2021-2022学年高中数学-模块测评课时分层作业新人教A版必修2.doc

2021-2022学年高中数学 模块测评课时分层作业新人教A版必修2

2021-2022学年高中数学 模块测评课时分层作业新人教A版必修2

年级：
姓名：

模块综合测评
(教师独具)
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若α∥β， a⊂α， b⊂β， 则a与b的位置关系是(　　)
A．平行或异面　 B．相交
C．异面 D．平行
A　[满足条件的情形如下：
]
2．直线y＝kx与直线y＝2x＋1垂直，则k等于(　　)
A．－2　　　B．2　　　C．－　　　D．
C　[由题意，得2k＝－1，∴k＝－.]
3．两圆C1：x2＋y2＝r2与C2：(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，则r的值为(　　)
A．－1 B．
C． D．－1或＋1
B　[因为两圆外切且半径相等，所以|C1C2|＝2r.所以r＝.]
4．在空间直角坐标系中，O为坐标原点，设A，B，C， 则(　　)
A．OA⊥AB B．AB⊥AC
C．AC⊥BC D．OB⊥OC
C　[|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝，因为|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以AC⊥BC.]
5．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(　　)
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
B　[将圆的方程化为标准方程，得(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a(a<2)，所以圆心为(－1，1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4，故选B.]
6．直线2ax＋y－2＝0与直线x－(a＋1)y＋2＝0互相垂直， 则这两条直线的交点坐标为(　　)
A. B．
C． D．
C　[由题意知：2a－(a＋1)＝0，得a＝1，所以2x＋y－2＝0，x－2y＋2＝0，解得x＝，y＝.]
7．如图， 在长方体ABCD­A1B1C1D1中， P为BD上任意一点，则一定有(　　)

A．PC1与AA1异面
B．PC1与A1A垂直
C．PC1与平面AB1D1相交
D．PC1与平面AB1D1平行
D　[当A，P，C共线时，PC1与AA1相交不垂直，所以A，B错误；连接BC1，DC1(图略)，可以证AD1∥BC1，AB1∥DC1，所以平面AB1D1∥平面BDC1.又PC1⊂平面BDC1，所以PC1与平面AB1D1平行．]
8．在长方体ABCD­A1B1C1D1中， AB＝， BC＝4, AA1＝， 则AC1和底面ABCD所成的角为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
A　[如图所示，连接AC，

在长方体ABCD­A1B1C1D1中，CC1⊥底面ABCD，所以∠C1AC就是AC1与底面ABCD所成的角．因为AB＝，BC＝4，AA1＝，所以CC1＝AA1＝，AC1＝2.所以在Rt△ACC1中，sin ∠C1AC＝＝＝.所以∠C1AC＝30°.]
9．已知点A(－1，1)，B(3，1)，直线l过点C(1，3)且与线段AB相交，则直线l与圆(x－6)2＋y2＝2的位置关系是(　　)
A．相交 B．相离
C．相交或相切 D．相切或相离
D　[因为kAC＝1，kBC＝－1，直线l的斜率的范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，直线BC方程为x＋y－4＝0，圆(x－6)2＋y2＝2的圆心(6，0)到直线BC的距离为，因此圆(x－6)2＋y2＝2与直线BC相切，结合图象可知，直线l与圆(x－6)2＋y2＝2的位置关系是相切或相离．]
10．设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下面命题中不成立的是(　　)
A．若l⊥α，m⊥α，则l∥m
B．若m⊂β，m⊥l，n是l在β内的射影，则m⊥n
C．若m⊂α，n⊄α，m∥n，则n∥α
D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D　[若l⊥α，m⊥α，则l∥m，A正确；由直线与平面垂直的判定和性质定理，若m⊂β，m⊥l，n是l在β内的射影，则m⊥n，B正确；由直线与平面平行的判定定理，若m⊂α，n⊄α，m∥n，则n∥α，C正确；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交， 即若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α∩β＝a，D不正确．]
11．如果圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)都能使x＋y＋c≥0成立，那么实数c的取值范围是(　　)
A．c≥－－1 B．c≤－－1
C．c≥－1 D．c≤－1
C　[对任意点P(x，y)能使x＋y＋c≥0成立，等价于c≥[－(x＋y)]max. 设b＝－(x＋y)，则y＝－x－b. 所以圆心(0，1)到直线y＝－x－b的距离d＝≤1, 解得－－1≤b≤－1.所以c≥－1.]
12．如图， 在△ABC中， AB＝BC＝， ∠ABC＝90°， 点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置， 使PC＝PD，连接PC, 得到三棱锥P­BCD, 若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上， 则该球的表面积是(　　)

A．π　　　B．3π　　　C．5π　　　D．7π
D　[由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形，且BD⊥平面PCD, 设三棱锥P­BDC外接球的球心为O, △PCD外接圆的圆心为O1，则OO1⊥平面PCD，所以四边形OO1DB为直角梯形， 由BD＝，O1D＝1，及OB＝OD，得OB＝， 所以外接球半径为R＝，所以该球的表面积S＝4πR2＝4π×＝7π.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若直线(m＋1)x－y－(m＋5)＝0与直线2x－my－6＝0平行，则m＝________．
－2　[由题意知：m＋1＝，解得m＝1或－2. 当m＝1时，两直线方程均为2x－y－6＝0，两直线重合，不合题意，舍去；当m＝－2时，直线分别为x＋y＋3＝0，x＋y－3＝0，两直线平行．]
14．如图所示， 正方体的棱长为2, 以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.

