2023届江苏省清宵一数高三年级上册学期11月第二次学情调研数学试题【含答案】.pdf

2023届江苏省清宵一数高三上学期11月第二次学情调研数学试题一、单选题1.已知集合=4,8=（xj）|xjgZ,则ZcB的子集个数为（）A.7 B.8 C.15 D.16【答案】D【分析】根据给定条件，利用列举法求出/C，即可求解作答.【详解】因集合=j）,+V=4,3=（“）|x”Z,则有/口3=（0,2）,（0,2）,（2,0）,（2,0）,所以的子集个数为24=16.故选：D2.已知复数z,满足z+=2,z2+W2+6=0,则|zf|二（）A.6 B.而 C.5 D.1。【答案】C【分析】根据复数乘法以及完全平方公式，可得答案.【详解】由z+=2,两边分别平方可得G+）=4,则z2+2z-+2=4,由 z2+2+6=0,gp z2+w2=-6,则 2z.“一6=4,解得z.“=5,故选：C.3,已知事件A,B,相互独立,且尸+尸（A H尸=1,尸（3。）一药,则尸（43）+尸（N C）+尸（3。）=（）1112A.6 B.3 C.2 D.3【答案】B【分析】根据给定条件，利用均值不等式取等号的条件求出再利用相互独立事 件的概率公式计算作答.【详解】依题意，0（/），尸0,尸（。）0,又事件A,8,。相互独立，尸（3）-万，P+P（B）+P（C）N3皿）,P）=3新回）=、当且仅当尸=尸修）=尸（。）时取等号,而尸+尸+P(C)=1,因此4/)=尸伍)=尸(。)=；P(AB)+P(AQ+P(BC)=P(A)-P+P(A)-尸(C)+P(B)-P(C)=3x-x-=-所以 3 3 3.故选：B,1,1 a=log,b=log,-r-4.设 32,&2 3,c=-42,则()A.b c a b.c b a q a b c d.b a-l Z?=log2-=-log23-log2 V8=-V2【详解】2,3 2则 b c0）的直线/与0交于A,3两点，且兀AAOB-2,则/的取值范围为（）A（0,1 B,（a c.L+8）D.2+00）【答案】A【分析】根据题意，分直线的斜率不存在和存在两种情况，当斜率存在时，直线方程歹=一，）与 抛物线联立，再用韦达定理，利用砺况 即可求解.【详解】当直线/的斜率不存在时一，直线/的方程为=乙则/。，）1亿一），兀ZAOB-,因为 2所以即3CU=一0,解得：1,因为0,所以。=仪l）,/（小弘）*（9/2）,由消去X,得如2一F一股=,1巧+%=工v v AAOB-一 一所以52=7,因为 2,所以03QWO,gp OBOA=%尤2+=y2+必歹2=/一，0,解得：31,又因为0,所以0 cos 26,则怡“2（）A.-1 B.2 C.2 D.1【答案】A【分析】由二倍角公式化简求解，详解由 1 一s in29=s in2 +cos2-2s in cos =（s in cos）2 cos20=cos2-s in2 3-（cos0+s in（9）（cos0-s in0），0=-化简得（s in 9+cos e）2=（s in,由/（x）=0 得，炉=ax,则 xlna=lnx+Ina,令 g（x）uxlna lnx lna,依题意,函数g（）在团有两个零点,显然以1）=0,而且。）11“一嚏在口，2上单调递增，则有 2,当In a-120或 2,即a 2e或1 a Je时，g（x）在1,2上单调递增或单调递减，x J_即有函数g（x）在L2只有一个零点1,因此正 a e,此时当一“商时，g（x）o,当1h。，函数g（x）在%na）上单调递减，在（lna2单调递增，则8（*焉-g 4/g-,(2要函数g(x)在1，2有两个零点，当且仅当g(x)在In a上有一个零点，即有g(2)=lna-ln2 2 0,解得心2,所以。的取值范围2 a),则平面过球。的球心。，又43的中点为,则点石是以43 为直径的球的截面小圆圆心，连接石，如图，则四边形为梯形，令球。的半径为火，设&=厂，贝I四棱锥Q-体积最大，当且仅当梯形面积最大，并且点。到平面N EC。的距离最大,S=L(R+r)dR?