第六章多元函数微分学及其应用讲义.pdf

第六章多元函数微分学及其应用6.1多元函数的基本概念一、二元函数的极限定义/(P)=/(%，y)的定义域为D与(%,%)是。的聚点.对常数A,对于任意给定的 正数,总存在正数3,使得当点P(%,)。八6(兄),即0|P.P=&-丁尸+-方 B时，都有f(P)-A=f(x,)一川0 yox6+y2=l im,r f+)Tx3 kx1k2x6r k=l im-T1+k y-0其值随k去不同值而取不同值。故极限l im x-0 yf0%6+y2不存在。例3求极限l imXf 0 yf 0J%2y2+112 2%+y2 2%y解原式二 l imx-0y-0Y+y2 J%2y2+1+1 7 V2=l im x2-二 02 T x+y yf0,16.2偏导数与高阶导数6.2.1 偏导数Qz一、概念 z=/(x,y),一=l im dx Z/(x+Ax,y)-f(x,y)Ax说明 1对X求导视y为常数，几何意义也说明了这个问题二元函数z=jx,y)在点“o(玉)，%)的偏导数有下述几何意义.偏导数(%,%)，就是曲面z=/(%,y)与平面y=%的交线在点Mo处的切线Mo Tx对轴的斜率洞样，偏导数4(%,%)的儿何意义是曲面z=/(%,y)与平面%=%的交线在点M.处的切线Mo Ty对y轴的斜率.dz2基于如上理由，求空 dx时一，儿可先代入，(因此可能简化函数)再对求导(曲，如)例 f(x,y)=%+arctany(%+arctany(x 4arctany)，求(1,0)。三、/(x,O)=x,(,0)=1,(1,0)=1可微，偏导数存在，连续的关系可微(偏导数存在连，偏导数连续=可微，/和图都连续，则&=备;高阶偏导数解Sz设函数z=/(x,y)在区域D内具有偏导数一=(l-%y)(%+y)(-y)_ 1由对称性dx1+x+y Y1 一dz 1dy 1+y2(1一母了d2z _d?=(i+x2)2;2xdxdyl+Y0；(2)u=nylx2+y2+z2,x d2u du 求r-tdx SyH-o&2du 解k dx_2x2 x2+y2+z%2-?2 2x+y+zdU%2+y?+z?X,2%2 2 2-x+y+zdx2(x2+z2)2(x2+y2+z2)2由对称性d2u x2 y2+z2 d2u x2+y2 z2 dy2(x2+y2+z2)2，dz2(x2+)2+z2)2故d2u d2u d2u1-+-+.-dx1 dy2 dz2 x2+y2+z2(3)f(x,y)=盯2 2x+y012+y2 w 0，求(。,。)，/；(o,o)Y+J=0Ax-0解4(0,0)=l im+02=0,同理火(0,o)=o；右0 Axrz 2 2、-加 dU例2二讨(-.)，求安-解 =yf；-2x+fy=2xyf；+y2f；oxd2udxdy2*+2 町1/；：(-2y)+九 x+2 冽+/用(2y)+f2x=2*-4盯2 工：+2/殖+2创一 2y3 笈+xy?也y例 3 z=/(xy,)+g x，求dz解Ri+/dxdyd2z _ dxdyf+y fnx+f2 一 Xf-%2/21当 fX+fl2 XX1,y 1-O-Q-2 o 2 5JC X X-xyfu+fi-fix _=%_g/_ggx x x x x x例 4 m=于(x+y,犬-y,),求 d。xe,、,du.du,解(1)du dx H dydx dy”f：+W+H (T；T=f+W(T)+屋 ox x)dy x故 du=工f；dx+dyX J L X解(2)du=fd(x+y)+fdx-y)+x=fdx+dy)+f；(dx-dy)+)二)心 x=-+A-多用+./-n+-f；My X Xz 7 r)7例5设z=2(x,y)由方程尸(+,y+)=0,确定，F有连续一阶偏导数，求幺,y x oxdz办解（1）方程两边对求导Sz、婷1+童 y)(dz、-X-z dx_x2=0dz dx一y%xF；+阳z y 方程两边对y求导弓至二一+1+!