2020-2021学年高中数学-第一章-三角函数-1.3-弧度制课时素养评价北师大版必修4.doc

2020-2021学年高中数学 第一章 三角函数 1.3 弧度制课时素养评价北师大版必修4

2020-2021学年高中数学 第一章 三角函数 1.3 弧度制课时素养评价北师大版必修4

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课时素养评价 三　弧　度　制

　　　　　　　　　　　　　　　　 (15分钟　30分)
1.集合A=与集合B=的关系是(　　)
A.A=B B.A⊆B
C.B⊆A D.以上都不对
【解析】选A.集合A与B都是终边在y轴上的角的集合,因此A=B.
2.下列各组角中,终边相同的角是 (　　)
A.与kπ+(k∈Z)
B.kπ±与(k∈Z)
C.(2k+1)π与(4k±1)π(k∈Z)
D.kπ+与2kπ±(k∈Z)
【解析】选C.选项C中两夹角的终边都在x轴非正半轴上.
3.rad=　　　　度,　　　　rad=-300°. 
【解析】由题意有:==15°,-300°=-300×=-.
答案:15　-
4.已知扇形的半径为6 cm,圆心角为60°,则该扇形的面积是　　　　. 
【解析】60°=,则S=·|α|·r2=××62
=6π(cm2).
答案:6π cm2
5.(2020·福州高一检测)已知一扇形的圆心角是120°,所在圆的半径是10 cm,求该弧所在的弓形的面积.
【解题指南】弓形的面积等于所在扇形的面积与三角形面积的差,计算即可求解.
【解析】因为圆心角α=120°=,所在圆的半径是10 cm,所以l=|α|r=×10=(cm),
所以该弧所在的弓形的面积S=S扇形-S三角形=lr-×2r sin 60°×r cos 60°=××10-102××=-25,
即弓形的面积为cm2.

　　　　　　　　　　　　　　　　 (30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.下列说法中错误的是 (　　)
A.弧度角与实数之间建立了一一对应的关系
B.1度的角是周角的,1弧度的角是周角的
C.1 rad的角比1°的角要大
D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小有关
【解析】选D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小无关,而是与弧长和半径的比值有关,故D项错误.
2.(2020·武汉高一检测)如图所示,扇形OAB中,弦AB的长等于半径,则弦AB所对的圆心角的弧度数α满足 (　　)

A.α>1 B.α=1
C.α<1 D.以上都不是
【解析】选A.由题意,|AB|=|OA|=|OB|,故△OAB是正三角形,即α=>1.
3.若角α满足α=+(k∈Z),则角α的终边一定在 (　　)
A.第一象限或第二象限或第三象限
B.第一象限或第二象限或第四象限
C.第一象限或第二象限或x轴非正半轴上
D.第一象限或第二象限或y轴非正半轴上
【解析】选D.当k=3n,n∈Z时,α=+2nπ,其终边位于第一象限;当k=3n+1,n∈Z时,α=+2nπ,其终边位于第二象限;当k=3n+2,n∈Z时,α=+2nπ,其终边位于y轴的非正半轴上.综上可知,角α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.
4.《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”,掷铁饼者的手臂长约为米,肩宽约为米,“弓”所在圆的半径约为1.25米,你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为 (　　)
(参考数据:≈1.414,≈1.732)

A.1.012米 B.1.768米
C.2.043米 D.2.945米
【解题指南】由题分析出“弓”所在弧长,结合弧长公式得出这段弧所对圆心角,双手之间的距离即是这段弧所对弦长.
【解析】选B.由题意知:“弓”所在弧长l=++=,其所对圆心角α==,双手之间的距离d=×1.25≈1.768.
5.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为S1,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为时扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为 (　　)

A.(3-)π B.(-1)π
C.(+1)π D.(-2)π
【解题指南】根据扇形与圆面积公式,可知面积比即为圆心角之比,再根据圆心角和的关系,求解出扇形的圆心角.
【解析】选A.S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比,设S1与S2所在扇形圆心角分别为α,β,则=,又α+β=2π,解得α=(3-)π.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.你在忙着答题,分针在忙着“转圈”,现在经过了1小时,则分针转过的角的弧度数是　　　　. 
【解题指南】根据1小时,分针转过1周,一个周角为2π,即可得到答案.
【解析】由于经过1小时,分针转过1个周角,因周角为2π,又顺时针旋转得到的角是负角,故分针转过的角的弧度数是-2π.
答案:-2π
7.已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长,那么其圆心角的弧度数的绝对值为　　　　. 
【解析】设圆半径为r,则内接正方形的边长为r,圆弧长为4r.
所以圆弧所对圆心角|θ|==4.
答案:4
8.若圆弧长度l等于该圆内接正三角形的边长,则其圆心角α的弧度数为　　　　. 
【解析】如图,

等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形,则弧所对的圆心角为∠AOB=π,作OM⊥AB,垂足为M,在直角三角形AOM中,
AO=r,∠AOM=,所以AM=r,AB=r,所以l=r,α===,
所以圆心角的弧度数为.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知一扇形的圆心角是α,所在圆的半径是R.若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积.
【解析】设弧长为l,弓形面积为S弓,
因为α=60°=,R=10,所以l=αR=(cm).
S弓=S扇-S△=××10-×102×sin 60°
=50(cm2).
10.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌,铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA=10,OB=x(0<x<10),线段BA、CD 与弧BC、弧AD的长度之和为30米,圆心角为θ弧度.

(1)求θ关于x的函数解析式;
(2)记铭牌的截面面积为y,试问x取何值时,y的值最大?并求出最大值.
【解题指南】(1)具体表示出扇形的周长,即可得到θ关于x的函数解析式;
(2)根据扇形面积公式,求出函数解析式,利用二次函数求出y的最大值.
【解析】(1)根据题意,可算得=x·θ(米) ,
=10θ(米).
又BA+CD++=30,
于是10-x+10-x+x·θ+10θ=30,
所以θ=(0<x<10).
(2)依据题意,可知
y=θ×102-θx2,化简得y=-x2+5x+50=
-+.
于是,当x=(满足条件0<x<10)时,
ymax=(平方米).
答:当x=米时,铭牌的面积最大,且最大面积为平方米.

1.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=(弦×矢+矢2).弧田,由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,弦长等于2米的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积(单位:平方米)为 (　　)
A. B.-
C.- D.-3
【解题指南】新型定义题,本题中要用弧田面积的经验公式计算弧田面积,则求出本题中的弦长及矢长即可.
【解析】选D.在圆心角为,弦长等于2米的弧田中,半径为2,圆心到弦的距离为,于是,矢=2-,所以,弧田面积=(弦×矢+矢2)
==-3.
2.数学家黎曼构造了这样的曲面:将n个坐标系重叠起来,原点重合,x轴,y轴也分别重合,然后将x轴的正半轴全部剪开,再将第1个坐标系的x轴的下沿与第2个坐标系的x轴的上沿粘连起来,以此类推,…将第i个坐标系的x轴的下沿与第i+1个坐标系的x轴的上沿粘连起来,…,最后将第n个坐标系的x轴的下沿与第1个坐标系的x轴的上沿粘连起来,这样就构造了一个n叶黎曼曲面.
在一个3叶黎曼曲面上,有一条射线(端点位于原点)在旋转,那么这条射线旋转周期是　　　　弧度. 
【解析】3叶也就是三个平面重叠,周期是3×2π=6π.
答案:6π