代数变形常用技巧及其应用.doc

.
代数变形常用技巧及其应用

摘 要
代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式．本文旨在从五个方面展现常用到的代数变形技巧：一是利用换元法变形，二是根据数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，三是公式法变形，四是分解组合思想变形，五是利用待定系数法进行变形．另外，还介绍了这些变形技巧在分式、不等式、极限、求导、三角、方程组等方面的应用．
关键词：代数变形 换元法 直接法 公式法 分解组合思想 待定系数法

教育资料
.

The common skills and application of the algebra distortion
Abstract
The algebra distortion is one kind of distortion which uses the algebra knowledge to implement deformation and the nature invariable. It means a question equally transforms for another question, transforms by one form into the substantive equal another form, sums up it as the question or the form which are quite familiar easy to solve. This article aimly unfolds the usually used skill of algebra distortion from five aspects： The first, distort using the substitution of variables. The second, according to mathematical concepts, the nature, the principle and so on carries on the distortion directly to the datum. The third, decomposes the combination thought to distort. The fourth, formula distorts. The fifth, carries on the distortion using the undetermined coefficient law. Moreover, it also introduced these distortion skill’s uses in the fraction, inequality,limit,derivation,triangle,equation group and so on.
Key words：algebra distortion substitution of variables direct method formula method decomposite and combinate thought undetermined coefficient method
教育资料

目 录
摘 要…… I
Abstract II
一、绪论 1
二、换元法及其应用 1
（一）换元法的定义 1
（二）换元法的应用 2
1．应用于三角中 2
2．应用于分式不等式中 2
3．在方程组中的应用 3
三、直接法及其应用 4
（一）在分式中的应用，将已知条件变形，再直接代入 4
（二）在不等式中的应用 5
（三）在求极限中的应用 5
（四）在求导中的应用 6
四、数学公式法及其应用 7
（一）完全平方公式的变形及应用 7
（二）三角公式变形及其应用 7
（三）行列式变形及其应用 8
五、分解组合思想及其应用 9
（一）配方法 9
1．应用于解方程和因式分解中 9
2．应用于二次型中 10
3．用配方法证明柯西不等式 10
（二）拆项法 11
1．应用于数列求和 11
2．应用于行列式 11
（三）加“0”乘“1”法 12
1．加“0” 12
2．乘“1” 13
3．应用于行列式 13
六、待定系数法及其应用 14
（一）待定系数法 14
（二）应用 14
1．在有理分式分解中的应用 15
2．在求取值范围中的应用 16
3．在数列求和中的应用 16
4．在极限中的应用 17
结束语 18
致 谢 19
参考文献 20

.
一、绪论
所谓代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式，其过程的实质是从未知到已知的转换过程，使原问题得以解决．
一般情况下，代数变形必须是恒等变形或同解变形，这是他必须遵循的原则，不能让变形改变了题意．在变形的时候，不能改变一些实质性关键性的知识内容，否则就会使原问题“改头换面”，得到错误结果．实施代数变形，要把握几个主要因素，第一：题设中的关键性导语；第二：题设中的式子结构特征；第三：题设中的内在因素；第四：题设中所提供的数学模型，这些因素在变形中起着决定作用，是决策变形思维的关键．
二、换元法及其应用
（一）换元法的定义
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法．我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，进而解决问题．
（二）换元法的应用
1．应用于三角中
例 求证．
证明 令 ，则
左边＝，
右边＝＝左边，
所以原恒等式成立
2．应用于分式不等式中
例 试证对满足，，，的所有实数
，，，，，，有不等式：
，
并求出等号成立的充要条件．
证明 设，，则，，
所以