　[平面ABCD将多面体分成了两个以为底面，边长、高为1的正四棱锥，所以其体积为××1××2＝.]
15．在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________.

x2＋y2－2x＝0　[设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0, 又因为圆经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)，所以解得D＝－2，E＝0，F＝0，
所以圆的方程为x2＋y2－2x＝0.]
16．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝m，PA＝PC＝m，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是________．

(2－)m　[由PD⊥底面ABCD，得PD⊥AD.又PD＝m，PA＝m，则AD＝m.设内切球的球心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，OD，OP(图略)，易知VP­ABCD＝VO­ABCD＋VO­PAD＋VO­PAB＋VO­PBC＋VO­PCD，即·m2·m＝·m2×R＋×·m2·R＋×·m2·R＋×· m2·R＋··m2·R，
解得R＝(2－)m，所以此球的最大半径是(2－)m.]
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，分别求下列直线l′的方程，l′满足：
(1)过点(－1，3)，且与l平行；
(2)与直线l关于y轴对称．
[解]　(1)因为l∥l′， 所以l′的斜率为－，
所以直线l′的方程为：y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
(2)l与y轴交于点(0，3)，该点也在直线l′上，在直线l上取一点A(4，0)，则点A关于y轴的对称点A′(－4，0)在直线l′上，所以直线l′经过(0，3)和(－4，0)两点，故直线l′的方程为3x－4y＋12＝0.
18．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l经过点D(－2，0)，且斜率为k.
(1)求以线段CD为直径的圆E的方程；
(2)若直线l与圆C相离， 求k的取值范围．
[解]　(1)将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为C(0，4)，半径为2.
所以CD的中点E(－1，2)，
|CD|＝＝2，
所以r＝，故所求圆E的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
(2)直线l的方程为y－0＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.
若直线l与圆C相离，则有圆心C到直线l的距离>2, 解得k<.所以k的取值范围为.
19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．

(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．
[解]　(1)因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，
所以OP⊥AC，且OP＝2.
连接OB.因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.
由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.
由OP⊥OB，OP⊥AC，OB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.
(2)作CH⊥OM，垂足为H.

又由(1)可得OP⊥CH，OP⊂平面POM，OM⊂平面POM，OP∩OM＝O，所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°.
所以OM＝，CH＝＝.
所以点C到平面POM的距离为.
20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.
(1)求圆C的方程；
(2)试探求圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)设圆心为C(a，b)，由OC与直线y＝x垂直，知斜率kOC＝＝－1，故b＝－a.
又|OC|＝2，即＝2，
可解得a＝－2，b＝2或a＝2，b＝－2，
结合点C(a，b)位于第二象限知a＝－2，b＝2.
故圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)假设存在点Q(m，n)符合题意，
则(m－4)2＋n2＝16，m2＋n2≠0, (m＋2)2＋(n－2)2＝8，
解得m＝，n＝，故圆C上存在异于原点的点Q符合题意．
21．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
[解]　(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.
因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.
又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.
而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.
(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.
证明如下：如图，连接AC交BD于O.

因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连接OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP.MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.
22．(本小题满分12分)已知直线l：y＝kx＋b(0<b<1)和圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点．
(1)当k＝0时，过点A，B分别作圆O的两条切线，求两切线的交点坐标；
(2)对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点N，满足∠ONA＝∠ONB？若存在，请求出此点坐标；若不存在，说明理由．
[解]　(1)联立直线l：y＝b与圆O：x2＋y2＝1的方程，
得A，B两点坐标为A(－，b)，
B(，b).
设过圆O上点A的切线l1的方程是
y－b＝kl1(x＋)，
由于kAO·kl1＝－1，即－·kl1＝－1，也就是kl1＝.
所以l1的方程是y－b＝(x＋).
化简得l1的方程为－x＋by＝1.
同理得，过圆O上点B的切线l2的方程为
x＋by＝1.
联立l1与l2的方程得交点的坐标为.
因此，当k＝0时，两切线的交点坐标为.
(2)假设在y轴上存在一点N(0，t)，满足∠ONA＝∠ONB，
则直线NA，NB的斜率kNA，kNB互为相反数，
即kNA＋kNB＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2≠0)，则＋ ＝0，
即x2(kx1＋b－t)＋x1(kx2＋b－t)＝0.
化简得2kx1x2＋(b－t)(x1＋x2)＝0. ①
联立直线l：y＝kx＋b与圆O：x2＋y2＝1的方程，
得(k2＋1)x2＋2kbx＋b2－1＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝. ②
将②代入①整理得－2k＋2kbt＝0. ③
因为③式对于任意的实数k都成立，因此，t＝.
故在y轴上存在一点N，满足∠ONA＝∠ONB.