截交线投影作图-PPT.ppt

平面与立体表面相交，可以认为是立体被平面截切，此平面通平面与立体表面相交，可以认为是立体被平面截切，此平面通常称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线。常称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线。一、截交线的性质截交线的性质 为为了了正正确确分分析析和和表表达达机机件件的的结结构构形形状状，我我们们需需要要了了解解截截交交线线的的性性质质和和画画法法。由由于于立立体体的的形形状状和和截截平平面面与与立立体体的的相相对对位位置置不不同同，截截交交线线的的形形状状也也各各不不相相同同，但但任任何何截截交交线都具有下列两个基本性质：线都具有下列两个基本性质：（1 1）截交线一定是一个封闭的平面图形。）截交线一定是一个封闭的平面图形。（2 2）截截交交线线既既在在截截平平面面上上，又又在在立立体体表表面面上上，截截交交线线是是截截平平面面和和立立体体表表面面的的共共有有线线。截截交交线线上上的的点点都都是是截截平平面面与立体表面上的共有点。与立体表面上的共有点。因因为为截截交交线线是是截截平平面面与与立立体体表表面面的的共共有有线线，所所以以求求作截交线的实质，就是求出截平面与立体表面的共有点。作截交线的实质，就是求出截平面与立体表面的共有点。平面立体的表面是平面图形，因此平面与平面立平面立体的表面是平面图形，因此平面与平面立体的截交线为封闭的平面多边形。多边形的各个顶体的截交线为封闭的平面多边形。多边形的各个顶点是截平面与立体的棱线或底边的交点，多边形的点是截平面与立体的棱线或底边的交点，多边形的各条边是截平面与平面立体表面的交线各条边是截平面与平面立体表面的交线 二、平面与平面立体相交平面与平面立体相交 分析：截平面与棱锥的四分析：截平面与棱锥的四条棱线相交，可判定截交条棱线相交，可判定截交线是四线是四边形，其四个顶点边形，其四个顶点分别是四条棱线与截平面分别是四条棱线与截平面的交点。因此，只要求出的交点。因此，只要求出截交线的四个顶点在各投截交线的四个顶点在各投影面上的投影，然后依次影面上的投影，然后依次连接顶点的同名投影，即连接顶点的同名投影，即得截交线得投影。得截交线得投影。例如图所示，求作正垂面例如图所示，求作正垂面P斜切正四棱锥的截交线。斜切正四棱锥的截交线。作图方法与步骤如图所示：作图方法与步骤如图所示：1 1因因为为截截平平面面P P是是正正垂垂面面，它它的的正正面面投投影影积积聚聚成成一一条条直直线线，可可直直接接求求出出截截交交线线各各顶顶点点的的正正面面投投影影（aa）、bb、cc、（、（dd）。）。2 2根根据据直直线线上上点点的的投投影影规规律律，求求出出各各顶顶点点的的水水平平投投影影a a、b b、c c、d d和侧面投影和侧面投影aa、bb、cc、dd。3 3依依次次连连接接abcdabcd和和a a b b c c d d，即即得得截截交交线线的的水水平投影和侧面投影。平投影和侧面投影。当当用用两两个个以以上上平平面面截截切切平平面面立立体体时时，在在立立体体上上会会出出现现切切口口、凹凹槽槽或或穿穿孔孔等等。作作图图时时，只只要要作作出出各各个个截截平平面面与与平平面面立立体体的的截截交交线线，并并画画出出各各截截平平面面之之间间得得交交线线，就就可可作作出这些平面立体的投影。出这些平面立体的投影。分析：该正三棱锥的切口是由两个相交的截平面切分析：该正三棱锥的切口是由两个相交的截平面切割而形成。两个截平面一个是水平面，一个是正垂割而形成。两个截平面一个是水平面，一个是正垂面，它们都垂直于正面，因此切口的正面投影具有面，它们都垂直于正面，因此切口的正面投影具有积聚性。水平截面与三棱锥的底面平行，因此它与积聚性。水平截面与三棱锥的底面平行，因此它与棱面棱面SAB和和SAC的交线的交线DE、DF必分别平行与必分别平行与底边底边AB和和AC，水平截面的侧面投影积聚成一条直水平截面的侧面投影积聚成一条直线。