高等数学(上册)基本公式、概念和方法.doc

一．函数
1．函数定义域由以下几点确定
（１）
（２）（其中n为正整数）
（３）。
（４）函数代数和的定义域，取其定义域的交集．
（５）对具有实际意义的函数，定义域由问题特点而定．
2．判断函数的奇偶性，依据以下两点确定，否则函数为非奇非偶的．
（１） 若是偶函数，若是奇函数．
（２） 若的图象关于y 轴对称，则函数是偶函数．如等。
若的图象关于坐标原点对称，则函数是奇函数．如
３． 将函数分解成几个简单函数的合成．
由六类基本初等函数的形式，对要分解的函数，由外层到内层，分别设出关系．函数与常数的四则运算，不必另设一层关系．
二．极限与连续
1．主要概念和计算方法：
（１）．
（２）．若（极限过程不限），则当时为无穷小量。
（3）．若，则函数在处是连续的。
即（１）函数值存在、（２）极限存在、（３）极限值和函数值相等。
若上述三条至少一条不满足，则是函数的间段点。
（4）．间断点的分类：设是函数的间断点
若左、右极限均存在，则称为第一类间断点。
若左、右极限至少有一个是无穷大，则称为第二类间断点。
（5）．重要公式：条件（极限过程不限）
结论《１》；《２》
2．求极限的方法：先判断极限类型（依据基本初等函数图象和函数值）
（１） 定式：直接得结论（即常数Ｃ、不存在：无穷大、震荡、左极限不等于右极限）。
（２） 不定式：（Ａ）型：消去零因子或用公式《１》。
（Ｂ）型：约去因子，使之变成定式。
（Ｃ）型：用公式《２》。
（Ｄ）型：取简单的翻到分母上，转化成《Ａ》或《Ｂ》。
（Ｅ）型：通分或有理化，使之转化成其它类型。
注：《Ａ》和《Ｂ》型也可以用第四章中“罗必达”法则求。但要满足条件。
三．导数
（一）基本概念
1．导数值：，也可以记作。
2．导数的几何意义：就是曲线在点处切线的斜率k，其切线的方程是：，法线方程：。
3. 函数在一点处可导、连续、有极限、有定义的关系（见关系图）。
（二）．导数基本公式：
1． 2。 3。 4。 5。
6． 7。 8。 9。
（三）微分法（设u和v 都是x的函数）
1．用定义求导数或导函数。
2．
3．；
4．
5．设复合函数，则
6．设由隐函数确定，则，也可以直接对方程求导数。
7．对于单项式可以用取对数法求导数。对于幂指函数必须用取对数法求导数。
8．设参数方程，则
9．微分：
10．反函数的导数：
附：函数在一点处几个概念之间的关系图
有定义（函数值存在）
有极限
连续（极限值等于函数值）
可导（可微）

四．中值定理与导数应用
1．拉格朗日中值定理：
条件：函数在[a,b]上连续，在（a,b）内可导
结论：至少存在一点。
４． 洛必塔法则
适用于型极限，注意四种失效题型：
3．单调性：若在（a,b）内在（a,b）内单调递增。
若在（a,b）内在（a,b）内单调递减。
a) 极值存在的必要条件：若（为驻点）
b) 极值存在的充分条件：设函数在a点连续，则：
在a点左右函数的导数由正变负a点为函数的极大值点。
在a点左右函数的导数由负变正a点为函数的极小值点。
c) 判断曲线凹凸的方法：
若在(a,b)内>0，则曲线在（a,b）内上凹。如等。
若在(a,b)内<0，则曲线在（a,b）内下凹。如等。
２． 曲线拐点的求法：
设a为函数的连续点，若函数在a点处二阶导数变号，则曲线上的点
（a,f(a)）为曲线的拐点。
３． 求渐近线的方法：
若，则x=a为曲线的垂直渐近线。
若，则y=b为曲线的水平渐近线。
４． 极值应用：
i. 画图、设变量x，并将其余变量用x表示。
ii. 建立函数关系，并写出定义域。
iii. 求函数的一阶导数，找出驻点。
iv. 说明驻点是最值点的理由，，并回答其它问题。
五．不定积分
1． 原函数：在某区间内，若在任一点处均有，则称F（x）是的一个原函数。
2． 若有原函数F（x），则F（x）+C表示全体原函数，且任意两个原函数仅相差一个常数。
3． 若有原函数F（x），则的不定积分可表示为。
4． 不定积分的几何意义
表示在x点处切线斜率均为的一族曲线。
5． 基本积分公式
（1） （2）
（3）（4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
（11） （12）
6. 积分性质
（1） （2）
（3） （4）
7．计算方法
（1）直接积分法：先对被积函数进行化简、变形，应用性质，再直接用公式。
（2）第一换元法：对简单的题目用凑微分法
一般地可以用代换
设的导数连续，则。
（３） 分部积分法：，要用算式。
选u的顺序：反、对、幂、三、指、常。
（４） 简单的有理函数积分：拆项法、大除法和待定系数法。
六．定积分
1．定积分特点：
（1） 定积分是一个数，与积分变量无关。
（2） 被积函数连续是可积的充分条件。
（3） 被积函数有界是可积的必要条件。
2． 定积分的几何意义
（1） 设，则表示由曲线直线y=0;x=a;x=b所围成的曲边
梯形面积。
（2） 设，则表示由曲线直线y=0;x=a;x=b所围成的曲边
梯形的负面积。
（3） 若的符号不定，则表示面积的代数和。由此得到对称区间上的
奇函数积分为0，即，其中函数是奇函数。
3． 主要性质
（1）。
（2）。
（3）。
4． 变上限定积分的求导法：。
5． 牛顿---莱布尼兹公式
条件：设在区间[a,b]上连续，F(x)是的一个原函数
结论：=F（b）--F(a)
6. 广义积分 设在区间[a，上连续，曲b>a，则
在区间（，b）上类似定义。
7．几个结论

设是偶函数：
设是奇函数：。
8．求定积分的方法
（1） 利用几何意义（画出对应的图形）。
（2） 直接用牛顿---莱布尼兹公式（结合性质和几个结论）。
（3） 先求对应的不定积分，在用牛顿---莱布尼兹公式（注意函数的连续性）。
（4） 用定积分的换元法和分部法（换元必须换限）。
9． 定积分应用
（1）求平面图形的面积
先画出这块面积，用阴影表示出。
用定积分表示面积，再求出其值。
（2）求平面图形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积
绕x轴：v=。 绕y轴：v=
常用简单公式

５． 对数