2017年高中物理第6章磁场对电流和运动电荷的作用第4讲洛伦兹力的应用学案鲁科版3-1..doc

第4讲　洛伦兹力的应用
[目标定位]　1.知道洛伦兹力做功的特点.2.掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的规律和分析方法.3.知道回旋加速器、质谱仪的原理以及基本用途．

一、带电粒子在磁场中的运动
1．垂直射入匀强磁场中的运动电荷受到的洛伦兹力不仅与磁感应强度方向垂直，而且与速度方向垂直，这表明，洛伦兹力对粒子不做功，它不改变粒子的速率，只改变粒子的运动方向．
2．当运动电荷垂直射入匀强磁场中．
(1)洛伦兹力提供向心力．即qvB＝.
(2)轨道半径r＝.
(3)运动周期T＝.
二、回旋加速器和质谱仪
1．回旋加速器
回旋加速器的工作原理如图1所示，D1和D2是两个中空的半圆金属盒，它们之间有一定的电势差U.A处粒子源产生的带电粒子，在两盒间被电场加速．匀强磁场B与两个D形盒面垂直，所以粒子在磁场中做匀速圆周运动．经过半个圆周后再次到达两盒间的缝隙处，控制两盒间的电势差，使其恰好改变正负，于是粒子经过盒缝时再次被加速．如此反复，粒子的速度就能增加到很大．

图1
想一想　随着粒子速度的增加，缝隙处电势差的正负改变是否越来越快，以便能使粒子在缝隙处刚好被加速？
答案　虽然粒子每经过一次加速，其速度和轨道半径就增大，但是粒子做圆周运动的周期不变，所以电势差的改变频率保持不变就行．
2．质谱仪
(1)原理如图2所示

图2
(2)加速：带电粒子进入质谱仪的加速电场，由动能定理：
qU＝mv2①
(3)偏转：带电粒子进入质谱仪的偏转磁场，洛伦兹力提供向心力：qvB＝②
(4)由①②两式可以求出粒子的比荷、质量、磁感应强度等．
(5)应用：可以测定带电粒子的质量和分析同位素．
想一想　质谱仪是如何区分同位素的呢？
答案　由上述①②两式可求得r＝，同种同位素电荷量相同，质量不同，在质谱仪荧光屏上显示的半径就不同，故能通过半径大小区分同位素.

一、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．匀速直线运动：若带电粒子(不计重力)的速度方向与磁场方向平行(相同或相反)，此时带电粒子所受洛伦兹力为零，带电粒子将以入射速度v做匀速直线运动
2．匀速圆周运动：若带电粒子垂直磁场方向进入匀强磁场，洛伦兹力提供了匀速圆周运动的向心力．
设粒子的速度为v，质量为m，电量为q，由于洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝m，得到轨道半径r＝.
由轨道半径与周期的关系得周期T＝＝＝.
温馨提示　①由公式r＝知，轨道半径跟运动速率成正比；②由公式T＝知，周期跟轨道半径和运动速率均无关，而与比荷成反比．
例1　质子和α粒子由静止出发经过同一加速电场加速后，沿垂直磁感线方向进入同一匀强磁场，则它们在磁场中的各运动量间的关系正确的是(　　)
A．速度之比为2∶1 B．周期之比为1∶2
C．半径之比为1∶2 D．角速度之比为1∶1
答案　B
解析　由qU＝mv2　①　qvB＝　②，得r＝，而mα＝4mH，qα＝2qH，故rH∶rα＝1∶，又T＝，故TH∶Tα＝1∶2.同理可求其他物理量之比．
二、带电粒子在有界磁场中的运动
1．着重把握“一找圆心，二求半径，三定时间”的方法．
(1)圆心的确定方法：两线定一“心”
①圆心一定在垂直于速度的直线上．
如图3甲所示已知入射点P(或出射点M)的速度方向，可通过入射点和出射点作速度的垂线，两条直线的交点就是圆心.

