2021-2022学年高中数学-第3章-不等式-3.1-不等式的基本性质学案-苏教版必修第一册.doc

2021-2022学年高中数学 第3章 不等式 3.1 不等式的基本性质学案 苏教版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第3章 不等式 3.1 不等式的基本性质学案 苏教版必修第一册

年级：
姓名：

3.1　不等式的基本性质
学 习 任 务
核 心 素 养
1．结合已有的知识，理解不等式的6个基本性质．(重点)
2．会用不等式的性质证明(解)不等式．(重点)
3．会用不等式的性质比较数(或式)的大小和求取值范围．(难点)
1．通过大小比较，培养逻辑推理素养．
2．通过不等式性质的应用，培养逻辑推理素养．
3．借助不等式求实际问题，提升数学运算素养.

和你的同桌做个游戏：假设有四只盛满水的圆柱形水桶A，B，C，D，桶A，B的底面半径均为a，高分别为a和b，桶C，D的底面半径为b，高分别为a和b(其中a≠b)．你们各自从中取两只水桶，得水多者为胜．如果让你先取，你有必胜的把握吗？
知识点1　不等式
(1)不等式的定义
用数学符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接两个数或代数式，含有这些不等号的式子叫作不等式．
(2)关于a≥b和a≤b的含义
①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．
②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a<b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．
(3)不等式中常用符号语言
大于
小于
大于或等于
小于或等于
至多
至少
不少于
不多于
>
<
≥
≤
≤
≥
≥
≤
(4)两个实数的大小比较
①如果a－b是正数，那么a>b；即a－b>0⇔a>b；
②如果a－b等于0，那么a＝b；即a－b＝0⇔a＝b；
③如果a－b是负数，那么a<b；即 a－b<0⇔a<b.
任意两个实数都能比较大小吗？
[提示]　能．利用作差法比较．
1.设a＝2x2，b＝x2－x－1，则a与b的大小关系为________．
a>b　[a－b＝2x2－(x2－x－1)＝x2＋x＋1＝2＋>0，∴a>b.]
知识点2　不等式的基本性质
性质1: 若a>b，则b<a；(自反性)，a>b⇔b<a.
性质2：若a>b，b>c，则a>c；(传递性)
性质3：若a>b，则a＋c>b＋c；(加法保号性)
性质4：若a>b，c>0，则ac>bc；(乘正保号性)
若a>b，c<0，则ac<bc；(乘负改号性)
性质5：若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；(同向可加性)
性质6：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；(全正可乘性)
性质7：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N*)．(拓展)
不等式的基本性质是不等式变形的依据，也是解不等式的根据，同时还是证明不等式的理论基础．
(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．
(2)要注意每条性质是否具有可逆性．
2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若ac>bc，则a>b.(　　)
(2)若a＋c >b＋d，则a>b，c>d.(　　)
(3)若a>b，则<.(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

类型1　利用不等式的性质判断和解不等式
【例1】　(1)对于实数a，b，c，给出下列命题：
①若a>b，则ac2>bc2；
②若a<b<0，则a2>ab>b2；
③若a>b，则a2>b2；
④若a<b<0，则>.
其中正确命题的序号是________．
(2)求解关于x的不等式ax＋1>0(a∈R)，并用不等式的性质说明理由．
(1)②④　[对于①，∵c2≥0，∴只有c≠0时才成立，①不正确；
对于②，a<b<0⇒a2>ab；a<b<0⇒ab>b2，∴②正确；
对于③，若0>a>b，则a2<b2，如－1>－2，但(－1)2<(－2)2，∴③不正确；
对于④，∵a<b<0，∴－a>－b>0，∴(－a)2>(－b)2，即a2>b2.
又∵ab>0，∴>0，∴a2·>b2·，∴>，④正确．
所以正确答案的序号是②④.]
(2)[解]　不等式ax＋1>0(a∈R)两边同时加上－1得
ax>－1　(不等式性质3)，
当a＝0时，不等式为0>－1恒成立，所以x∈R，
当a>0时，不等式两边同时除以a得
x>－　(不等式性质4)，
当a<0时，不等式两边同时除以a得
x<－　(不等式性质4)．
综上：当a＝0时，不等式的解集为R，当a>0时，不等式的解集为，当a<0时，不等式的解集为.

1．利用不等式判断正误的2种方法
①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．
②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
2．利用不等式的性质解不等式，要求步步有据，特别是解含有参数的不等式更加要把握好分类讨论的标准．因为参数的范围不同，不等式的解集不同，所以对于参数的不同范围得到的解集都是独立的，不能求并集．

[跟进训练]
1．已知a＜b＜c且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．a2＜b2＜c2 B．ab2＜cb2
C．ac＜bc D．ab＜ac
C　[∵a＋b＋c＝0且a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，∴ac＜bc，故选C.]
2．若关于x的不等式ax＋b>0的解集为{x|x<2}，则不等式bx－a>0的解集为________．
　[因为关于x的不等式ax＋b>0的解集为{x|x<2}，所以a<0，且x＝2是方程ax＋b＝0的实数根，所以2a＋b＝0，即b＝－2a，由bx－a>0得－2ax－a>0，因为a<0，所以x>－，即不等式bx－a>0的解集为.]
类型2　利用不等式的性质比较代数式的大小
【例2】　已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
∵x≤1，得x－1≤0.而3x2＋1>0，
∴(3x2＋1)(x－1)≤0.
∴3x3≤3x2－x＋1.

