高中物理第6章磁场对电流和运动电荷的作用第3节洛伦兹力的应用课堂互动鲁科版3-1..doc

第3节 洛伦兹力的应用
课堂互动
三点剖析
一、带电粒子做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定
1.圆心的确定
带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，如何确定圆心是解决问题的前提，也是解题的关键.圆心一定在与速度方向垂直的直线上.
在实际问题中，圆心位置的确定极为重要，通常有两个方法：

图6-3-3
①如图6-3-3（a）所示，图中P为入射点，M为出射点，已知入射方向和出射方向时，可以通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心O.
②如图6-3-3（b）所示，图中P为入射点，M为出射点，已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心O.
2.半径的计算
一般利用几何知识解直角三角形.
3.运动时间的确定
如图6-3-4所示，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，不论沿顺时针方向还是逆时针方向，从A点运动到B点，粒子速度偏向角(φ)等于圆心角(回旋角α)并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍.即φ＝α＝2θ＝Ωt.

图6-3-4
利用圆心角(回旋角α)与弦切角θ的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，由公式t=T可求出粒子在磁场中的运动时间.
4.圆周运动中有关对称规律：如从同一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出，如图6-3-5所示.

图6-3-5

图6-3-6
【例1】 如图6-3-6所示，一电子以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场中，穿越磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角为30°，则电子的质量是_______.
解析：首先判断电子受洛伦兹力方向是垂直于初速度方向竖直向下，故圆心应在边界上，设圆心在O点，AO应等于OC，OA与CO夹角也应为30°，
sin30°＝，R=
所以m=
答案：
温馨提示
解这类题目，首先要确定带电粒子运动的轨迹，找出圆心的位置，再由几何知识确定半径；然后由圆心角来确定运动时间.
二、带电粒子在匀强电场和匀强磁场中偏转的区别

垂直电场线进入匀强电场(不计重力)
垂直磁感线进入匀强磁场(不计重力)
受力情况
电场力FE＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力
洛伦兹力Fb＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，Fb是变力
轨迹
抛物线
圆或圆的一部分
运动轨迹

求解方法处理
类似平抛运动：
vx＝v0　x＝v0t
vy＝·t　y＝
tanφ=
半径：r＝
周期：T＝
横向偏移y和偏转角φ要结合圆的几何关系通过圆周运动的讨论求解.

【例2】 如图6-3-7所示，在直角坐标系的第Ⅰ、Ⅱ象限内有垂直于纸面的匀强磁场，第Ⅲ象限有沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限内无电场和磁场.质量为m、带电荷量为q的粒子从M点以速度v0沿x轴负方向进入电场，不计粒子的重力，粒子经N、P最后又回到M点.设OM=L，ON=2L.求：（1）电场强度E的大小；（2）匀强磁场的方向；（3）磁感应强度B的大小.

图6-3-7

图6-3-8
解析：如图6-3-8所示，带电粒子从M点进入第Ⅲ象限做类平抛运动，-x方向上为匀速直线运动，+y方向上为匀加速直线运动，粒子带负电；从N点进入第Ⅰ、Ⅱ象限内的匀强磁场区做匀速圆周运动；从P回到M点是匀速直线运动.
（1）带电粒子在第Ⅲ象限：
L=，且2L=v0t，则E= . ①
（2）粒子带负电，由左手定则可知匀强磁场的方向为垂直纸面向里.
（3）设粒子到达N点的速度为v，如图所示，设运动方向与x轴负方向的夹角为θ，
由动能定理得：qEL=mv2-mv02
将①式中的E代入可得v=v0，所以θ=45°
粒子在磁场中做匀速圆周运动，经过P点时速度方向也与x轴负方向成45°角.
则OP＝OM＝L　NP＝NO+OP＝3L
半径为R=NPcos45°=
又R=
解得：B=.
答案：（1）　（2）垂直纸面向里　（3）
三、洛伦兹力的多解问题
带电粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，出现多解原因包含以下几个方面
1.粒子电性不确定形成多解
带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在初速度相同的条件下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解
2.磁场方向不确定形成多解
只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向的不确定而形成的多解
3.临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下穿越有界磁场时，由于带电粒子的运动轨迹是圆周的一部分，因此带电粒子可能穿越了有界磁场，也可能转过180°从入射的那一边反向飞出，就形成多解
4.粒子运动的重复性形成多解
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间中运动时，往往做重复性的运动，形成了多解
【例3】 如图6-3-9所示，x轴上方有匀强磁场， 磁感应强度为B，方向垂直纸面向外，下方有匀强电场，场强为E，方向沿y轴正方向.今有电荷量为q、质量为m的粒子位于y轴N点坐标（0，-b），不计粒子所受重力.在x轴上有一点M（L，0）.若使上述粒子在y轴上的N点由静止开始释放在电磁场中往返运动，刚好能通过M点.已知OM＝L.则释放点N离O点的距离需满足什么条件?

图6-3-9
错解：粒子由N至O在电场力作用下做初速为零的匀加速直线运动，到O点后进入磁场后做匀速圆周运动，做半圆运动后，到达M点.
粒子在电场中，运动距离b到达磁场区域，电场力做正功，
据动能定理有：qEb=mv2-0
粒子在磁场中偏转后刚好过M点的条件是L=2R
则有：L=2R=2，所以v=
而NO=b=，所以满足条件的N至O的距离b=.
错解分析：解题时忽略了带电粒子在磁场的空间中运动时，具有重复性的运动而形成多解的情形.