图3
②圆心一定在弦的中垂线上．
如图3乙所示，作P、M连线的中垂线，与其一速度的垂线的交点为圆心．
(2)“求半径”
方法①　由公式qvB＝m，得半径r＝
方法②　由轨迹和约束边界间的几何关系求解半径r
(3)“定时间”
方法①　粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：t＝T(或t＝T)．
方法②　t＝(其中s为粒子轨迹的长度，即弧长)，在周期T不可知时可考虑上式．
2．圆心角与偏向角、圆周角的关系
两个重要结论：①带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角φ叫做偏向角，偏向角等于圆弧轨道对应的圆心角α，即α＝φ，如图4所示．

图4
②圆弧轨道所对圆心角α等于PM弦与切线的夹角(弦切角)θ的2倍，即α＝2θ，如图4所示．
例2　如图5所示，一束电荷量为e的电子以垂直于磁场方向(磁感应强度为B)并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝60°.求电子的质量和穿越磁场的时间．

图5
答案　　
解析　过M、N作入射方向和出射方向的垂线，两垂线交于O点，O点即电子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，连接ON，过N作OM的垂线，垂足为P，如图所示．由直角三角形OPN知，电子的轨迹半径r＝＝d①

由圆周运动知evB＝m②
解①②得m＝.
电子在无界磁场中运动周期为T＝·＝.
电子在磁场中的轨迹对应的圆心角为θ＝60°，故电子在磁场中的运动时间为t＝T＝×＝.
三、回旋加速器问题
1．周期：周期T＝，由此看出：带电粒子的周期与速率、半径均无关，运动相等的时间(半个周期)后进入电场．
2．带电粒子的最大能量：由r＝得，当带电粒子的速度最大时，其运动半径也最大，若D形盒半径为R，则带电粒子的最终动能Em＝.可见，要提高加速粒子的最终能量，应尽可能增大磁感应强度B和D形盒的半径R.
例3　回旋加速器是用来加速一群带电粒子使它们获得很大动能的仪器，其核心部分是两个D形金属盒，两盒分别和一高频交流电源两极相接，以便在盒内的窄缝中形成匀强电场，使粒子每次穿过狭缝时都得到加速，两盒放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，粒子源置于盒的圆心附近，若粒子源射出的粒子电荷量为q，质量为m，粒子最大回旋半径为Rmax.求：
(1)粒子在盒内做何种运动；
(2)所加交变电流频率及粒子角速度；
(3)粒子离开加速器时的最大速度及最大动能．
答案　(1)匀速圆周运动　(2)　
(3)　
解析　(1)带电粒子在盒内做匀速圆周运动，每次加速之后半径变大．
(2)粒子在电场中运动时间极短，因此高频交变电流频率要符合粒子回旋频率，因为T＝，回旋频率f＝＝，角速度ω＝2πf＝.
(3)由牛顿第二定律知＝qBvmax
则Rmax＝，vmax＝
最大动能Ekmax＝mv＝
借题发挥　(1)洛伦兹力永远不做功，磁场的作用是让带电粒子“转圈圈”，电场的作用是加速带电粒子．
(2)两D形盒窄缝所加的是与带电粒子做匀速圆周运动周期相同的交流电，且粒子每次过窄缝时均为加速电压，每旋转一周被加速两次．
(3)粒子射出时的最大速度(动能)由磁感应强度和D形盒的半径决定，与加速电压无关．
四、质谱仪
原理：利用磁场对带电粒子的偏转，由带电粒子的电荷量、轨道半径确定其质量，粒子由加速电场加速后进入速度选择器，匀速运动，电场力和洛伦兹力平衡qE＝qvB1，v＝粒子匀速直线通过进入偏转磁场B2，偏转半径r＝，可得比荷＝.
温馨提示　①速度选择器两极板间距离极小，粒子稍有偏转，即打到极板上．
②速度选择器对正负电荷均适用．
③速度选择器中的E、B1的方向具有确定的关系，仅改变其中一个方向，就不能对速度做出选择．
例4　质谱仪的构造如图6所示，离子从离子源出来经过板间电压为U的加速电场后进入磁感应强度为B的匀强磁场中，沿着半圆周运动到达记录它的照相底片上，测得图中PQ的距离为L，则该粒子的比荷为多大？

图6
答案　
解析　粒子在电压为U的电场中加速时，根据动能定理得：
qU＝mv2①
粒子进入磁场后做圆周运动，根据牛顿第二定律有：
qvB＝m②
r＝③
解①②③得＝.