一户显然球面上的点。到平面4C的最大距离为火，梯形/C面积 2,令/(r)=(氏+厂)2(&2_/)=(&+1)3(&_)，U”R,求导得：f(r)=3(/?+r)2(/?-r)-(/?+r)3=2(/?+r)2(/?-2r),0 r R r/n R r R/、八(,A)当 2时-，/(尸)0,当2 时-，/(r)0,即函数/在 2 上递增，在(Lr,r)2 是递减，_ 1 z?r(r “1 q 27 q4 v _ 33 2.rR./(r)max=.f(-R)=T7R Smax=A因此当 2时，2 16,81 O 3V3 2 _ix.K 73于是得四棱锥Q-N EC体积的最大值为3 8,解得R=2,所以球。的表面积为4斤=161.故选：C【点睛】思路点睛：涉及某些几何体面积、体积问题最值，可以引入变量建立函数关系，再求解函 数最值作答.二、多选题9.已知随机变量N G）且P（l X 2）=0.26,则（）P（2 X 3）=026 P（1 X 3）=026C 尸（0 X l）（尸（2 X 3）D 尸（X 1）尸（2 X 3）【答案】A C【分析】根据正态分布曲线的对称性以及互斥事件的概率加法公式，可得答案.【详解】由XN（2）,则=2,对于A,由L,则尸（2 X 3）=P（l X 2）=0.26,故人正确;对于 B,尸（1、3）=尸（l X 2）+P（2 X 3）=0.52,故 r 错误;对于 C,由=2,贝/（X 2）=0.5,尸（X 1）=尸（X 2）-尸（l X 2）=0.24P（2 X0.24=P（X l）P（0 X l）,故 正确；对于 D,由 C 可知，尸（X l）=0.24 0.26=P（2 X端+1（4）2=4：,这样对进行归纳得出“2”（。2”-2）4（21）（?）4=2“，此 不等式两边取以2为底的对数可证明选项D,对2叱由指数基运算法则变形为=161,然后证 明4-2-1,再结合4是正整数可得证C.,1,3【详解】,%,也是递增数列，又。1=1,所以%=2,%=5,%=26，a3%+1=。：,.a2n a2n-2 （W/=（-J,依此类推：%（A （2,.-4）42 （%）=24，=16、下证=1 时，4T 20,=2时,4=1 1,=3时，42 2,假设=%时，4之左一1成立,k2,则=后+1 时，=4.4y/一 1）（左+1）1,所以对任意不小于3的正整数，4“2 1,所以=164167又为是正整数，所以%与6一+1,正确；对选项D,由选项C得出”“4 所以唾2%21鸣2=4,正确.故选：BCD.f（x）11.已知函数ax+b-xax-b-x（Qbl）,且仍=2,则（）A.）+。b.（明C.W+f。）22f口.”1）+/（2）【答案】BD【分析】首先对函数化简，不难分析出函数的奇偶性、单调性、凹凸性.对于A,借助奇偶性和单 调性判断即可；对于B、D,可借助减函数、凹函数可得出结论；对于C,可将化为关 于。的函数，利用导数分析，即可判断.，/、ax+b-x axbx+l 2+1,2，/、2.+1 2X+1、f（X）=-=-=-=1 H-f（X）=-=-二f（X）【详解】解：a Jf axbx-2-1 2、一1,贝）2-1 1-2V V.函数/（x）是定义在（-8，）U（0，+8）上的奇函数，在（，+8）上单调递减且下凸（类似于反比例函数），由题意l 6 a,ab=2,可得1方后 a 2.对于 A,.T 6 0 a 2,:/（a”/（，）=一/（一，），即/+/（-“）,故A不正确；对于B、D,.函数/（）在（&+）上单调递减且下凸，.里邈/）/+/0）2.廿2 I 2九即 1 2人故b正确，/+/9）/（1）+/（2）22,即/（少/。）行时 g（a）。，g（a）g（行）=2/（行）故 c 错误.故选：BD.12.在矩形N BC。中，AB=26，BC=2,为平面48。外一点，则（）A.当E/+EC=8时-，四棱锥七-48。0体积的最大值为88月B.当ET+EC2=i6时，四棱锥E-/BCQ体积的最大值为力一C.当平面Z8J_平面EC。