序=0y I%力17Wk三婷孙冕dz _ y _ yby%婷+丁第y i x 2解(2)方程两边取微分F；d(x H)+F：d(y H)=0 y%ydz-zdy,z,xdz-zdx.八F；(dx+-)+F；(dy+-)=0y%7 7(k Hy F；)dx+(y 婷F)dy dz=_az 1 1y%z-耳+下第一孙婷+匕娉3%!耳，+工居，*+y娉y%2Sz 孙婷+方黑dx xF1+yF例6设y=/（%/）,七心,y）由尸（x,y）二 O确定尸J可微，求心 dx解（1）对方程取微分0,/可微且满足,证明 xfx+yfy+zf=kf o6.z=fx,y)于(1,1)点可微，且/(1,1)=1,(U)=2,，(1,1)=3 o。()=f(x,f(x,x)。求火切工。ax(if y 2 V 7 cP 7 7 77.设变换 一,可把方程6=彳+/-詈=0化简为”=0,求常数a的v=x+ay ox dxdy dy ouov值。(a=3)o分27 78.设/()有连续二阶导数，而z=f(eXsiny)满足寸+二=/纭，求/()。dx dy(f(u)=cxeu+c2eu)6.2偏导数应用偏导数应用注意四个方面：空间曲面曲线切平面、法线、切线、法平面；方向导数；梯 度、散度、旋度；极值与条件极值。6.3.1 内容小结1.空间曲线切线与法平面x=%Q)1)p=y(%)z=z(x)y=(l,y,z)类似的%一%o 二 y_%二 z _ z。I y zr切线方程:法平面方程：x-x0+y(y-y0)+zz(z-z0)=0F(x,z,y)=0 1K+aX+Z=3)/、，u_r，v=(l,yv,zx)G(%,y,z)=0 Gx+Gyyx+Gzzx=02.空间曲面切平面与法线-1)F(%,y,z)=O,=(婕，耳工)|昂切平面:F；Po(%)+F；Po(y-yo)+F：Po(z-zo)=O法线：七%=匕%=三二包 E。FX 矶,。2)z=f(x,y)n 尸=/(%,y)-zn 1)类似地切平面：/：(%_%o)+4(y_yo)_(z_Zo)=O法线:%一%0=y_%=2-Zo fX fy -IX=x(u,v)3)kz：z；3(y,z)3(z,%)3(%,y)、6(w,v)d(u,v)d(u,v)3.方向导数u=w(x,y,z)=cos d-cos B d-cosy=gradn /(梯度在/方向投影)dl dx dy dz4.梯度、散度、旋度(d d (du du 9)(dr dy dzJ I kSx dy dzJi j kf t dP dO dR f 6dddivA=V A=+rotA=V xA=dx dy dz dx dy dzP Q R6.3.2例题例1求曲线=%,y=,z=/上与平面%+2y+z=4平行的切线方程。解 切向量c=(L2力34),n=(1,2,1)由/_L，则l=0,即?11 4z+3t=0 n 4=1，右=，当1=1 时 r=(l,-2,3),x1=l,y1=-l,z1=l,切线方程为二一 二1-2 31,Z1 2 lx 1 1 1当/二1时 r2=(l,-,-),x2=-,y1=-,2=J 3 3 J L/1 1 1 x y+z-切线方程为一1 _2 1一 3 3x2+/=10例2求空间曲线，在点(3,1,1)处的切线方程和法平面方程。x2+z2=102%+2yy=02x+2zz=0解/十 丁 二 I。.确定了 y=y(x),z=z(x),对 求导于 M(3,l,l)点：y=3,z=3/=(1,-3,-3)切线方程为x-3 _ y-z-11-3-3法平面方程为 x 3 3(y 1)3(z 1)=0,即 x 3y 3z+3=0例3求曲面2+y2+z2=%的切平面。使之与平面%一丁一：二 2垂直，同时也与%y z=2垂直。-T解切平面法向量=(2%-l,2y,2z),%=1 f(1,-1,-),=(1-1-1),依题意 一4=()既有 2%1 2y z=0(1)n2-n=02x 1 2y 12z=0(2)联立(1)(2)和原方程2+V2 x=-44i 产了z=02-V2 x 二-4=一 7z=0得解，u，I 2 2 Jf V2 V2丁7M五右后,2+行、41(亚、n Hn 1+V2 切平面；一(%)+)=0 即+y=-得 2-司 V2 z 41.