苏教版八年级下册第11章反比例函数教学案.doc

四明初级中学八年级数学（下）教学案
课题
11.1　反比例函数
1课时
课型
新授
主备
顾慧玲
校对
周光清
审核

班级： 姓名： 学号：
【教学目标】
1． 结合具体情境体会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；
2． 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式；
【教学重点】
反比例函数的概念．
【教学难点】
1．讨论两个变量之间的相互关系，从而让学生加深对函数概念的理解；
2．通过对反比例函数的简单应用，使学生初步形成数学的建模意识和在函数概念中的运动变化观点．
【教学过程】
在小学里，我们已经知道如果两个量的乘积一定，那么这两个量成反比例．例如当路程s一定时，时间t与速度v的关系．那成反比例的两个量之间的关系，怎样用函数表达式来表示呢？
南京与上海相距约300km，一辆汽车从南京出发，以速度v(km/h)开往上海，全程所用时间为t(h)．写出t、v的关系式，并填写下表：
v
60
80
90
100
120
t

随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？时间t是速度v的函数吗？为什么？

实践探索：
用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系．
（1）计划修建一条长为500km的高速公路，完成该项目的天数y(天)随日完成量x(km)的变化而变化；

（2）一家银行为某社会福利厂提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y(万元)随还款年限x(年)的变化而变化；

（3）游泳池的容积为5000m3，向池内注水，注满水池所需时间t(h)随注水速度v(m3/h)的变化而变化；

（4）实数m与n的积为－200，m随n的变化而变化．

观察归纳：
以上函数表达式具有什么共同特征？你还能举出类似的实例吗？

注意：
1．反比例函数也可以表示为 的形式．
2．反比例函数的自变量的取值范围是 ．
典型例题：
写出下列问题中两个变量之间关系的函数表达式，并判断它们是否为反比例函数．
（1）面积是50 cm2的矩形，一边长y(cm)随另一边长x(cm)的变化而变化；
（2）体积是100 cm3的圆锥，高h(cm)随底面面积S(cm2)的变化而变化．

达标检测
1、下列函数中，y与x成反比例函数关系的是（ 　）
A. x(y－1)=1 B. y = C. y = D. y =
2、对于函数y=，当m 时，y是x的反比例函数，比例系数是_____。
3、下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦

4、用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并判断所列函数表达式是否为反比例函数：
（1）一边长5 cm 的三角形，面积（）随这边上的高（）的变化而变化；

（2）某村有耕地200公顷，人均占有耕地面积（公顷）随人口数量（人）的变化而变化；

（3）一个物体重120 N，该物体对地面的压强（）随它与地面的接触面积S（）的变化而变化。

拓展延伸
5、已知函数是反比例函数，求a的值。

6、已知函数
(1)当m为何值时，y是x的正比例函数？并求出函数的解析式。
(1)当m为何值时，y是x的反比例函数？并求出函数的解析式。

四明初级中学八年级数学（下）教学案
课题
11.2　反比例函数的图像与性质（1）
2课时
课型
新授
主备
顾慧玲
校对
周光清
审核

班级： 姓名： 学号：
【教学目标】
1． 能简单分析反比例函数的特征；
2． 用描点的方法画出反比例函数的图像；
【教学重点】
画反比例函数的图像．
【教学难点】
1．理解用光滑的曲线顺次连接各点；
2．根据图像分析函数具有的一些特征，感受数形结合的思想方法．
【教学过程】
思考、探究：
我们已经知道一次函数（k、b为常数，k≠0）的图像是一条直线．让我们一起研究反比例函数（k、b为常数，k≠0）的图像是怎样的图形．
问题1：已知反比例函数，请你描述一下这个函数图像具有哪些特征？
思考下列问题：
（1）x、y所取值的符号有什么关系？这个函数的图像会在哪几个象限？

（2）x、y的值可以为0吗？这个函数的图像与x轴、y轴有交点吗？

（3）当＞0时，随着x的增大，y怎样变化？
当＜0时，随着x的增大，y怎样变化？
这个函数的图像与x轴、y轴的位置关系有什么特征？

实践探索一：
画反比例函数的图像．
1．列表，恰当的选取几个自变量x的值，并计算相应的y的值．
x
…
－6
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
6
…

