平面角.在RtPAB中,tanPBA=PAAB=3,所以PBA=60.故二面角A-BE-P的平面角的大小是60.9.图1是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC平面BCGE;(2)求图2中的四边形ACGD的面积.(1)证明由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得ABBE,ABBC,故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.(2)解取CG的中点M,连接EM,DM.因为ABDE,AB平面BCGE,所以DE平面BCGE,故DECG.由已知,四边形BCGE是菱形,且EBC=60,得EMCG,故CG平面DEM.因此DMCG.在RtDEM中,DE=1,EM=3,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.能力提升1.如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),PA垂直于圆O所在的平面,点M为PB的中点,下列结论正确的是()A.PA平面MOBB.平面MOC平面PABC.OC平面PACD.平面PAC平面PBC解析PA平面MOB,故A错误;当点C在圆周上运动时,平面MOC与平面PAB不一定垂直,故B错误;因为AB为圆O的直径,所以BCAC,又PA平面ABC,BC平面ABC,所以PABC,又PAAC=A,所以BC平面PAC,所以OC与平面PAC不垂直,故C错误;又BC平面PBC,所以平面PAC平面PBC,故D正确.答案D2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,M为BB1的中点,则下列结论错误的是()A.D1O平面A1BC1B.MO平面A1BC1C.二面角M-AC-B等于60D.异面直线BC1与AC所成的角等于60解析对于A,连接B1D1,交A1C1于点E,连接BE,OB(图略),则四边形D1OBE为平行四边形,故D1OBE,又D1O平面A1BC1,BE平面A1BC1,故D1O平面A1BC1,故A正确;对于B,连接B1D,BD(图略),因为O为底面ABCD的中心,M为BB1的中点,所以MOB1D,易证B1D平面A1BC1,则MO平面A1BC1,故B正确;对于C,易知BOAC,MOAC,则MOB为二面角M-AC-B的平面角,而tanMOB=22,故MOB60,故C错误;对于D,因为ACA1C1,所以A1C1B为异面直线BC1与AC所成的角,因为A1C1B为等边三角形,所以A1C1B=60,故D正确.答案C3.如图,平面角为锐角的二面角-EF-,AEF,AG,GAE=45,若AG与所成的角为30,则二面角-EF-的大小为.解析如图,作GH于点H,作HBEF于点B,连接AH,GB,则GBEF,GAH为AG与所成的角,故GBH为二面角-EF-的平面角,GAH=30.设AG=a,则GB=22a,GH=12a,故sinGBH=GHGB=22,所以GBH=45,故二面角-EF-的大小为45.答案454.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,E为BC的中点,把ABE和CDE分别沿AE,DE折起,使点B与点C重合于点P.(1)求证:平面PDE平面PAD;(2)求二面角P-AD-E的大小.(1)证明由题意可知,APPE,DPPE.又APDP=P,PE平面PAD.又PE平面PDE,平面PDE平面PAD.(2)解如图,取AD的中点F,连接PF,EF,则PFAD,EFAD,PFE为二面角P-AD-E的平面角.又PE平面PAD,PEPF.EF=AB=2,PE=1,sinPFE=PEEF=22,PFE=45.二面角P-AD-E的大小为45.5.已知四边形ABCD是矩形,PA平面ABCD,PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点.求证:平面MND平面PCD.证明如图,取PD的中点E,连接AE,NE.E,N分别是PD,PC的中点,ENCD,EN=12CD.又ABCD,AM=12AB,ENAM,四边形AMNE是平行四边形,MNAE.PA平面ABCD,PACD.又CDAD,PAAD=A,CD平面PAD,CDAE.PA=AD,E是PD的中点,AEPD.又CDPD=D,AE平面PCD.又MNAE,MN平面PCD.又MN平面MND,平面MND平面PCD.6.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ABC=BAD=90,AD=2PA=2AB=2BC=2.(1)求证:平面PCD平面PAC.(2)在线段PC上是否存在点E,使得平面AED平面PCD?若存在,求出PEEC的值;若不存在,说明理由.(1)证明因为PA平面ABCD,所以PACD.由题意可知,AB=BC=1,又ABC=90,所以BAC=45,AC=2.又BAD=90,所以CAD=45.在ACD中,由余弦定理,得CD2=AC2+AD2-2ACADcosCAD=2,所以AC2+CD2=AD2,所以ACCD.又PAAC=A,所以CD平面PAC.又CD平面PCD,所以平面PCD平面PAC.(2)解过点A作AEPC于点E,连接ED.由(1)知,CD平面PAC,则CDAE.又PCCD=C,则AE平面PCD.又AE平面AED,故平面AED平面PCD.在RtPAC中,因为PA=1,AC=2,所以PC=3,AE=63.又AEPC,所以PE=33,EC=233,所以PEEC=12.故线段PC上存在点E,使得平面AED平面PCD,此时PEEC=12.