1．将本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝(3x2＋1)(x－1)，
∵3x2＋1>0，
当x>1时，x－1>0，∴3x3>3x2－x＋1.
当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1.
当x<1时，x－1<0，∴3x3<3x2－x＋1.
2．已知a >0, b >0, 比较＋与的大小．
[解]　法一：(作差法)－＝＝，
因为a >0, b >0，所以>0，
所以＋>.
法二：(作商法)因为a >0, b >0，所以＋与同为正数，
　所以＝，
所以－1＝>0，即>1，
因为>0，所以＋>.
法三：(综合法)因为a >0, b >0，所以a＋b>0，
所以(a＋b)＝＋＝2＋＋>1，所以＋>.

1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法
(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．
(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化(针对无理式中的二次根式)；⑤分类讨论．
2．作商法比较大小的三个步骤
(1)作商变形；
(2)与1比较大小；
(3)得出结论．
提醒：作商法比较大小仅适用同号的两个数．
3．综合法需要结合具体的式子的特征实施，本题思路为：A>B>0⇔A·>1.

[跟进训练]
3．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c≥b>a B．a>c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
A　[∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.
又b＋c＝6－4a＋3a2，
∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，
∴b－a＝a2－a＋1＝2＋>0，∴b>a，∴c≥b>a.故选A.]
4．已知a，b∈R，试比较a2－ab与3ab－4b2的大小．
[解]　因为a，b∈R，所以(a2－ab)－(3ab－4b2)＝a2－4ab＋4b2＝(a－2b)2，
当a＝2b时，a2－ab＝ 3ab－4b2，
当a≠2b时，a2－ab> 3ab－4b2.
类型3　证明不等式
【例3】　若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>.
[思路点拨]　可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．
[证明]　∵c<d<0，∴－c>－d>0.
又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.
∴(a－c)2>(b－d)2>0.
两边同乘以，
得<.
又e<0，∴>.

本例条件不变的情况下，求证： >.
[证明]　∵c<d<0，∴－c>－d>0.
∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，
∴0<<，
又∵e<0，∴>.

利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．

[跟进训练]
5．已知c>a>b>0，求证：>.
[证明]　∵c>a>b>0.∴c－a>0，c－b>0.
⇒<⇒<.
又c－a>0，c－b>0，∴>.
类型4　利用不等式求取值范围
【例4】　已知1<a<4,2<b<8.试求2a＋3b与a－b的取值范围．
[思路点拨]　欲求a－b的范围，应先求－b的范围，再利用不等式的性质求解．
[解]　∵1<a<4,2<b<8，∴2<2a<8,6<3b<24，
∴8<2a＋3b<32.
∵2<b<8，∴－8<－b<－2，
又∵1<a<4，∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)，
即－7<a－b<2，故8<2a＋3b<32，－7<a－b<2.
即2a＋3b的取值范围为(8,32)，
a－b的取值范围为(－7,2)．

1．在本例条件下，求 的取值范围．
[解]　∵2<b<8，∴<<，又1<a<4，
∴<<2. 即 的取值范围为.
2．若本例改为：已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范围．
[解]　法一：设x＝a＋b，y＝a－b，
则a＝，b＝，
∵1≤x≤5，－1≤y≤3，∴3a－2b＝x＋y.
又≤x≤，－≤y≤，
∴－2≤x＋y≤10.即－2≤3a－2b≤10.
所以3a－2b的范围是[－2,10]．
法二：设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b＝3a－2b，
所以解得
即3a－2b＝(a＋b)＋(a－b)，
因为1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，
所以≤(a＋b)≤，－≤(a－b)≤，
所以－2≤(a＋b)＋(a－b)≤10，
即3a－2b的范围是[－2,10]．

1．同向不等式具有可加性，同正具有可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．
2．已知两个二元一次代数式的范围，求第三个二元一次式的范围，可以用双换元的方法，也可以通过待定系数法，先用已知的两个二元一次代数式表示未知的二元一次式．

[跟进训练]
6．已知－≤α<β≤，求，的取值范围．
[解]　∵已知－≤α<β≤.
∴－≤≤，－<≤，
两式相加得－<<.
∵－<≤，∴－≤－<.
∴－≤<，又知α<β，∴<0，
∴－≤<0.
7．已知－4≤a－c≤－1，－1≤4a－c≤5，求9a－c的取值范围．
[解]　令得
∴9a－c＝y－x，
∵－4≤x≤－1，∴≤－x≤，①
∵－1≤y≤5，∴－≤y≤，②
①和②相加，得－1≤y－x≤20，
∴－1≤9a－c≤20.

1．已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是(　　)
A．若a＞b，c＞b，则a＞c B．若a＞－b，则c－a＜c＋b
C．若a＞b，c＜d，则＞ D．若a2＞b2，则－a＜－b
B　[选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以，否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B.]
2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则(　　)
A．a＞b B．a＜b
C．a≥b D．a≤b
C　[a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴a≥b.]
3．若－1<α<β<1，则α－β的取值范围为________．
(－2,0)　[由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1.
所以－2<α－β<2，但α<β，
故知－2<α－β<0.]
4．已知角α，β满足－<α－β<，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．
(－π，2π)　[结合题意可知3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，且2(α－β)∈(－π，π)，α＋β∈(0，π)，利用不等式的性质可知3α－β的取值范围是(－π，2π)．]
5．已知12<a<60,15<b<36.则a－b的取值范围为________，的取值范围为________．
(－24,45)　　[∵15<b<36，
∴－36<－b<－15，又12<a<60，
∴12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45，
∵<<，∴<<.∴<<4.]

回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．两个代数式的大小关系有哪些？比较大小的方法有哪些？
[提示]　大于、小于、等于．作差法、作商法．
2．作差法比较大小的具体步骤有哪些？
[提示]　作差、变形、定号．
3．不等式的证明有哪些方法？
[提示]　可以用比较法(作差或作商法)，也可利用不等式的性质(综合法)．