正垂截面分别与棱面线。正垂截面分别与棱面SAB和和SAC交于直线交于直线GE、GF。由于两个截平面都垂直于正面，所以两由于两个截平面都垂直于正面，所以两截平面的交线一定是正垂线，作出以上交线的投影截平面的交线一定是正垂线，作出以上交线的投影即可得出所求投影。即可得出所求投影。例如图所示，一带切口得正三棱锥，已知它的正面投影，例如图所示，一带切口得正三棱锥，已知它的正面投影，求其另两面投影。求其另两面投影。作图方法与步骤如图所示：作图方法与步骤如图所示：1 1由由d d 在在asas上上作作出出d d，由由d d分分别别作作abab、acac的的平平行行线线，再再由由ee（ff）在在两两条条平平行行线线上上分分别别作作出出e e和和f f，连连接接de de、dfdf即即为为DEDE、DFDF的的水水平平投投影影。根根据据投投影影规规律律可可在在侧侧面面上上求求出出 dede、dfdf，如如图图3 314b14b所示。所示。2 2由由g g 分分别别在在sasa、sa sa 上上求求出出g g、gg，然然后后分分别别连连接接gege、gfgf、gege、gfgf，如图如图3 31414（c c）所示。所示。3 3连连接接efef，由由于于efef被被三三个个棱棱面面的的水水平平投投影影遮遮住住而而不不可可见见，应应画画成成虚虚线线。注注意意棱棱线线SASA中中间间DGDG段段被被截截去去，故故它它的的水水平平投投影影中中只只剩剩sgsg、adad，侧侧面面投投影影中中只只剩剩sgsg、adad，如图所示。如图所示。平面与曲面立体相交产生的截交线一般是封闭的平面曲线，平面与曲面立体相交产生的截交线一般是封闭的平面曲线，也可能是由曲线与直线围成的平面图形，其形状取决于截平也可能是由曲线与直线围成的平面图形，其形状取决于截平面与曲面立体的相对位置。曲面立体的截交线，就是求截平面与曲面立体的相对位置。曲面立体的截交线，就是求截平面与曲面立体表面的共有点的投影，然后把各点的同名投影面与曲面立体表面的共有点的投影，然后把各点的同名投影依次光滑连接起来。依次光滑连接起来。当截平面或曲面立体的表面垂直于某一投影面时，则截当截平面或曲面立体的表面垂直于某一投影面时，则截交线在该投影面上的投影具有积聚性，可直接利用面上取点交线在该投影面上的投影具有积聚性，可直接利用面上取点的方法作图。的方法作图。三、三、平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交 1、圆柱的截圆柱的截交线交线 截交线有三种不截交线有三种不同的形状。同的形状。分析：截平面与圆柱的轴线倾斜，故截交线分析：截平面与圆柱的轴线倾斜，故截交线为椭圆。此椭圆的正面投影积聚为一直线。为椭圆。此椭圆的正面投影积聚为一直线。由于圆柱面的水平投影积聚为圆，而椭圆位由于圆柱面的水平投影积聚为圆，而椭圆位于圆柱面上，故椭圆的水平投影与圆柱面水于圆柱面上，故椭圆的水平投影与圆柱面水平投影重合。椭圆的侧面投影是它的类似形平投影重合。椭圆的侧面投影是它的类似形，仍为椭圆。可根据投影规律由正面投影和，仍为椭圆。可根据投影规律由正面投影和水平投影求出侧面投影。水平投影求出侧面投影。例：如图所示，求圆柱被正垂面截切后的截交线。例：如图所示，求圆柱被正垂面截切后的截交线。作图方法与步骤如图所示：作图方法与步骤如图所示：1 1先先找找出出截截交交线线上上的的特特殊殊点点。特特殊殊点点一一般般是是指指截截交交线线上上最最高高、最最低低、最最左左、最最右右、最最前前、最最后后等等点点。作作出出这这些些点点的的投投影影，就就能能大大致致确确定定截截交交线线投投影影的的范范围围。如如图图所所示示，I I、V V两两点点是是位位于于圆圆柱柱正正面面左左、右右两两条条转转向向轮轮廓廓素素线线上上的的点点，且且分分别别是是截截交交线线上上的的最最低低点点和和最最高高点点。