…

…
2．在平面直角坐标系中描出相应的点．
3．用平滑的曲线分别顺次连接第一和第三象限内的点，
得到的两个分支合在一起就是反比例函数的图像．
4．根据所画的图像在解决问题1中的问题。
实践探索二：
说一说反比例函数的图像具有哪些特征，
并请在刚才坐标系中画它的图像．

达标检测
1、反比例函数的图像大致是 （ ）

A B C D
2、反比例函数的图像是 ，该函数图像在第 象限。
3、反比例函数的图像经过点，则的值为 （ ）
A 6 B -6 C D
4、在同一直角坐标系下，直线与双曲线的交点的个数为 （ ）
A 0个 B 1个 C 2个 D 不能确定
5、在同一坐标系中画出下列函数的图像：
（1） （2）

6、反比例函数的图像经过点，求它的解析式，并画出函数图像，图像分布在哪几个象限？

拓展延伸
7、已知点P为函数图像上一点，且P到原点的距离为2，则符合条件的点P有 个。

四明初级中学八年级数学（下）教学案
课题
11.2　反比例函数的图像与性质（2）
3课时
课型
新授
主备
顾慧玲
校对
周光清
审核

班级： 姓名： 学号：
【教学目标】
1．会用待定系数法确定反比例函数解析式；
2．能根据图像分析并掌握反比例函数的性质，进一步感受形数结合的思想方法．
【教学重点】
分析并掌握反比例函数的性质．
【教学难点】
理解反比例函数的性质．
【教学过程】
在上节课我们画出了反比例函数、、、的图像，请观察这些函数的图像，思考反比例函数（k为常数，k≠0）的图像有什么特征？
（1）每个函数的图像分别在哪几个象限？

（2）在每一个象限内，随着x的增大，y是怎样变化的？

（3）反比例函数的图像与x轴有交点吗？与y有交点吗？为什么？

总结：
反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图像是
当k＞0时，双曲线的两支分别在 象限，在每一个象限内，y随x的增大而 ；
当k＜0时，双曲线的两支分别在 象限，在每一个象限内，y随x的增大而 ．
例1　已知反比例函数y＝的图像经过点A（2，－4）．
（1）求k的值； （2）这个函数的图像在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？
（3）画出函数的图像； （4）点B（，－16）、C（－3，5）在这个函数的图像上吗？

探索反比例函数图像的中心对称性：
（1）点A （4 ，－2 ）在函数的图像上吗？写出点A关于原点O对称的点A′的坐标，点A′在函数的图像上吗？

（2）在函数的图像上任取一点B，点B关于原点O的对称点B′在这个函数的图像上吗？
函数的图像上画出相应的点，并判断这些点是否在函数图像上．

达标检测
1．如果点P（a，b）在y=的图象上，那么在此图象上的点还有（　　）
A.（－a，b）　B.（a，－b）　C.（－a，－b） D.（0,0）
2．已知函数y=(m－1) 是反比例函数，则m的值等于（　　）。
A.±1　　　B.1　　　C.　　 D.－1
3．若点（m，-2m）在反比例函数的图像上，那么这个反比例函数的图像在（ ）
A 第一、二象限 B 第三、四象限 C 第一、三象限 D 第二、四象限
4．已知直线如图所示，则函数的图像应在（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
5．设函数y=（m－2）．
（1）当m取何值时，它是反比例函数？
（2）画出它的图象；
（3）利用图象，求当≤x≤2时，函数y的取值范围．

6．若函数与函数的图像交于A,C两点，AB⊥x轴于B，求的面积。

四明初级中学八年级数学（下）教学案
课题
11.2　反比例函数的图像与性质（3）
4课时
课型
新授
主备
顾慧玲
校对
周光清
审核

班级： 姓名： 学号：
【教学目标】
1．能根据实际问题中的条件确定函数的类型，明确函数图像所在象限及有关性质；
2．能根据已知点的横坐标，确定点所在的象限，从而比较纵坐标的大小．
【教学重点】
利用反比例函数某些特征，分析反比例函数的图像和性质．
【教学难点】
根据实际问题的条件确定反比例函数自变量的取值范围并画出正确的图像；根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围．
【教学过程】
课前导学：
x
y
O
1．如图，是反比例函数y ＝的图像的一支．
（1） 函数图像的另一支在第几象限？
（2）求常数m的取值范围．

