高中平面向量知识点总结.doc

平面向量1、 向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量2、 向量的表示方法 （1）几何表示：以A为起点，以B为终点的有向线段记作，如果有向线段表示一个向量，通常我们就说向量. （2）字母表示：印刷时 粗黑体字母 a， b， c向量 手写时 带箭头的小写字母 ，3、向量点的长度（模）向量的大小叫做向量的长或模，记作|、 4、零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行 0单位向量：模为1个单位长度的向量 向量为单位向量1 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量称为平行向量，也叫共线向量 记作5、相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记为即大小相等，方向相同6、 对于任意非零向量的单位向量是 .7、向量的加法（1）三角形法则 设，则+=对于零向量与任意向量的和有 （2）平行四边形法则已知两个不共线的向量，做，则A、B、D三点不共线，以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量=+.当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”8、向量加法的运算律（1）交换律 +=+（2）结合律 (a+b)+c=a+(b+c)9、向量的减法 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 图：10、相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量. 记作 （1）=，即与互为相反向量；（2）若、是互为相反向量，则=,=,+=；（3）+()=()+=；（4）零向量的相反向量仍是零向量（5）对于用起点和终点表示的向量，则有= BA,即和- BA互为相反向量11、已知向量，b，则| |-|b| |b| b|12、向量数乘运算 实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）；（2）当时， 与同向当时， 与异向当或=时，方向是任意的13、向量数乘的运算律（1） () =()（2）(+) =+（3）（+）=+（4）（）= （）=（） （）=-14、向量共线判定定理 当向量，对于向量，如果有一个实数，使=，那么 共线. 向量与向量（）共线有且只有一个实数，使得=.15、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量、以及任意实数、1 、2 恒有（12）=1+216、平面向量的基本定理 如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底17、 两向量夹角范围0180 =0 同向图 =180 同向=90 垂直，记为18、平面向量的正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量19、平面向量的坐标表示 （1）直角坐标 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使=x i+y j，则把有序数对（x，y）叫做向量的坐标。 （2）坐标表示 在向量的直角坐标中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，=（x，y）叫做向量的坐标表示。 （3）在向量的直角坐标中，i=（1,0） j=（0,1） =（0,0）20、若和实数 （1） （2） =(x1, y1)（3） 若，则=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1, y2-y1)21、向量平行条件（1）若，（2）若，如果不平行于坐标轴，即x20 y20 ，则/x1x2=y1y2 即两个向量平行的条件是成比例（注意此时x2y20） 22、向量的数量积 已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos其中是与的夹角，cos叫做向量在方向上的投影。 规定23、数量积的几何意义 等于的长度与在方向上的投影cos的乘积24、与都是非零向量，它们的夹角为 （1） = 0 （2）同向时 = 反向时 = （3） 或=2（4）cos=（5）|25、向量数量积的运算律 （1）交换律：（2）结合律：（3）分配律：特别注意：（1）结合律不成立： why？ 前者表示与共线的向量，后者表示与向量c共线的向量，而与c不一定共线。（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或= 26、平面向量的数量积的坐标运算： 已知两个向量，则=27、垂直 设两个非零向量， 则 O28、设=（x，y），则=x2+y2设A=（x1，y1） B=（x2，y2），则=（x2-x1）2+（ y2-y1）229、已知两个非零向量与，作=, =,则AOB= （）叫做向量与的夹角cos= （可用此公式求两向量夹角）当0，0，2）；当=0，=2当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=180030、向量的单位向量的坐标表示 0=（x，y）1x2+y2=xx2+y2+ yx2+y20 为的单位向量31、对于求直线L1：A1 x+B1y+C1=0 与直线L2：A2 x+B2y+C2=0 的夹角，则只要求与两直线平行的向量的夹角，再取这两个向量的夹角或补角，即与直线L1 、L2分别平行的向量m=（A1，B1），n=（A2，B2），设向量m、 n的夹角为cos=mnm n=A1A2+B1B2A12+B12B12+B22当cos0 时，直线L1 L2夹角等于 32、三角形面积公式S=12absinC 可利用夹角公式求出sinC33、2=| （） （）2=|2=|22+|234、证三点共线35、直线L的向量参数方程式 运用2.2的例一设A、B 是直线L上任意两点，O是L外一点，则对于L上任一点P，存在实数t，是向量OP=（1-t）OA+tOB 当t=12时，即P为AB中点时，OP=12(OA+OB) 正弦定理在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。则有即，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，该比值等于该三角形外接圆的直径长度。定理变形(3)相关结论:余弦定理如上图所示，ABC，余弦定理可表示为：同理，也可描述为：三角形面积1.海伦公式:解释:假设有一个三角形，边长分别为 ，三角形的面积S可由以上公式求得，而公式里的p为半周长。2. ，R为外接圆半径