-(y-2 4)=0 即=x-4)2例4求=/+2/+3z2在(1,1,1)点沿 2+y2+z2=3的外法线方向的方向导数。解 F(x,y,z)=x2+y2+z2-3,F【=2x,F-=2z于 点;=(2,2,2),*，专，言)du du du c 3=COS6Z+cos p+cos/dn dx dy dzc 1，1,12x,j=+4 y j=+6z-j=V3 V3 V3.例5设f(x,y)在Po点可微,t 讲 7 试确定4使至=显。解生旦8S%+更8s止1,6Lj dx dydf df df 0 八同-cos a、H-cos=0，则dL2 dx dy 一更 J _+红 J _=ldx 42 dy 42 df _ 1 df _ 1更J J LL更J L_n n瓦正正一页 a%1 4i J dy 4i设右=(COS%,COS/?3)从而*泰为，&=卡 即*COS%+*cos所点7 3 4 4 3cos%+sin%=,解得 cos%二一或cos%=此时 cos/?3 二一或cos/?3=一例 6 =I n yjx2+y2+z2,求 div(gradu).T.z J、c/、2 02M d2u d2u斛 drv(gradu)V,(Vm)=V u H-H-0dx dy dz1 1/2 2 2、u-l n(x+y+z),2 dxx2 2 2x+y+zd2u _ x2+y2+z2-x-2x _-x2+y2+z2 dx2(x2+)2+z2)2(x2+y2+z2)2由对称性d2u _ x2-y2+z2 d2u _ x2+y2-z2 dy2(x2+y2+z2)2，dz2(x2+y2+z2)2从而 div(gradu)=-x+y+z例7设a,4c为常数，/有连续一阶偏导数。证明厂（土上，匕）=0上任一点切平面都通过某定点。z-c z-CF=F1x-a(2-C)2y-b(2-C)2则切平面方程为F；-(X-x)+F；(K-?F(x-)+F；(y-b)(z-y)=0z-c z-c(z-c)x=a,Y=b,Z=c,则对任一的（x,y,z）点上式均满足，即过任一点的切平面都过（a,b,c）点。例8设。力为常数，证明曲面厂（x-az,y-历）=0上任一点切平面都通过某定直线平 行（F具有连续偏导数）。证 F；=F；,F；=F；,F=-aF；-bF n=F；,F-aF；-bF,取7=（a,b,l）,则 7=0,17,曲面平行/,取直线七力二工二左二三包，a b 则曲面上任一点的切平面都与上述直线平行。例9求二元函数“=%2 一盯+y2在点沿方向n1 忑（2,1）的方向导数，并指出在该点沿哪个方向的方向导数最大？这个最大的方向导数值是多少？沿那个方向减 少得最快，沿哪个方向的值不变？解 gradu|(_M)=(2x-y,2y-x)|(_U)=(-3,3)，m 在点M(U)沿成方向的方向导数为du加1=(gradu)-n M=（T3）偿爰卜g方向导数取得最大值的方向为梯度方向，其最大值为脏2力/|=3底，沿负梯度方 向减少最快。为求使变化的变化率为零的方向，令/=（cos仇sin。），则du di=(gradu|M)-/=-3cos。+3sin。=3-72 sin 0M 71TT IT TT IT令号=o,得e 或。=%+彳，故在点（1,1）处沿夕二：和+：函数得值不 变化。例10 一条鲨鱼在发现血腥味时，总是沿血腥味最浓的方向追寻。在海上进行试验表明，如果血源在海平面上，建立坐标系味：坐标原点在血源处，。坐标面为海平面，Oz轴铅 直向下，则点(x,y,z)处血源的浓度C(每百万份水中所含血的份数)的近似值_-(x2+y2+2z2)/104 l e o(1)求鲨鱼从点1,1,;1(单位为海里)出发向血源前进的路线的方程；(2)若鲨鱼以40海里/小时的速度前进，鲨鱼从(草,；)点出发需要用多少时间才能到达血源处？解(1)鲨鱼追踪最强的血腥味，所以每一瞬时它都将按血液浓度变化最快，即C的梯度方向前进。由梯度的计算公式，得gradC=二=10-4+y2+2z?)