高中平面向量知识点总结.doc

平面向量
1、 向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量
2、 向量的表示方法
（1）几何表示：以A为起点，以B为终点的有向线段记作，如果有向线段表示一个向量，通常我们就说向量.
（2）字母表示：印刷时 粗黑体字母 a， b， c…向量
手写时 带箭头的小写字母 ，…
3、向量点的长度（模）
向量的大小叫做向量的长或模，记作||、｜｜
4、零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行
＝｜｜＝0
单位向量：模为1个单位长度的向量
向量为单位向量｜｜＝1
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量称为平行向量，也叫共线向量
记作∥
5、相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记为
即大小相等，方向相同
6、 对于任意非零向量的单位向量是｜｜ .
7、向量的加法
（1）三角形法则
设，则+==

对于零向量与任意向量的和有
（2）平行四边形法则
已知两个不共线的向量，，做，则A、B、D三点不共线，以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量=+.

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
，但这时必须“首尾相连”．
8、向量加法的运算律
（1）交换律 +=+
（2）结合律 (a+b)+c=a+(b+c)
9、向量的减法
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
图：

10、相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量. 记作
（1）=，即与互为相反向量；
（2）若、是互为相反向量，则=,=,+=；
（3）+()=()+=；
（4）零向量的相反向量仍是零向量
（5）对于用起点和终点表示的向量，则有= —BA,即和- BA互为相反向量

11、已知向量α，b，则| |α|-|b| |≤α±b≤|α|±| b|
12、向量数乘运算
实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时， 与同向
当时， 与异向
当或=时，，方向是任意的

13、向量数乘的运算律
（1） λ(μ) =(λμ)
（2）(λ+μ) =λ+μ
（3）λ（+）=λ+λ
（4）（—λ）= —（λ）=λ（—）
λ（—）=λ-λ
14、向量共线判定定理
当向量≠，对于向量，如果有一个实数，使=，那么 共线.
向量与向量（≠）共线有且只有一个实数，使得=.
15、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量、以及任意实数λ、μ1 、μ2 恒有（μ1±μ2）=μ1+μ2
16、平面向量的基本定理
如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
17、 两向量夹角θ范围[0°~180°] θ=0° 同向
图 θ=180° 同向
θ=90° 垂直，记为┴
18、平面向量的正交分解
把一个向量分解成两个互相垂直的向量
19、平面向量的坐标表示
（1）直角坐标
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使=x i+y j，则把有序数对（x，y）叫做向量的坐标。
（2）坐标表示
在向量的直角坐标中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，=（x，y）叫做向量的坐标表示。
（3）在向量的直角坐标中，i=（1,0） j=（0,1） =（0,0）
20、若和实数λ
（1）
（2） =(x1, y1)
（3） 若，则=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1, y2y1)
21、向量平行条件
（1）若，
（2）若，如果不平行于坐标轴，即x2≠0 y2≠0 ，则
//x1x2=y1y2 即两个向量平行的条件是成比例（注意此时x2·y2≠0）
22、向量的数量积
已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos
其中是与的夹角，︱︱cos叫做向量在方向上的投影。
规定
23、数量积的几何意义
·等于的长度︱︱与在方向上的投影︱︱cos的乘积
24、与都是非零向量，它们的夹角为
（1） ·= 0
（2）同向时 ·=︱︱·︱︱
反向时 ·= —︱︱·︱︱
（3） 或
︱︱=·=2
（4）cos=·︱︱·︱︱
（5）|·|≤︱︱·︱︱
25、向量数量积的运算律
（1）交换律：
（2）结合律：
（3）分配律：
特别注意：（1）结合律不成立： why？ 前者表示与共线的向量，后者表示与向量c共线的向量，而与c不一定共线。
（2）消去律不成立不能得到
（3）=0不能得到=或=
26、平面向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量，则·=
27、垂直
设两个非零向量，
则
⊥·＝O
28、设=（x，y），则︱︱=x2+y2
设A=（x1，y1） B=（x2，y2），则=（x2-x1）2+（ y2-y1）2
29、已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角
cos== （可用此公式求两向量夹角）
当<0，ϵ（π2，π];
当>0，ϵ[0，π2）；
当=0，=π2
当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800

30、向量的单位向量的坐标表示
0=︱︱=（x，y）·1x2+y2=xx2+y2+ yx2+y2
0 为的单位向量
31、对于求直线L1：A1 x+B1y+C1=0 与直线L2：A2 x+B2y+C2=0 的夹角，则只要求与两直线平行的向量的夹角，再取这两个向量的夹角或补角，即与直线L1 L2分别平行的向量m=（A1，B1），n=（A2，B2），设向量m、 n的夹角为cos=m·n︱m︱·︱ n︱=A1·A2+B1·B2A12+B12·B12+B22
当cos<0 时，直线L1 L2夹角等于 π-θ 锐角
当cos>0 时，直线L1 L2夹角等于 θ

32、三角形面积公式S=12a·bsinC 可利用夹角公式求出sinC
33、2=||
（±） （±）2=|±|2=||2±2·+||2
34、证三点共线

35、直线L的向量参数方程式 运用2.2的例一
设A、B 是直线L上任意两点，O是L外一点，则对于L上任一点P存在实数t，是向量OP=（1-t）OA+tOB
当t=12时，即P为AB中点时，OP=12(OA+OB)

正弦定理

在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。则有

即，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，该比值等于该三角形外接圆的直径长度。[

定理变形

　(3)相关结论:

余弦定理

如上图所示，△ABC，余弦定理可表示为：

同理，也可描述为：

三角形面积
1.海伦公式:

解释:假设有一个三角形，边长分别为 ，三角形的面积S可由以上公式求得，而公式里的p为半周长。
2.

，[R为外接圆半径]