学位论文 关于两类特殊序半群的研究.pdf

关于两类特殊序半群的研究摘要偏序半群的代数理论仍是当今最为活跃的代数学研究领域之一.本文研究 了两类偏序半群，并给出了它们的一些性质及其刻画.本文同时还研究了这些 偏序半群与滤子以及理想之间的关系.主要结果如下：L研究了序半群上主理想的基本性质以及如何用这些性质对序半群上 的Gr een关系进行刻画.进一步：本文引入了四类Archimedean序半群.用主 理想和Gr een关系讨论了这四类Archimedean序半群的性质.2.研究了，-Archimedean序半群上的几种理想之间的关系，并在/仞-Archimedean序半群的基础上给出了几种理想之间关系的刻画.同时，本 文用单序半群，内正则序半群刻画了几类Archimedean序半群.给出了四 类Archimedean序半群在某些特殊情况下的刻画.3.研究了特殊的序半群一一7 T-（内）正则序半群，讨论了这两类序半群的一 些性质及其上的理想的性质，并用几类理想刻画了这两类序半群.同时.本文研 究了在某种特殊情况下这两类序半群的滤子以及用滤子来刻画这两类特殊的序 半群.关键词Archimedean序半群，彳r.。-Archimedean序半群，万-正则序半群，内正则 序半群AbstractAlgebraic theory of partially ordered semigroups is still on e of the most active bran ches in Algebra.We presen t a thorough study on the properties an d characteristics of two classes of partially ordered semigroups.Furthermore,we also clarify some relation s amon g the filters,ideals an d certain ordered semigroups.The main results can be showed as follows:1.We study the fun damen tal properties of the prin cipal ideal an d how to characterize the Green s relation.In the mean time,we in troduce four types of Archimedean ordered semigroups an d discuss their properties based on the properties of the prin cipal ideal an d the Green s relation.2.The relation s an d characteristics of some ideals in 1(Archimedean ordered semigroups are obtain ed.Some Archimedean ordered semigroups can be described by simple ordered semigroups an d in tra-regxilar ordered semigroup.Furthermore,un der certain con dition s,we fin d four types of Archimedean ordered semigroups are equivalen t.3.We study an other class of ordered semigroups-7 r-in tra-regular ordered semigroup an d 万-regular ordered semigroup.We discuss the properties of the two types of semigroups.We obtain characteristics of these semigroups based on the properties of their ideals an d filters.KeywordsArchimedean ordered semigroup,1(r,-Archimedean ordered semigroup,irregular ordered semigroup,-in tra-regular ordered semigroup西北大学硕十学位论文第一章绪论1.1 引言在数学的众多分支中，代数学已成为不可缺少的基本研究工具之一.近年 来，代数学的研究得到了迅猛的发展.随着计算机技术的发展和普及，以及由此 引起的离散数学的兴起，使得代数学在信息与通讯系统和理论计算机科学领域 具有更加广泛的应用.半群代数理论是一门重要的代数学分支.半群的正式研究开始于二十 世纪早期，经过一个多世纪的发展，现如今，半群代数理论已经十分丰富.