IIIIII、VIIVII两两点点位位于于圆圆柱柱最最前前、最最后后两两条条素素线线上上，分分别别是是截截交交线线上上的的最最前前点点和和最最后后点点。在在图图上上标标出出它它们们的的水水平平投投影影1 1、5 5、3 3、7 7和和正正面面投投影影11、55、33、7 7，然然后后根根据据投投影影规规律律求求出出侧侧面面投投影影11、55、33、77，如图所示。，如图所示。2 2再再作作出出适适当当数数量量的的截截交交线线上上的的一一般般点点。在在截截交交线线上上的的特特殊殊点点之之间间取取若若干干点点，如如图图中中的的IIII、IVIV、VIVI、VIIIVIII等等点点称称为为一一般般点点。作作图图时时，可可先先在在水水平平投投影影上上取取2 2、4 4、6 6、8 8等等点点，再再向向上上作作投投影影连连线线，得得22、44、66、8 8 点点，然然后后由由投投影影关关系系求求出出22、44、66、88点点，如如图图所所示示。一一般般位位置置点点越越多多，作出的截交线越准确。作出的截交线越准确。分析：该圆柱左端的开槽是分析：该圆柱左端的开槽是由两个平行于圆柱轴线的对由两个平行于圆柱轴线的对称的正平面和一个垂直于轴称的正平面和一个垂直于轴线的侧平面切割而成。圆柱线的侧平面切割而成。圆柱右端的切口是由两个平行于右端的切口是由两个平行于圆柱轴线的水平面和两个侧圆柱轴线的水平面和两个侧平面切割而成。平面切割而成。例：如图所示，完成被截切圆柱的正面投影和水平投影。例：如图所示，完成被截切圆柱的正面投影和水平投影。作图方法与步骤如图所示：作图方法与步骤如图所示：1 1画左端开槽部分。三个截平画左端开槽部分。三个截平面的水平投影和侧面投影均已知，面的水平投影和侧面投影均已知，只需补出正面投影。两个正平面只需补出正面投影。两个正平面与圆柱面的交线是四条平行的侧与圆柱面的交线是四条平行的侧垂线，它们的侧面投影分别积聚垂线，它们的侧面投影分别积聚成点成点 aa、bb、cc、dd，它它们们的的水水平平投投影影重重合合成成两两条条直直线线。侧侧平平面面与与圆圆柱柱面面的的交交线线是是两两段段平平行行于于侧侧面面的的圆圆弧弧，它它们们的的侧侧面面投投影影反反映映实实形形，水水平平投投影影积积聚聚为为一一直直线线。根根据据点点的的投投影影规规律律，可可求求出出上上述述截截交交线线的的正正面面投投影，如图所示。影，如图所示。2 2画画右右端端切切口口部部分分。各各截截平平面面的的正正面面投投影影和和侧侧面面投投影影已已知知，只只需需补补出出水水平平投投影影。具具体体作作法法与与前前面面类类似，如图所示。似，如图所示。3 3整整理理轮轮廓廓，完完成成全全图图，如如图图所所示示。其其间间应应注注意意两两点：点：（1 1）圆圆柱柱的的最最上上、最最下下两两条条素素线线均均被被开开槽槽切切去去一一段段，故故开开槽槽部部分分的的外外形形轮轮廓廓线线向内向内“收缩收缩”。（2 2）左左端端开开槽槽底底面面的的正正面面投投影影的的中中间间段段（abab）是是不不可可见见的的，应画成虚线。应画成虚线。2、圆锥的截交线圆锥的截交线 平面截切圆锥时，平面截切圆锥时，根据截平面与圆锥根据截平面与圆锥轴线的相对位置不轴线的相对位置不同，其截交线有五同，其截交线有五种不同的情况。如种不同的情况。如表所示。表所示。分析：因截平面为正平面，与轴线平行，故分析：因截平面为正平面，与轴线平行，故截交线为双曲线。截交线的水平投影和侧面截交线为双曲线。截交线的水平投影和侧面投影都积聚为直线，只需求出正面投影。投影都积聚为直线，只需求出正面投影。例：如图所示，求作被正平面截切的圆锥的截交线。例：如图所示，求作被正平面截切的圆锥的截交线。作图方法与步骤如图所示：作图方法与步骤如图所示：1 1先求特殊点。点先求特殊点。点IIIIII为最高点，是截为最高点，是截平面与圆锥最前素线的交点，可由其侧平面与圆锥最前素线的交点，可由其侧面投影面投影33直接作出正面投影直接作出正面投影33。点。