时，四棱锥-438体积的最大值为3D.当平面及4。，平面E8C时，四棱锥七-A BC。体积的最大值为4【答案】A BD【分析】利用椭圆的定义以及勾股定理，明确动点轨迹，根据几何性质，求得四棱锥高的最大值，可得A、B的正误；根据四棱锥的侧视图以及主视图，求得四棱锥高的最大值，可得C、D的正误.【详解】对于A,由胡+EC=8ZC=JZ8C2=4,则在平面4CE内，点E的轨迹为以4C为焦点的椭圆上，易知该椭圆的焦距4C=4=2c,EA+EC=2a=8,则b=a?工=26,由椭圆的性质，可知点后到/C的距离最大值为跖=26,此时石尸，且“厂=班如下图：当叱 为四棱锥-Z8CQ的高时，四棱锥七-Z8C。的体积可取得最大值，如下图:此时平面ABE 1平面ABCD,则四棱锥石-ABCD的体积可取得最大值LeFAB,BC=-x2x26x2=83 3,故A正确；对于B,在矩形ZBCO中，对角线-C=JnB+BC=4,由2+石。2=6=4。2,可得则此时在平面及IC内，点E的轨迹为以N C为直径的圆,根据圆的性质，易知点E到/C距离的最大值为=2,此时尸工4C,AFFC,如下图:此时平面ACE _ L平面ABCD,则四棱锥石-8的体积可取得最大值-EF-5C=-x2x2/3x2=3 3 3,故b正确；对于C,由题意可知四棱锥石一/5s的侧视图为直角三角形，则易知点到底面”8距离的最大值4=1,此时侧视图如下图：二4.43uL 1x26x2=拽则四棱锥上一N BCZ）的体积可取的最大值3 3 3,故C错误；对丁 D,由题意可知四棱锥-/夕8的主视图为直角三角形，则易知点到底面48CZ）距离的最大值2二百，此时主视图如下图：E二八.48。=二百x26x2=4则四棱锥-/BCQ的体积可取的最大值3-3,故D正确.故选：A BD.三、填空题13.已知椭圆十会句（4）的准线方程为=则匹【答案】2【分析】根据给定的椭圆方程，求出椭圆准线方程即可列式计算作答.2 2二+二=1（06 0,0 69 )14.记函数 2的最小正周期为T.若T_20,-，且/在2有极小值点，则外的最小整数值为.【答案】3【分析】利用正弦函数的性质结合已知求出。，再利用给定区间列出不等式，求解作答.【详解】依题意,71（P=得 6,T 71 1 1 JT()=/(一)=s in(4+(p)=-sin(p=s in?=-0 2.口 2,有 2,而 2,jrf(x)=s in(69X H)6,0 x0,当 2时,7171,71 71(COX H-CD 一则有2 6 2,解得 3,所以外的最小整数值为3.故答案为：315.已知一系列圆G,。2,G依次外切，且均与过原点的两条直线相切，记圆G,的半径为且*.若圆 J。一2）2+。一21,贝*产.9+472【答案】7【分析】先求出过原点的圆G的两条切线的方程，然后由圆与圆相切、圆与直线相切得出乙+i与乙的关系,求得妙【详解】设原点的直线夕=区与圆g相切，a（2,2）,42|j-|,1 4V7 4V7，-+1 2,解得 3,即切线方程为 3,4V7 a y-x 圆6与直线 3 相切，圆心在直线=%上，设圆心为G&9）,半径为由题意J1+4”,所以%=2乙，又（贝（_-_ _=26+1 丁 _ 9+472乂 一=*+，2 后匕*）=+*,-2血一1 T=7*,_ 9+472所以匕是等比数列，公比为”7,首项为八二L_ 9+4V2.所以一（）.9+4一故答案为：7四、双空题16.已知函数/（”,3厂+-+2|有三个零点，且=/（%）的图像关于直线x=b对称，则 b=;a的最大值为.【答案】1 3【分析】Ki)+S)(x 从而得到-+1)=/(*+1)，故k/(X)的图像关于直 线=1对称，求出6=1,A 。？+。)，显然=1为函数的零点，故一一2%2+。=0有两个根，由A N 0求出。3,得到。的最大值.【详解】)=，+-。+2卜|(1)3+(。-3)(x-”财“x+l)=,+g _ 3)x|,定义域为 R,且“r+1)=卜)3+(一3)户产+(a-3)x|=/(x+1),故=/()的图像关于直线x=l对称，故6=1,/(x)=|(-l)3+(a-3)(-l)|=|(x-l)(x2-2x-2+a显然=1为函数的零点，故/-21-2+。