它在计算机、信息安全、自动化控制等领域都有重要的应用.51.随着半 群理论的不断丰富和发展.半群的序结构理论也得到了较快的发展.20世 纪40年代，著名的数学家G.Birk hoff在他的著作格论一书中，对格序 群进行了充分的研究，得到了很多有意义的结论.该著作也对格序半群（含幺 半群）进行了探讨，丰富了半群研究的领域.由于有很强的群论理论作基础,偏序半群理论自上世纪60年代起一枝独秀，很快从代数理论中分离出来,在L.Fuchs,P.Con rad及W.Hollan d等著名数学家的推动下发展成一个完整 的研究体系.在近40多年中，序半群理论取得了很大的进展.80年代以后,N.Kehayopulul6-18）对正则偏序半群、次直不可约偏序半群以及偏序半群上 的Green,s关系等问题进行了深入研究，得到了一些有意义的结果.90年代.中 国学者谢祥云等119-231对偏序半群的理想、同余和偏序扩张等问题进行了研究,所得结果受到国内外学者的关注.现如今，偏序半群的代数理论仍是最为活跃 的代数学研究领域之一.自从提出了序半群的概念以来，在序半群基础上的各类特殊的序半群的 研究吸引了大批作者的关注.从70年代以来，Archimedean序半群概念的提 出，引起了一部分作者的兴趣，同时对Archimedean序半群做了进一步的细 化和推广，诸如Archimedean序半群作为弱交换半群的滤子来进行研究罔,1第一章绪论C-Archimedean序半群网的性质，以及r-Archimedean序半群利的性质等.本 文主要研究的是1(r-Archimedean序半群的一些性质，1(r-Archimedean序半 群上各种理想之间的关系，以及序半群上几类特殊序半群的刻画.同时.本文还 对科(内)正则序半群进行了讨论.1.2 预备知识半群(S,24)是指在非空集合S上定义一个二元运算且满足条件(V a,6,c 6 S)a-(b-c)=(a-b)-c.为了方便起见，下文中均用ab代替设S是半群.若存在eL(eR)e 5,使得(V s W S)eS=s(sen s),则称eL(eR)为S的左(右)单位元.若e既是左单位元又是右单位元，则 称e为S的单位元.容易验证半群最多只有一个单位元.设S为半群.若S上有偏序关系使得(Va,b,c E S)a b ca cb.ac be,则称S为序半群，记为S=(S,).若序半群S不含单位元，可以在S中添加元素e(egS),并定义运算如 下：(Vs ES)e-s=s-e s,e e=e,则定义S1=S|Je,即S】是含单位元的序半群且S】上的序关系保持不变.同理可以定义SL=SUa是包含左单位元的序半群，SR=S|JeR是 包含右单位元的序半群.设S为序半群.I为S的非空子集，若I满足1)SIGI(IS C/)；2)(Va G 7)&6 G/.则称I为S的左理想(右理想).若/既是S的左理想.又是S的右理想，则2西北大学硕十学位论文称/是S的理想.设S为序半群.若H 考虑集合(H：=x S|3h H,x h.若H是半群S的理想.则由序半群的理想的定义易知(H是序半群S的理 想.首先，由于H是半群S的理想，添加序半群定义中的序关系，则S为序 半群.此时，S(HS C(S(H(S C(SHS C(H.其次,对任意的 a (KJ,存在力e H,满足a w儿若b W S且b w a,可知b w无.由(印的定义可 知b e(H.因此，(印是序半群S的理想.特别的，若H=a,则简记为.设a为序半群S中的元素，S的由a生成的主左(右)理想a)(R(a)是 指S的包含a的所有左(右)理想的交./(a)为由a生成的主理想.因此：很 容易得到：L(a)=(a(JSa=(Sa,R(a)=(a|Ja司=(aS1,7(a)=(a(J Sa U aS(J SaS=(SaS.设S为序半群.F为S的子半群.若F满足：1)(Va,beS)abeF 今 qF r esp.b G F);2)(Vc eS)a,F,ac-c.F.则称F为S的左(右)漉子.若F既是S的左滤子，又是S的右滤子，则 称F是S的流子.用N(q)表示包含a的最小的滤子，即由q生成的滤子.设S为序半群.用表示S上的Gr een关系，定义如下：(Va,6G 5)aCb L(a)=L(b).同理用冗J、N、表示S上的Gr een关系，定义如下：(Va,beS)aRb o R(a)=R(b),(Va,beS)ajb/(a)=1(b),(Va,beS)Wb o N(a)=N(b),冗n u本文的第一章将对序半群上的Gr een关系进行研究.第三章和第四章研究3第一聿绪论序半群的滤子的性质以及探讨滤子与序半群之间的密切关系.4西北大学硕士学位论文第二章 Archimedean序半群的性质本章介绍了序半群上一类特殊的偏序集的基本性质，以及如何用这些性质 对序半群上的Gr een关系进行刻画.同时，本章引入了四类Archimedean序半 群，将用Gr een关系对这四类Archimedean序半群的性质进行讨论.2.1 主理想的基本性质及Gr een关系定义集合(AB=xy eSBaeA,beB,xy1U(B.