，
因此

即
，
且当且仅当等号成立．
3．在方程组中的应用
例 已知方程组(1)， 求
(1)
解 由第一个方程可知，
设用去乘第个方程，两边得
，
所以有
，
又因为所以．
三、直接法及其应用
利用数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，这是代数变形的最基本，最基础的方法．熟练掌握这些基本知识是进行代数变形的基础和依据，是必要的前提和准备．
（一）在分式中的应用，将已知条件变形，再直接代入
例 (1) 已知，且，
求的值．
(2) 已知，求的值．
解 (1) 由已知 ，
所以
，
同理可得到
，
．
(2) 由已知条件知，把已知条件中的等式变形并利用等比性质
消去，得：
，
因此
，
所以
．
（二）在不等式中的应用
例 设，且 求证：
．
证明 因为
，
所以，原不等式变形为
，
即
，
由算术平均调和平均，可得下式成立：
．
所以所求的原不等式成立．
（三）在求极限中的应用
例 求数列极限．
解 先求函数极限，对数后的极限为：
，
所以由归结原则可得：
．
（四）在求导中的应用
例 设 ，求．
解 先对函数式取对数得
，
再对上式两边分别求导数，得
，
整理后得到
．
四、数学公式法及其应用
公式变形不仅仅是公式的基本形态的功能拓宽，而且在变形过程中，可以充分体现数学思想和观点，数学公式的转化和简化功能，更能深层次地理解公式的本质，有利于培养思维能力，创新意识．运用数学公式解决数学问题时，首先要对所学过的公式进行熟练掌握，这是基本的，首要的知识点，在此基础上才能灵活变形使用．
（一）完全平方公式的变形及应用
由完全平方公式 ，我们可以进行恒等变形为：
(1)；
(2)；
(3)．
上述几个恒等式十分重要，在解数学题时，若能灵活应用，往往能避繁就简，收到奇效，现举例说明．
例 化简
解 原式．
（二）三角公式变形及其应用
在三角恒等变形中，熟悉公式的变化形式，既要学会顺用，又要学会逆用，还要会变用．
例 求证：．
证明 左边

（三）行列式变形及其应用
学习行列式的时候，我们学习了范德蒙德行列式，并以公式的形式把它加以利用，利用范德蒙德行列式计算或证明行列式时，应根据反德蒙德行列式的特点，将所给的行列式化为范德蒙德行列式，然后根据范德蒙德行列式计算出结果．
例 计算阶行列式

解 此式不是范德蒙德行列式．将第行，第行，，第行分别向上和相邻行交换次，次，，次，共交换了次，得

由阶范德蒙德行列式的计算公式得
．
五、分解组合思想及其应用
 将分解和组合的思想用于代数变形，其方法灵活多变，而且技巧性强，具体有“凑、配、添、拆”等实际做法．
（一）配方法
所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式．通过配方法解决数学问题的方法叫配方法．其中用的最多的是配成完全平方式．
1． 应用于解方程和因式分解中
一般在解析式的变化过程中，使用公式，可使其呈现某一式的完全平方．但在解答问题时，给定的多项式往往不是完全平方式，需要适当配项，使之成为完全平方式，于此同时方可发现隐含条件．
例 设，求的值．
解 因为 ，所以 ，
又因为
，
所以
．
2．应用于二次型中
例 用配方法将下列二次型化为标准型
．
解 二次型可化为
，
令 ， 即 ，
则有的标准型为．
3．用配方法证明柯西不等式
例 (柯西不等式)设，，，那么
，
当且仅当，，，时不等式取等号．
证明 当=0，即时，不等式成立；
当0时，作二次函数
当且仅当即时等号成立，
因为的充要条件是，
所以 ，
化简整理得
，
在前面等式中令
，
当且仅当，，时不等式取等号．
（二）拆项法
将某一式拆为另外两式之和或差的形式，从而化繁为简，化难为易．
1．应用于数列求和
例 计算．
解 由 ，
原式=．
2．应用于计算行列式
例 计算阶行列式