各个击破
类题演练1
如图6-3-11所示，以O点为圆心、r为半径的圆形空间存在着垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从A点正对O点以速度v0垂直于磁场射入，从C点射出，∠AOC＝120°，则该粒子在磁场中运动的时间是多长？

图6-3-11
解析：本题速度偏向角易知，欲求运动时间，只要求出周期即可，但B未知，还需联立半径R求解，故应先画轨迹，明确圆心、半径大小，借助几何关系求得.粒子在磁场中运动的轨迹是从A到C的圆弧，作AO和CO的垂线，相交于O′点，O′点即为粒子做圆周运动的圆心位置.
因为∠AO′C＝∠AOC＝60°
所以t=T
设运动半径为R′，由几何知识得R′＝rcot30°＝r
因为
所以T＝
t=
答案：
变式提升1
质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图6-3-2所示.离子源S产生质量为m、电荷量为q的正离子，离子产生出来时速度很小，可以看作速度为零.产生的离子经过电压U加速，进入磁感应强度为B的匀强磁场，沿着半圆周运动，到达记录它的照相底片上的P点.测得P点到入口处S1的距离为x.试求离子的质量m.
解析：离子的质量m是不能直接测量的，但通过离子在磁场中的偏转而转化为距离进行测量.当离子在电场中加速时应用动能定理可得：
qU=mv2-0
当离子在磁场中偏转时应用牛顿定律可得：Bqv=.
由上述二式求得m=
答案：
类题演练2
如图6-3-12所示为回旋加速器示意图，在D形盒上半面出口处有一正离子源，试问该离子在下半盒中每相邻两轨道半径之比为多少？

图6-3-12
解析：设正离子的质量为m、电荷量为q，两盒间加速电压为U，离子从离子源射出，经电场加速一次，第一次进入下半盒时速度和半径分别为
v1=
第二次进入下半盒时，经电场加速三次，进入下半盒时速度和半径分别为
v2=，R1=
第k次进入下半盒时，经电场加速（2k-1）次，进入下半盒时速度和半径分别为
vk=
所以，相邻两轨道半径之比：

答案：

类题演练3
如图6-3-13所示，在x轴上方有匀强磁场（磁感应强度为B），一个质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v0从坐标原点O射入磁场，v0与x轴的负方向夹角为θ，不计重力，求粒子在磁场中飞行的时间和飞出磁场时的坐标.（磁场垂直纸面，不考虑粒子的重力）

图6-3-13
解析：粒子进入磁场做圆周运动，由于不知道粒子的带电性质和磁场的方向，因此其轨迹并不确定，但只有两种情形，要么如图甲所示，要么如图乙所示，

首先分析图甲：作v0的垂直线段，切取OC＝0，C即为圆心，画出其轨迹如图，R=.由几何关系可得∠OCP=2θ，所以粒子在磁场中飞行的时间为t=
P点的坐标为x=2Rsinθ==sinθ
再看图乙：由几何关系得∠OCP=2θ，粒子在磁场中飞行的时间为t=，P点的坐标为x=-sinθ.
答案：t=　x=-sinθ

变式提升2
如图6-3-14所示，在边界为AA′、DD′的狭长区域内，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，磁场区域宽为d，电子枪S发射质量为m、电荷量为e的电子.当电子枪水平发射时，在DD′右侧发现了电子；当电子枪在竖直平面内转动到某一位置时，刚好在左侧发现了电子.(电子入射速率均为v0)

图6-3-10
正确解法：粒子由N至O在电场力作用下做初速为零的匀加速直线运动，到O后进入磁场后做匀速圆周运动，做半圆运动后，回到x轴进入电场，在电场力作用下先做匀减速直线运动直至速度为零，再向上做初速为零的匀加速直线运动，重复进行，如图6-3-10所示轨迹，最后到达M点.
粒子在电场中，运动距离b到达磁场区域，电场力做正功，据动能定理有：qEb=mv2-0.从磁场再次进入电场，设运动的路程为s，粒子则克服电场力做功.据动能定理有：-qEs=0-mv2，由上两式知s=b.
粒子在磁场中偏转后刚好过M点的条件是L应为圆轨道半径R的2N倍（其中N＝1，2，3，…），L=2NR=2N，所以v=，而NO=b= ，所以满足条件的N至O的距离b=（其中N＝1，2，3，…）.

图6-3-14
（1）试画出电子在磁场中运动的轨迹；
（2）计算该电子在边界AA′的射入点和射出点间的距离.
解析：在0~π范围内由电子枪S射入磁场的电子，其动态圆的圆心都在以S为圆心、半径为r的半圆周EOF上，如下图所示.由电子水平发射时在DD′右侧发现电子，得r=＞d、因此，只有圆心在O，动态圆刚好与DD′相切，所对应的电子才是从AA′边界射出的符合题意的电子，该电子在磁场中运动的轨迹是弧线SQC，由几何关系得

.
答案：（1）如解析图　（2）
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