另一方面，对任意的，W(A U(B.有He(4或者工W(B.若工(用,则存在a W A使得了W a于是有TeAJBC(AJB.同理可得若工(B,有工W(周U(即从而,(4 U B?(41U网.,(2)由引理2.1.1中(3)与(4)易证.下面对序半群上的Gr een关系进行刻画.5第二章Archimedean序半群的件质定理2.1.3设S为序半群.对任意的a,bwS,(1)若q与b不可比较，则aCb o(Hr,g S)b&且 a 二独；若a V b,则ab 0(Hr S)b xa.证明 必要性.若aCb,则L(a)=L(6),即(aUSa=(bJSb.故 有a (bJSb.由于q与b不可比较，故存在y S,使得q yb.同理可得,b(QUS。从而存在工 S,使得b W xa.充分性.一方面，由于Q Sg，对任意的c S,则有ca cyb.故ca (Syb C(56,由c的任意性可知Sa C(Sb.这样就有(Sa C期U(Sb C(bJSb.同时,又由 a J 破可知 a W(Sb.BP a C(Sb C(bJSb.故可 得a|J(Sa (bUSb,即有(aJSa C(bJSb.另一方面，由于b xa,于是可得b (Sa,这样就有b C(Sa C(aJSa.对任意的t S、t b t xa,从而，站(Sza)C(Sa,由t的任意性，可以得 到(Sb C(Sa C(q|JSq,故bU(Sb G(a|JSa,即(q|JSq D(bJSb.因 此可以得到L(a)=L(6).这表明aCb.(2)必要性.由(1)的必要性证明可知存在，6 S,使得b xa.充分性.一方面,由b 与切及的必要性的证明可知(qUSq D(b|JS4 另一方面.由于a W b,对任意的c S,有ca工cb,于是有ca G(Sb C bU(Sb C SUS近 由 c 的任意性可知 Sa C(bJSb.又 a&(bJSb.故 有a(JSa C(ft(JSb,即(a|JSa C(bJSb.因此 L(a)=L(b).这表明 ab.命题2.1.4设S为序半群.对任意的a,bwS,(1)若q与b不可比较，则aRb 0%,y E S使得b g ax且a W励(2)若 q W b,则aTZb 0 0工 S)b (Va S)as pat,则称p为S上的左同余；若(s,t W S)spt a(Va 5)sapt a则称p为S上的右同余；若p既是S上的左同余又是右同余，则称p是S上 的同余.推论2.1.6 是序半群S的右同余,它是S的左同余.证明 设a,bwS.若且a与b不可比较，由定理2.1.3可知存在了,ye S,使得 b W xa,a yb.于是对任意的 c S,有 be W xac,ac ybc,即 acCbc.若a与b可比较，同样有任意的c 6 S、bc xac,ac be,即acCbc.由此可 知C是右同余.类似地可由命题2.1.4证得文是S的左同余.事实上推论2.1.6是序半群上熟知的结论，本文给出了借助定理2.1.3与命 题2.1.4验证该结论的另一种方法.命题2.L7设S1为序半群.对任意的Q,b S1,ajb o(3r,y,u,v E S1)b xay 且 a W ubv.推论2.1.8设S为序半群.对任意的Q,bS,若(3r,j/,u,v S)b xay 且 a W ubv,则 1(a)=1(b).2.2 Archimedean序半群的性质本节用Gr een关系和滤子对四类Archimedean序半群的性质进行讨论.本文用Z+表示正整数的集合.定义2211现 设S为序半群.如果(Va,6 e S)(3m Z+)bm e(Sa,(1)那么称S为左阿基米德(，-Ar如medean)序半群.由(1)可以得到左阿基米德序7第二章Archimedean序半群的性质半群的等价定义:(Va,b E S)(Bm Z+,3z 5)xa.定义222设S为序半群.如果(Va,beS)(3m e Z+)bm e(a5,(2)那么称5为右阿基米德(r-Archimedean)序半群.由(2)可以得到右阿基米德序 半群的等价定义：(Va,d G S)(3m Z+,Bx e S)bm ax.定义223设S为序半群.如果(Va,beS)(Bm Z+)bm W(SaS,(3)那么称S为阿基米德(Archimedean)序半群.由可以得到阿基米德序半群的 等价定义：(Va,6 G 5)(3m Z+,3z,y S)bm r ay.定义2.2.4设S为序半群.如果S既是左阿基米德的又是右阿基米德的，即 满足(Va,beS)(3m Z+)严 (qSq),(4)那么称S为双阿基米德-Archimedean)序半群.由(4)可以得到阿基米德序半 群的等价定义：(Va,6 G S)(3m Z+,9i G S)oxa.由定义容易看出若S是Z(r)-Archimedean的，则S是Archimedean的.下面将讨论/-Archimedean的序半群的一些性质.定理225设S为序半群.