带电粒子在磁场中的圆周运动
1．处于匀强磁场中的一个带电粒子，仅在磁场力作用下做匀速圆周运动．将该粒子的运动等效为环形电流，那么此电流值(　　)
A．与粒子电荷量成正比 B．与粒子速率成正比
C．与粒子质量成正比 D．与磁感应强度成正比
答案　D
解析　假设带电粒子的电荷量为q，在磁场中做圆周运动的周期为T＝，则等效电流I＝＝，
故答案选D.
带电粒子在有界磁场中的运动
2．如图7所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动的时间之比为(　　)

图7
A．1∶2　　　 B．2∶1
C．1∶　　　 D．1∶1
答案　B
解析　正、负电子在磁场中运动轨迹如图所示，正电子做匀速圆周运动在磁场中的部分对应圆心角为120°，负电子圆周部分所对应圆心角为60°，故时间之比为2∶1.

回旋加速器问题
3．回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电源相连接的两个D形金属盒，两盒间的狭缝中形成的周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D形金属盒处于垂直于盒底面的匀强磁场中，如图8所示，要增大带电粒子射出时的动能，下列说法中正确的是(　　)

图8
A．增加交流电的电压 B．增大磁感应强度
C．改变磁场方向 D．增大加速器半径
答案　BD
解析　当带电粒子的速度最大时，其运动半径也最大，由牛顿第二定律qvB＝m，得v＝.若D形盒的半径为R，则R＝r时，带电粒子的最终动能Ekm＝mv2＝.所以要提高加速粒子射出的动能，应尽可能增大磁感应强度B和加速器的半径R.
质谱仪问题
4．A、B是两种同位素的原子核，它们具有相同的电荷量、不同的质量．为测定它们的质量比，使它们从质谱仪的同一加速电场由静止开始加速，然后沿着与磁场垂直的方向进入同一匀强磁场，打到照相底片上．如果从底片上获知A、B在磁场中运动轨迹的半径之比是1.08∶1，求A、B的质量比．
答案　1.17∶1
解析　A、B是两种同位素的原子核，电荷量相同、质量不同．其运动过程分为两步：一是在电场中加速，二是在磁场中偏转．
设A、B的电荷量皆为q，质量分别为mA和mB
则经电压为U的电场加速时：qU＝mv2
在磁感应强度为B的磁场中偏转时：r＝
联立解得：m＝
即＝()2＝()2≈1.17∶1.

题组一　带电粒子在磁场中的圆周运动
1．如图1所示，ab是一弯管，其中心线是半径为R的一段圆弧，将它置于一给定的匀强磁场中，方向垂直纸面向里．有一束粒子对准a端射入弯管，粒子的质量、速度不同，但都是一价负粒子，则下列说法正确的是(　　)

图1
A．只有速度大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
B．只有质量大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
C．只有质量和速度乘积大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
D．只有动能大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
答案　C
解析　由R＝可知，在相同的磁场，相同的电荷量的情况下，粒子做圆周运动的半径决定于粒子的质量和速度的乘积．
2．如图2所示，水平导线中有电流I通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I的方向相同，则电子将(　　)

图2
A．沿路径a运动，轨迹是圆
B．沿路径a运动，轨迹半径越来越大
C．沿路径a运动，轨迹半径越来越小
D．沿路径b运动，轨迹半径越来越小
答案　B
解析　由左手定则可判断电子运动轨迹向下弯曲．又由r＝知，B减小，r越来越大，故电子的径迹是a.故选B.
3．如图3所示，一带电粒子(重力不计)在匀强磁场中沿图中轨道运动，中央是一薄绝缘板，粒子在穿过绝缘板时有动能损失，由图可知(　　)

图3
A．粒子的运动方向是abcde
B．粒子带正电
C．粒子的运动方向是edcba
D．粒子在下半周期比上半周期所用时间长
答案　BC
题组二　带电粒子在有界磁场中运动
4．空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图4中的正方形为其边界．一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射．这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子．不计重力．下列说法正确的是(　　)

图4
A．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同
B．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同
C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同
D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大
答案　BD
解析　由于粒子比荷相同，由R＝可知速度相同的粒子轨迹半径相同，运动轨迹也必相同，B正确．对于入射速度不同的粒子在磁场中可能的运动轨迹如图所示，由图可知，粒子的轨迹直径不超过磁场边界一半时转过的圆心角都相同，运动时间都为半个周期，而由T＝知所有粒子在磁场运动周期都相同，A、C皆错误．再由t＝T＝可知D正确，故选B、D.