2．若点A(7，y1)、B(5，y2)在反比例函数图像上，则y1和y2的大小关系为_________；
例题教学：
例2　设菱形的面积是5cm2，两条对角线的长分别是xcm、ycm．
（1）确定y与x的函数表达式；
（2）画出这个函数的图像．

例3　已知反比例函数的图像与一次函数y＝x＋1的图像的一个交点的横坐标是－3．
（1）求k的值，并画出这个反比例函数的图像；
（2）根据反比例函数图像，指出当x＜－1时，的取值范围．

达标检测：
O
B

C
A
图1
1、已知反比例函数的图象在第二、四象限内，函数图象上有两点，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
2、（2009年河池）如图1，A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，
BC∥轴，AC∥轴，△ABC的面积记为，则 （ ）
A． B． C． D．
3、已知一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，则反比例函数 的图象在（　 ）
A.第一、二象限; B．第三、四象限; C．第一、三象限; D．第二、四象限.
4、若反比例函数y=的图象经过第二、四象限，则函数的解析式为 。
5、已知反比例函数的图像与一次函数y=kx+m的图像相交于点A（2，1）.
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）当x取什么范围时，反比例函数值大于0；
（3）若一次函数与反比例函数另一交点为B，且纵坐标为-4，当x取什么范围时，
反比例函数值大于一次函数的值；
（4）试判断点P（—1，5）关于x轴的对称点P‘是否在一次函数y=kx+m的图像上.

6、已知反比例函数y =与一次函数y = mx + b的图象交于P(−2，1)和Q(1，n)两点．
(1)求反比例函数的解析式；(2)求n的值；(3)求一次函数y = mx + b的解析式．

四明初级中学八年级数学（下）教学案
课题
11.3　用反比例函数解决问题（1）
5课时
课型
新授
主备
顾慧玲
校对
周光清
审核

班级： 姓名： 学号：
【教学目标】
1．能灵活运用反比例函数的知识解决实际问题；
2．经历“实际问题——建立模型——拓展应用”的过程，培养分析和解决问题的能力；
【教学重点、难点】
把实际问题转化为反比例函数这一数学模型，渗透转化的数学思想．
【教学过程】
你使劲踩过气球吗？为什么使劲踩气球，气球会发生爆炸？你能解释这个现象吗？
引入：
反比例函数是刻画现实问题中数量关系的一种数学模型，它与一次函数、正比例函数一样，在生活、生产实际中也有着广泛的应用．
在一个实际问题中，两个变量x、y满足关系式（k为常数，k≠0），则y就是x的反比例函数．这时，若给出x的某一数值，则可求出对应的y值，反之亦然．
实践探索一：
小明要把一篇24000字的社会调查报告录入电脑．
（1）如果小明以每分钟 120 字的速度录入，他需要多长时间才能完成录入任务？
（2）完成录入的时间t（分）与录入文字的速度v（字/分）有怎样的函数关系？
（3）在直角坐标系中，作出相应函数的图像；
（4）要在3h内完成录入任务，小明每分钟至少应录入多少个字？
（分析：条件“3h内”即t的范围是0＜t≤3，而要求“每分钟至少应录入多少个字”是求v的取值范围，这是个不等式的问题．由于反比例函数t，当v＞0时，t随v的增大而减小，所以，当t取得最大值时，v有最小值；因此我们可以通过等式去解决这个问题） ．
（5）你能利用图像对（4）作出直观解释吗？

实践探索二： 某厂计划建造一个容积为4×104m3的长方形蓄水池．
（1）蓄水池的底面积S(m2）与其深度h(m）有怎样的函数关系？
（2）如果蓄水池的深度设计为5m，那么它的底面积应为多少？
（3）如果考虑绿化以及辅助用地的需要，蓄水池的长和宽最多只能分别设计为100m和60m，那么它的深度至少应为多少米（精确到0.01）？

实践探索三：
某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kpa）是气体体积V(m3）的反比例函数，其图像如图所示．
（1）你能写出这个函数表达式吗？
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kpa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？

达标检测：
1、京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t（h）与
行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为
2、完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）
之间的函数关系式
3、一定质量的氧气，它的密度（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝10时，＝1.43，
（1）求与V的函数关系式；（2）求当V＝2时氧气的密度