二 有两个根，所以=4一4(20,解得:q3,当a=3时，x)T(l)|,有三个相等的零点，故答案为：1,3.【点睛】思路点睛：函数的对称性，(a+h c)右.f()/()则函数无)关于I 2 引中心对称，_ a+b右，()/(),则函数/(X)关于“一亍 对称.五、解答题17.记数列%的前项和为S已知。1=-2,S+2S.=(W,求J的通项公式；(2)记数列M的前项和为北，证明：叫，3“【答案】(2)见解析=（一2户（一3+1）【分析】(1)根据辅助数法，整理等式，可得数列(一2)1的通项，在根据与邑的关系，可得答 案；(2)整理数列的通项公式，利用错位相减法，求得北，根据作差法以及数列的单调性，可得 答案.S+i=S”【详解】由S+i=-2S.+(-2)向，两边同时除以(-2)加可得：(-2)向(-2),S“=51+(一)x 1=+n-n故数列隈一2)1为以1为公差的等差数列，贝(-2)”(-2)-2,即S”=，(-2)9当篦N2时,an=snS-1=n-(-2)-(/7-1)(-2)1=(-2)n (-3n+1),将=1代入上式，可得=(一2)”(-3+1)=-2,则4满足上式，故数列%的通项公式4=(-2),(-3+1)z*2 1c an I=l(-2)/，-1(-3n+d=2，-，(3-0(2)由 gN,则一 3+l4+2(3”4),S=n-(-2y=n-T由可得 I l”，Tn-Sn=4+2(3-4)-“.2=4+2(2“-4)令=4+2（2-4）,%-=4+2用（2+2-4）-4-2（2-4）=2,山0,则数列也为递增 数列，4=4+23（2 4）=0,贝也之0,即陪叫;7；-3闻=4+2（3-4）-3-2,（=4-2n+2令=4-27易知数列匕为递减数列，G=4-2=_40,则g 北 综上，不等式同区.2.05时，可认为两组成绩有显著差异）；无一歹之2、区运若满足 r 10,则可说明成绩有显著提高.（1）判断该同学的两组成绩是否有显著差异，并说明理由；（2）判断该同学的成绩是否有显著提高，并说明理由.【答案】（1）没有显著差异，理由见解析；（2）有显著提高，理由见解析.【分析】（1）由已知，根据题意给出的数据，分别计算出样本平均数无，歹，样本方差然后代入$2计算，将计算结果与2.05比较即可判断；j 7；2 忖_ 2 2 x y -（2）根据第（1）问计算出的无，可，S2,代入 V 10验证是否满足，即可作出判断.【详解】（1）由已知，根据图表可知,-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7x-二 1010,-10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5 y=-=10.310,2 0.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32 八，=-=0.03610,2 0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22 八st=-=0.04-10所/亳“a。所以，该同学的两组成绩没有显著差异.(2)依题章，=0.3=2x0.15=2j 0.152=250.0225,v io,.V 10,所以该同学的成绩是有显著提高.14/ADC-119.已知三棱台44G的体积为了，且 平面3与GC(1)证明：平面44c _ L平面44G；(2)若4c=4,44=8=2,求二面角C的正弦值.【答案】(1)证明见解析15【分析】(1)由已知，由-5可得4与由4c,平面夕与G。，可利用线面垂直的性 质定理推出40,与1,然后利用线面垂直的判定定理推出qG，平面44。，然后再利用面面垂直的判定定理推出平面ABC 1平面4片G；(2)取,4G的中点瓦厂，以为坐标原点，建立空间直角坐标系,而，可反分别为14轴的正方向，设43=BC=几/e=AB=24,根据三棱台/BO-44G的体积为3,计算出=从而表示出各点坐标，设出平面844#和平面CZ4G的法向量见，先求解然后再利用同角三角函数关系求解正弦值.