点I I、IIII为最低点且位于圆锥底圆上，可为最低点且位于圆锥底圆上，可由由平平投投影影1 1、2 2直直接接作作出出正正面面投投影影11、22。2 2再再求求一一般般点点。用用辅辅助助圆圆法法，在在点点IIIIII与与点点I I、IIII间间作作一一辅辅助助圆圆，该该圆圆与与截截平平面面的的两两个个交交点点IVIV、V V必必是是截截交交线线上上的的点点。易易作作出出这这两两点点的的水水平平投投影影4 4、5 5与与侧侧面面投投影影44、55，据据此此可可求求出出它它们们的的正正面面投投影影44、55。3 3依依次次光光滑滑连连接接11、44、33、55、2 2 即得截交线得正面投影，如图所示。即得截交线得正面投影，如图所示。3、圆球的截交线圆球的截交线 平面在任何位置截切平面在任何位置截切圆球的截交线都是圆圆球的截交线都是圆。当截平面平行于某。当截平面平行于某一投影面时，截交线一投影面时，截交线在该投影面上的投影在该投影面上的投影为圆的实形，在其他为圆的实形，在其他两面上的投影都积聚两面上的投影都积聚为直线。为直线。分析：球表面的凹槽由两个侧平面和一分析：球表面的凹槽由两个侧平面和一个水平面切割而成，两个侧平面和球的个水平面切割而成，两个侧平面和球的交线为两段平行于侧面的圆弧，水平面交线为两段平行于侧面的圆弧，水平面与球的交线为前后两段水平圆弧，截平与球的交线为前后两段水平圆弧，截平面之间得交线为正垂线。面之间得交线为正垂线。例：所示，完成开槽半圆球的截交线。例：所示，完成开槽半圆球的截交线。作图方法与步骤如图所示：作图方法与步骤如图所示：1 1先先画画出出完完整整半半圆圆球球的的投投影影，再再根根据据槽槽宽宽和和槽槽深深尺尺寸寸作作出出槽槽的的正正面面投影，如图所示。投影，如图所示。2 2用用辅辅助助圆圆法法作作出出槽槽的的水水平平投投影影。如图所示。如图所示。3 3根根据据正正面面投投影影和和水水平平投投影影作作出出侧侧面面投投影影，如如图图所所示示。其其间间应应注注意意两点：两点：（1 1）由由于于平平行行于于侧侧面面的的圆圆球球素素线线被被切切去去一一部部分分，所所以以开开槽槽部部分分的的轮轮廓廓线线在在侧侧面面的的投投影影会会向向内内“收收缩缩”。（2 2）槽槽底底的的侧侧面面投投影影此此时时不不可可见见，应画成虚线。应画成虚线。分析：顶尖头部是由同轴的圆锥与圆柱组合分析：顶尖头部是由同轴的圆锥与圆柱组合而成。它的上部被两个相互垂直的截平面而成。它的上部被两个相互垂直的截平面P P和和Q Q切去一部分，在它的表面上共出现三组切去一部分，在它的表面上共出现三组截交线和一条截交线和一条P P与与Q Q的交线。截平面的交线。截平面P P平行于平行于轴线，所以它与圆锥面的交线为双曲线，与轴线，所以它与圆锥面的交线为双曲线，与圆柱面的交线为两条平行直线。截平面圆柱面的交线为两条平行直线。截平面Q Q与与圆柱斜交，它截切圆柱的截交线是一段椭圆圆柱斜交，它截切圆柱的截交线是一段椭圆弧。三组截交线的侧面投影分别积聚在截平弧。三组截交线的侧面投影分别积聚在截平面面P P和圆柱面的投影上，正面投影分别积聚和圆柱面的投影上，正面投影分别积聚在在P P、Q Q两面的投影（直线）上，因此只需求两面的投影（直线）上，因此只需求作三组截交线的水平投影。作三组截交线的水平投影。例：如图所示，求作顶尖头的截交线。例：如图所示，求作顶尖头的截交线。综合题例综合题例作图方法与步骤如图所示：作图方法与步骤如图所示：1 1作作特特殊殊点点。根根据据正正面面投投影影和和侧侧面面投投影影可可作作出出特特殊殊点点的的水水平平投投影影1 1、3 3、5 5、6 6、8 8、1010，如图所示。，如图所示。2求求一一般般点点。利利用用辅辅助助圆圆法法求求出出双双曲曲线线上上一一般般点点的的水水平平投投影影2、4，以以及及椭椭圆圆弧弧上上的的一一般般点点7、9，如如图所示。图所示。3 3将将各各点点的的水水平平投投影影依依次次连连接接起起来来，即即为为所所求求截截交交线线的的水水平平投投影，如图所示。影，如图所示。