解 按最后一列拆项得

等号右边第一个行列式按最后一列展开，第二个行列式最后一列提出后，第列减去最后一列的倍，即得

．
（三）加“0”乘“1”法
1．加“0”
例 在等差数列与等比数列中，，，
求证：当 时，．
证明

．
2．乘“1”
例 设，求证：++>2．
证明 =，
同理
，，
所以有
++=2，
又上述三个不等式中“=”不能同时成立故
++>2．
3．应用于计算行列式
例 计算阶行列式

解 将行列式加边升阶为

．
六、待定系数法及其应用
（一）待定系数法
在解数学问题中，若先判断所求结果具有某种特定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种接替方法称为待定系数法．
（二）应用
1．在有理分式分解中的应用
例 对作部分分式分解．
解 令，
分母可写为几个因式乘积的形式
即：
，
则部分分式分解的待定形式为：
，
用乘以上式两边，得一恒等式
，
然后是等式两边同幂项系数相等，得到现行方程组：

求出它的解：

并代入式
所以原式的部分分式分解为
．
2．在求取值范围中的应用
例 已知，，，
求证：．
证明 令 ，
比较两边的对应系数，得：

由于
，，，
所以有
．
3．在数列求和中的应用
例 求．
解 设 ，
比较两边对应项的系数，可得
，
故
，
则有

．
4．在极限中的应用
例 若，，求．
解 设，
比较系数得
解得，
所以 ．
代数变形的常用技巧还很多，如整体化思想，分离变量等．
结束语
本文主要浅谈了代数变形的一些方法和技巧以及其在分式、不等式、极限、求导、三角、方程等方面的应用，为解决相关数学问题指引了方向，点明了思路，这些方法和技巧各自具有优点和局限性，它们之间也无绝对界限，一道题有时可施加多种变形．我们在应用代数变形的方法去解决数学问题时，不一定非要严格遵循某一个统一的模式，需要依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，从中进行一番思考与选择，寻求有利于问题解决得最佳变换途径和方法．

致 谢
本论文是在我的导师的亲切关怀和悉心指导下完成的．他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我．从课题的选择到项目的最终完成，导师都始终给予我细心的指导和不懈的支持．长期以来，在此谨向导师致以诚挚的谢意和崇高的敬意．
而且，我还要感谢潍坊继续教育学院数学与信息科学系的各位老师，是他们的传道、授业、解惑和辛勤工作让我们学到专业知识和如何求知治学．感谢学校提供了良好的学习环境．
最后，我还要感谢我的家人，谢谢他们一直以来对我的关心和支持，同时，也向所有帮助我，关心我的朋友和同学表示最诚挚的感谢，谢谢他们的支持和帮助．

参考文献
[1]张钟宜．略谈三角恒等变形的技巧和方法[J]．数理化学习（高中版）．
[2]陆如龙．戴志祥．证明分式不等式的变形技巧．［Ｊ］．河北理科教学研究．2003（1）．
[3]丁胜．应用恒等变形解决数学问题[J]．成都纺织高等专科学校学报．2005（4）．
[4]Reston．V．A．National of teacher of mathematics curriculum and evaluation standardsfor school mathematics．1998．6．
[5]华东师范大学数学系编．数学分析（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2001（2003重印）．
[6]申志强．例说代数式的恒等变形[J]．中学数学杂志．2004（1）．
[7]仉志余等．线性代数分级讲练教程[M]．北京大学出版社．2006(6)．
[8]Rorres C．Anton H．Applications of linear algebra．3rd ed．John wiley & Sons．Inc，1984．
[9]罗仁幸．初等数学解题变形技巧漫谈[J]．宝山师专学报．1995（2）
[10]袁良佐．“加0”与“乘1”．中学生数学[J]．2002（6）．
[11]李亚丽．待定系数法在不等式中的应用[J]．创新篇．解题思想方法．2006（6）．
[12]田宝运．高元仁．待定系数法在解题中的应用[J]．数理化学习(高中版)．
[13]Loren C．Larson．Problem-Solving Through Problems Springer-Verlag．1983．

教育资料