4、小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米/分），所需时间为t（分）
（1）则速度v与时间t之间有怎样的函数关系？
（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
（2）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？

四明初级中学八年级数学（下）教学案
课题
11.3　用反比例函数解决问题（2）
6课时
课型
新授
主备
顾慧玲
校对
周光清
审核

班级： 姓名： 学号：
【教学目标】
1．能灵活运用反比例函数的知识解决实际问题；
2．经历“实际问题——建立模型——拓展应用”的过程，培养分析和解决问题的能力；
【教学重点、难点】
把实际问题转化为反比例函数这一数学模型，渗透转化的数学思想．
【教学过程】
公元前3世纪，古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”，有哪位同学知道？
参考答案：杠杆平衡时，阻力×阻力臂＝动力×动力臂．
引入：
阿基米德曾豪言：给我一个支点，我能撬动地球．
你能解释其中的道理吗？
“给我一个支点，我就能撬起整个地球”的豪言，他的设想有道理，只是不能实现，因为没有这么长的杠杆，也没有合适的支点，即便都能找到，当地球翘起1cm，需要很长的一段时间，这段时间用他的一生都无法完成．
实践探索一：
问题3　某报报道：一村民在清理鱼塘时被困淤泥中，消防队员以门板作船，泥沼中救人．
如果人和门板对淤泥地面的压力合计900N，而淤泥承受的压强不能超过600Pa，那么门板面积至少要多大？
（分析：根据物理学知识，人和门板对淤泥的压力F（N）确定时，人和门板对淤泥的压强p（Pa）与门板面积S（m2）成反比例函数关系：．）

实践探索二：
某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V ＝1.5m3时，p＝16000Pa．
（1）当V ＝1.2m3时，求p的值；
（2）当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于多少？

实践探索三：
如图，阻力为1000N，阻力臂长为5cm．设动力y（N），动力臂为x（cm）（图中杠杆本身所受重力略去不计．杠杆平衡时：动力×动力臂＝阻力×阻力臂）
（1）当x＝50时，求y的值，并说明这个值的实际意义；
当x＝100时，求y的值， 并说明这个值的实际意义；
当x＝250呢？x＝500呢？
x
…
50
100
250
500
…
y
…

…
（2）当动力臂长扩大到原来的n倍时，所需动力将怎样变化？请大家猜想一下．

（3）想一想：如果动力臂缩小到原来的时，动力将怎样变化？为什么呢？

达标检测：
1、已知甲、乙两地相s（千米），汽车从甲地匀速行驶到达乙地，如果汽车每小时耗油量为a（升），那么从甲地到乙地汽车的总耗油量y（升）与汽车的行驶速度v（千米/时）的函数图象大致是（ ）

2、在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：kg/m3）是体积（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图3所示，当时，气体的密度是（ ）
A 5kg/m3 B 2kg/m3 C 100kg/m3 D 1kg/m3
3、为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例,药物燃烧后，y与x成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ,自变量x的取值范为 ；
药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 .
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，员工才能回到办公室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么?

四明初级中学八年级数学（下）教学案
课题
11.4 小结与思考
7课时
课型
新授
主备
顾慧玲
校对
周光清
审核

班级： 姓名： 学号：
学习目标：
一、预习内容：
1.如图，已知，是一次函数的图象和
反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线与轴的交点的坐标及△的面积；
(3)求方程的解（请直接写出答案）；
(4)求不等式的解集（请直接写出答案）.

二、合作学习，共同探索
例：已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？[来源:学.科.网]

y
x
Oo
A
D
M
C
B
（3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．

三、达标检测：
y
x
B

1
2
3
3
1
2
A（1，3）

1．如图，已知一次函数（m为常数）的图象与反比例函数 （k为常数， ）的图象相交于点 A（1，3）．
（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点的坐标；
（2）观察图象，写出使函数值的自变量的取值范围．

2.如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点A(ｍ，2)，点B(－2, n )，一次函数图像与y轴的交点为C。

（1）求一次函数解析式；
（2）求C点的坐标；
（3）求△AOC的面积。

3.如图，反比例函数的图象与直线在第一象限交于点，为直线上的两点，点的横坐标为2，点的横坐标为3．为反比例函数图象上的两点，且平行于轴．
（1）直接写出的值；
（2）求梯形的面积．
y
OB
A
B
C
D
P
xB