/(_2x.2y,-4z)dx dy dz J设曲线的方程为=%),y=y),z=zQ),则的切线向量工=(公，力,dz)必与gmdC平行，从而有dx _ dy_ 2%2 ydz-4z解初始值问题 dx _ dy-2x-2y 得 y=%dx _ dz解初始值问题 2x 4z 得z=L/,所以所求曲线的方程,1 2Z XT 二 一【i 21,为 了=%,y=x,z=x(0 x 1)(2)曲线的长度1s=/+yj+z；2 dx=yl2+x2 dx=V x+2+l n(x+V x2+1)0=+l n(V3+l)-1l n2(海里)因此到达血源处所用的时间为T=-40n 1-+l n(V3+l)-1ta2(小时)。6.4多元函数的极值一、无条件极值 限于二元函数z=1.求驻点o o-杀一 为az-ay驻点po2 o22.于驻点P处计算A=，B=-,C=一。2AC0可取得极小值，A 0可取极大值。min w=fix.y.z)3.条件极值：八，令L=/(%,y,z)+；l e(%,y,z)求无条件极值。S.t.(p(x,y,z)=0例1求内接于椭球面，且棱平行对称轴的体积最大的长方体。解设椭球面方程为2 2 2二+与+=1,长方体于第一卦限上的点的坐标为(x,y,z),a b cV=Sxyz,s.t.2 2 2尤 y z 1 人-+TT+-=1 令 a b cL=8xyz+A4=8yz+驾二 a,2AyL 8xz H 0)b2=8町+菱=02 2 2及7+铲+/=12 2 2由(1)(2)(3)得一-5=t,代入 6rbe(3)得3从而 x 尸，y V38abe 8a/3,=-abc o3V3 9则b,此时V=2 2 2x y z.例2求由方程2/+2y2+z?+8%z z+8=0所确定的二元函数z=/(%,y)的极值。解 方程两边对,y求偏导数得：.c Sz o o Sz Sz 八4%+2z-F 8z+8x-0dx dx dx(1)令迈=0,4=o,dx dy4%+8z=0得14y _ 0 和原方程联立得驻点(-2,0),方程(1)对,y再求偏导，方程(2)对y求偏导dz dxj+2zB+8+8+8%B.B=dx2 dx dx dx2 dx2(3)dy dxdxdy+8+8xdxdy dxdy(4)4+2 但+2z警+85/惑=0dy dy2 dy(5)4+22包包+2z匹=0将驻点(2,0)代入(此时z=l)4+2A 16A A=04+2C-16C-C=015152B-16B-B=0B2-AC0)B=0将驻点13,0)代入(3)(4)(5)(此时z=同上过程有A=-,B=0,C=-,B2-AC0,A0 了 xO=l imx-0所以l im 不存在.二”+y(x2+y2)sin/】(x2+y2 0),例 3z=/(%,y)=770(%2+y2=。),(1)在(0,0)处是否连续？(2)(0,0),力(0,0)是否存在?(3)偏导数/,(%,),4.(%)在(0,0)处是否连续？(4)/(羽丁)在(0,0)处是否可微？解(1)函数在(0,0)处是否连续，只要看l im/(%,y)=/(0,0)是否成立.%0yf0因为y)=l im(%2+y2)sinxf 0 x-0/v-I、,2yf0 yr0 7 八十)9 1=l im p2sin=0=/(0,0).p所以所以/(%,y)在(0,0)处连续.(2)如同一元函数一样，分段函数在分界点处的偏导数应按定义来求.因为9 1(Ax)-sin/-0r/(Ax,O)-/(O,O)r J*l im J-:-=l im-。Ajv Ar=l im Arsiii=0,a 43)2(0,0)=0,类似地可求得 fy(0,0)=0.当(%,y)w(O,O)时%,y)=2%sin-=c o s-r=77=2%sin,“2+y2因为 l im fx(x,y)=l im 2xsin/1 一 x0 x0/%2+y 2y-0不存在.-1 cos 77所以人(X,y)在(0,0)处不连续。同理/、.(,y)在(0,0)处也不连续(4)由于力(,y),.fv(%,y)在(0,0)处不连续，所以只能按定义判别/(x,y)在(0,0)处是否可微.