小 G【详解】B由已知，4，平面四4Gu平面叫G。，所以4cG,71 71在三棱台“80-444中，一5,所以4内一5,所以4与_1,3,又因为44,4Cu平面，且44 040=4,所以4G，平面4A c,又因为qGu平面44G,所以平面440，平面45c,得证.取4耳，4G的中点瓦尸,连接所,所以efB,又因为44,4cL所以因为4C_ L平面Bq GC,4CU平面BBCC,所以4C,8C,又因为4c=q c,e为4月的中点，所以4M LeE,由(1)问可知，平面44，平面4月0,且平面44CA平面所以CE_ LCE平面44。1,以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别为J，z轴的正方向,因为4|=C=2,4c=4。，且4clJ 所以4c=|C=e所以E(0,0,0),4(0,1,0),4(0,TO),b(l,O,O),G(2,1,0),c，o,8).在三棱台 ABC-4A G 中,设 4B=BC=4B=24ABC-AB 一 八,SC+S“IBC）二H1?1S ARr=2X*S2r=x2x2=2ABC 2,2,h=EC=1,所以a=-3或4=2,所以 N 3=3C=24片=23C=4,所以“（4Ta）,设平面BA A的法向量为加=（/乂 z）,麴=什,5,一 4=（0,2,0）BA-m=0由i 应=0可知，平面844百的一条法向量为=（L/）,设平面。4 a的法向量为=（%如z J,不但,-夜）C；=（-2,2,0）用不万=0由解方=0可知，平面CA 4.C,的一条法向量为=3 1）,所以二面角3一/4一0的正弦值为a-cos B _ s in 520.记BC的内角A,B,0的对边分别为a,b,c,已知a.cos C s inC.若证明：a2=b+c.2oh（2）若8=2C,证明：3.【答案】（1）见详解；（2）见详解.【分析】（1）根据正余弦定理角化边，整理即可；1 ha-c-（2）根据正弦定理推得6=2ccos C,即可得到6+c)(Z?-c)0-cos2 C-ls inC 2cosC-1b c=-又 b=2c cos。，则 2 cos C,1 ha-q-将 2cos c-1以及 2cos c代入/=b+c可得,因为b o%所以/=b+c.(2)证明：由已知得，s in8=s in2c=2s inCcos C,b _ c又由正弦定理s in-s in C可得，b=2ccosC,因为cos C l,所以6 2c.b+c2 Cl-由(1)知，a=b+c,贝|J a,a _ b _ c又由正弦定理s in/s inB-s inC可得,s in 5+s in C s in 5+s in C s in 5+s in C 2s inCcos C+s inCs in A s in(B+C)s in Bcos C+cos Bs in C 2s in Ccos Ccos C+(2cos2 C-ls inCs inC(2cos C+l)12cos C-l2I=b+=b 2cos C1+2cos C2cos C整理可得,2cos c Y 1 Y _(2cos c 1l+2cos C J2cos C-l J 1+2 cos C J2cos C-l0 C-因为，B=2C,A+B+C=nf 所以 3,cos C 1则2则令，=2 cos C,则 1 f b 综上所述，3.f（x=xa-Inx21.已知函数,a,其中。,b0.若求b-a的最小值；（2）若/*）2 3%-2,且6+而有最小值，求左的取值范围.【答案】?（2）（f 3）【分析】（1）由题意/G）min21,利用导数求解单调区间，求函数最小值寻找4与6的关系.（2）令（x）=/（x）-（3%-2）,则有（X）minN O,利用导数求解最小值，寻找。与力的关系.f（x=xa In x z、【详解】（1）函数,a，其中。