5．如图5所示，有界匀强磁场边界线SP∥MN，速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场．其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直；穿过b点的粒子速度v2与MN成60°角，设粒子从S到a、b所需时间分别为t1和t2，则t1∶t2为(重力不计)(　　)

图5
A．1∶3 B．4∶3 C．1∶1 D．3∶2
答案　D
解析　如图所示，可求出从a点射出的粒子对应的圆心角为90°.从b点射出的粒子对应的圆心角为60°.由t＝T，T＝，可得：t1∶t2＝3∶2，故选D.

6．如图6所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，则(　　)

图6
A．从P射出的粒子速度大
B．从Q射出的粒子速度大
C．从P射出的粒子，在磁场中运动的时间长
D．两粒子在磁场中运动的时间一样长
答案　BD
解析　作出各自的运动轨迹如图所示，根据圆周运动特点知，分别从P、Q点射出时，与AC边夹角相同，故可判定从P、Q点射出时，半径Rp＜RQ，由R＝，所以，从Q点射出的粒子速度大，B正确；根据图示，可知两个圆心角相等，由T＝，所以，从P、Q点射出时，两粒子在磁场中的运动时间相等．正确选项应是B、D.

题组三　质谱仪和回旋加速器问题
7．如图7是质谱仪的工作原理示意图．带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器．速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为B和E.平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2.平板S下方有磁感应强度为B0的匀强磁场．下列表述正确的是(　　)

图7
A．质谱仪是分析同位素的重要工具
B．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向里
C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于
D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的荷质比越小
答案　AC
解析　质谱仪是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具，故A选项正确；速度选择器中电场力和洛伦兹力是一对平衡力，即：qvB＝qE，故v＝，根据左手定则可以确定，速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外，故B选项错误、C选项正确．粒子在匀强磁场中运动的半径r＝，即粒子的比荷＝，由此看出粒子的运动半径越小，粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的荷质比越大，故D选项错误．
8．一个用于加速质子的回旋加速器，其核心部分如图8所示，D形盒半径为R，垂直D形盒底面的匀强磁场的磁感应强度为B，两盒分别与交流电源相连．下列说法正确的是(　　)

图8
A．质子被加速后的最大速度随B、R的增大而增大
B．质子被加速后的最大速度随加速电压的增大而增大
C．只要R足够大，质子的速度可以被加速到任意值
D．不需要改变任何量，这个装置也能用于加速α粒子
答案　A
解析　由r＝知，当r＝R时，质子有最大速度vm＝，即B、R越大，vm越大，vm与加速电压无关，A对、B错．随着质子速度v的增大、质量m会发生变化，据T＝知质子做圆周运动的周期也变化，所加交流电与其运动不再同步，即质子不可能一直被加速下去，C错．由上面周期公式知α粒子与质子做圆周运动的周期不同，故此装置不能用于加速α粒子，D错．
题组四　综合应用
9．如图9所示，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场，一带正电的质子以速度v0从O点垂直射入．已知两板之间距离为d.板长为d，O点是NP板的正中点，为使质子能从两板之间射出，试求磁感应强度B应满足的条件(已知质子带电荷量为q，质量为m)．

图9
答案　≤B≤
解析　如图所示，由于质子在O点的速度垂直于板NP，所以粒子在磁场中做圆周运动的圆心O′一定位于NP所在的直线上．

(1)如果质子恰好从N点射出，R1＝，qv0B1＝.所以B1＝.
(2)如果质子恰好从M点射出
R－d2＝(R2－)2，qv0B2＝m，得B2＝.
为使质子能从两板之间射出，
所以B应满足≤B≤.
10．如图10所示，一个质量为m，电荷量为－q，不计重力的带电粒子从x轴上的P(a,0)点以速度v，沿与x轴正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限，求：

图10
(1)匀强磁场的磁感应强度B；
(2)穿过第一象限的时间．
答案　(1)　(2)
解析　(1)作出带电粒子做圆周运动的圆心和轨迹，由图中几何关系知：

Rcos30°＝a，得：R＝
Bqv＝m得：B＝＝.
(2)运动时间：t＝·＝.
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