由力(0,0)=0,4(0,0)=0,故1 1 m空当竺竺3回 品1 7(Ar)2+(Ay)?(Ax)2+(Ay)2 sin=l imAxf0 A)t07(Ax)2+(Ay)7(W+(A#1=l im J(Ax)-+(Ay)-sinAy-01j3)2+(Ay)2=l im psin=0Ax0 nAyf0 尸由全微分定义知/(%,y)在(0,0)处可微，且或(0,0)=0.例 4 设=/(x,y,z),2=g(x,y),y=/z(x/),t=(p(x),求一.ax解对于复合函数求导来说，最主要的是搞清变量之间的关系.哪些是自变量，哪些是 中间变量，可借助于“树图”来分析.x由上图可见，最终是的函数，y,z,/都是中间变量.所以du _df df f dh dh d(p df dg dg f dh dh d(pdx dx Sy I dx dt dx J dz _ dx dy(dx dt dx J Jdf df dh df dh d(p df dg df dg dh df dg dh d(p=-1-1-1-1-1-dx dy dx dy dt dx dz dx dz dy dx dz dy dt dx从最后结论可以看出:若对X求导数(或 求偏导数),有几条线通到“树梢”上的羽结 果中就应有几项，而每一项又都是一条线 上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简言之，按线相乘，分线相加17=-例5,/可导，求J.解1Zx=T小+j例6已知y=*+%,而才是由方程V+产2=1确定的,y的函数，求包 dx解 将两个方程对求导数，得y=*Qy+yt)+12 W+2ttr-2x=0解方程可得dy _ t+xyedx/+(,2/)浮例7 求曲面2+2丁+3z2=21平行于平面%+4y+6z=0的切平面方程.解 曲面在点(x,y,z)的法向量为=(工,)=(2%,4y,6z),已知平面的法向量为由=(1,4,6),因为切平面与已知平面平行，所以/1，从而有2x 4y 6z又因为点在曲面上，应满足曲面方程 x2+2y2+3z2=21(1)(2)由、(2)解得切点为(1,2,2)及(1,2,2),所求切平面方程为：(x-l)+4(y-2)+6(z-2)=0或(x+l)+4(y+2)+6(z+2)=0。这里特别要指出的是不要将/弭不经意的 写成二耳，从而得出切点为曰)的错误结论.并且平行有两个方向的即最后结果是正负 两个的！例8在椭球面2/+2y2+z2=1上求一点，使函数f(x,y,z)=x2+y2+z2在该点沿 1=(1,-1,0)方向的方向导数最大.讨 df 1 df 1 Sf n所以-r=-,=+-0dl dx y2 dy V2 dz=V2(x-y)由题意，要考查函数后(1-y)在条件2f+2y2+z2=1下的最大值，为此构造拉格朗日函数 F(x,y,z)=后(-y)+/l(2%2+2y 2+z2-1),Fv=V2+4Ax-0,Fy /2+42y=0,F=2M=0,2x2+2y2+z2=1.解得可能取极值的点为(卜别 及(444因为所要求的最大值一定存在，比较g=&，g=行知(L-Lo为所求的点.例9求函数Z=%2+y2在圆(72)2+(y-V2)2 9上的最大值与最小值.解 先求函数z=%2+,2在圆内的可能极值点.为此令Zx=0,z,=0,解得点(0,0).显然 z(0,0)=0为最小值.再求Z=%2+y2在圆上的最大、最小值.为此做拉格朗日函数F(x,y)=x2+y2+2(x-V2)2+(y V2)2-9,F,=2%+22(%-扬=0,(1)F,=2y+2y-扬=0,(2)(%-可+反二仇(3)由(1)、(2)可知X=y,代入(3)解得5V2 x=y=-2和二y.交2z(572 5。二 25,z(V2 _ _2 2二1.比较 z(0,0)、z(5a/2 5a/T UHz(P)p),二值可知：在(J，)？+(y J，)？9 2 2,上，最大值为2=25,最小值为2=0.