,b0,函数定义域为+）,I/,(x)=aZ-1-ax/（X）在0,i A b y/J7什%)ax，/蹩),解得(1 上单调递减，在,+；解得上单调递增,7b bJr fA V-In 1设g(x)=%Tln x,函数定义域为(，+8),有/J a a2 a2 g(x)=l-(lnx+l)=Tn x,g(x)O,解得。x l；g(x)l,g(%)在(/)上单调递增，在(L+00)上单调递减速，.心3弧=8=1,g 有b b b-1 g a a a.，,叱:即(2)若/(力3%-21 a_ _4,当时b-q的最小值为4.-In x-3a-+2 0 hx-x即。，设=0,.心）2人，咐）是心）的最小值也是极小值,h(x)axa-3/=a2_3=0,ax,a,b=a-3ak-所以6+而=/+(左3)气R妨有最小值，则有 Tb.In x-3x+2 a即左）.C上一点。处的切线与C的渐近线交于点a,B,且048的面积为G.求见；（2）若过点P的另一条直线与。的渐近线交于点河，N,且以阀=|也.|叩，直线与圆2 2 16X+V=3相切，求直线的方程.【答案】几=3（2）=0 s/5x+j v V2 0 sfSx j v+V2=0 ySx+y+V2 0【分析】（1）由导数的几何意义可求得双曲线上一点的切线方程，由三角形面积公式可得S4AB=ab,从而可求得，（2）由（1）可证得尸是”中点，并可求得归小归4二例/-1,结合直线参数方程的几何意义,3%.即=而言可得 I I,综合计算可得结果._/=1【详解】（1）先求双曲线/b 上一点尸（/，%）的切线方程：不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）.广-目=1 由1h2A/b2x,/_ a_ _ 口”o则在尸(%0，%)的切线斜率p(、y-y0=-t(x-xo)所以在点口X。/。)处的切线方程为：a歹。2 2X()_%_ 工0%_%_ 又有/b2 ,化简即可得切线方程为：1 方2-不失一般性，设尸(%。，%)是双曲线在第一象限的一点,/区，必)是切线与渐近线在第一象限的交点，项,左)是切线与渐近线在第四象限的交点,%=双曲线在P点处的切线方程为：/一双曲线的渐近线方程是2 a=1a联立:a2联立:b2 b-X ab2 b-X aab2，解得:8(,解得-ab01b“bx0+ay0 bx0+ay0=ab“-ay bx0-ay n,=1(,0)假设切线与X轴的交点为0,则点。的坐标为迎,勿8=S.AQ。+2即。=g x|OQ|X|必 一%卜 g X X（ab+6：）=ab贝 ij 2 z/bxo ay（）bxo+ayo当点尸(%,%)在顶点(d0)时，仍然满足=/所以 Soab=ab*双曲线3./=2可化为34 _ r，而由题可知Sb=3所以有3,解得:2=3故双曲线方程为:一人1 32/2_”=1(2)由(1)可知：3W_X)2+(怎0-0 瓜o+%怎0，+3)2-%鬲+%32也40-13瓜Qf 怎o+%氐。一且有 2=。-3%底o+%_故点P为“I的中点，所以照|=阀=也一一1,即附.网=4/21设直线MN的参数方程为x=%+，cos a”比+反血。为参数）,M，N两点对应的参数为。目，将x=x0+Z cos a 2 Y2 =0y=y+/s】n a代入 3 得:(4cos2 a-l)Z2+(6/cos a-2y0 sina)t+3-0PM-PN=ti-t2=所以34 cos2-1|由丹阀=|尸孙闻|可得34cos2-1|=4/2-1，2 2 16x+y=因为直线N与圆 3相切,所以圆心（，）到直线.!1。7+%一工（110=0的距离为：d 二1%tan|_ 4GVtan2 a+13,%2-1而 3,s in2 a 2-=tan a且cos a,结合，可得：2,所以 2故直线43的方程为：dx-y-6=0,或底c+y-6=0或-J5x-+a=0,#)x+行=0|pm|.|pn|=【点睛】关键点点睛：利用直线参数方程求得 314 cos2-1|，减少了对直线N的斜率是否存在的讨论，达到化繁为简的目的.