若S满足(Va,&S)(Bm Z+)(a,6m)C,则S是/-Archimedean序半群.证明对任意的a,b S,存在m Z+,使得(a,bm),于是有L(a)=L(bm).由卡 L(bm)=L(a)=(a|JSa可得 bm (aJSa.由引理 2.1.2 可 知产w或小七(Sa.若产e，则有产 a bm+i e(5a,即S是l-Archimedean序半群.如果bm (Sa,那么就直接可得S是/-Archimedean序 8西北大学硕士学位论文半群.定理226若S为/-Archimedean序半群，则S没有非平凡的滤子.证明(反证法)设F为S的滤子，F#0且尸U 由于S为I-Archiin cdcan的、故对任意的a S F U S、存在m Z+,i 6 S.对任意的b S,满足am xb.由于q W尸，故有Qm F,由滤子的定义可知xb F,于是可 知b 6 F,即S G F,与假设矛盾，因此S没有非平凡的滤子.定义227【的 设S为序半群.，为S的理想，称子集t Sxn I,(3n N)为I的根，记为x/7.显然/且(V7=v7.定理228设S是序半群.L为S的主左理想，S为Z-Archimedean序半 群当且仅当(Va S)y/L(a)=S.证明 必要性.设L为S的主左理想，由于S是Z-Archimedean序半群,故对任意的a,b S,存在m G Z+,满足严(Sa C L(a),即/e L(a).因 此，b，硒.于是可得S C，函.又由于，西 C S,故有y/Ma)=S.由a的任意性可知，对于任何S中的元素生成的主左理想的根均等于S.故任 意主左理想的根VT=S.充分性.对任意的beS,由于对任意的a e S,都有，硒=S成立，故存 在 m 6 Z+,/e L(a),于是可知 bm W(q|JSq=(aU(l-(1)若严 w(a,则可得 bma=产+i%，即存在 n=m+l,bn e(Sa,因此S是Z-Archimedean序半群.(2)若 严w(Sa,则S显然是/-Archimedean序半群.从上面的三个定理可以看出，以Z-Archimedean序半群为桥梁，本文用序半 群S上的关系刻画了滤子与序半群S的关系及主左理想根与序半群S的 关系，即对于S上的任意元素q也若存在mZ+(a,bm)e J则S无平凡滤 子且它的主左理想根为5本身.推论2.2.9若S为Z-Archimedean序半群，/为S的主理想，则，=S.9第二章Archimedean序半群的性质由/-Archimedean序半群的性质可以类似的得到Archimedean序半群以 及r-Archimedean序半群上的一些性质.命题2210设S为序半群.若S满足(Va,&S)(3m Z+(凡严)e 冗 则S是r-Archimedean序半群.命题2.2.11设S1为序半群.若S】满足(Vq,6 W S1)(3m Z+(a,&m)J,则S1是Archimedean序半群.命题2212设S是序半群.R为S的主右理想，S为r-Archimedean序 半群当且仅当(Va S)=S.命题2.2.13若S为Archimedean(r-Archimedean)序半群，则下列两条成 立：(1)S无非平凡的滤子；(2)S的主(主右)理想根等于序半群S.下面介绍-Archimedean序半群的一些性质.定义2.2.14I27设S为序半群.若(Va,6e S)(3m 6 Z+)(而严 6(bSa,则称S为弱可换的.定理2215若S为f-Archimedean序半群，则下列各条成立：(1)S是弱交换序半群；(2)S无非平凡的滤子；(3)/为S的任意型主理想，则/7=S.证明 S为t-Archimedean序半群，则对任意的a.b e S,于是就 有 ab,ba S,存在 m W Z+,x W S,使得(ab)m a e 7,那么称/是半素的.定义3.L2设1是序半群S的理想.如果(Va;6e S)abel=ael 或者 be I,那么称I是素的.定义XU%)设I是序半群S的理想.若(Va,6 S)而 /。(mm Z+)a771 毛/或(3n G Z+)bn e I,则称I是半准素的.若S的每个理想是半准素的，则称S是半准素的.定义3.1.41281设/是序半群S的理想.若(Va,b W S)曲 W/n a W/或(加 Z+)bn I,则称I是准素的.若S的每个理想都是准素，则称S是准素的.显然，每个准素序半群都是半准素的.定义3.1.51网 设S为序半群.若S的左理想(右理想)均是理想.则称S为 左(右)duo的.如果S既是左duo又是右duo的.则称S是duo的.引理3.1.6设S为序半群.L(RJ)为S的左理想(右理想.理想),则L(R,I)为素的当且仅当L(R,I)为半素且半准素的.证明 设L为素理想.显然L是半素理想和半准素理想.反之，设E为 半素且半准素的，那么，对任意的a,b 6 S且ab W乙 存在m Z+,使 得，或存在n Z+,使得bn L.对任意的m Z+,存在p e Z+,11第三章Archimedean序半忤的理想有m$2P成立.由于a S,故有a2P-m S.由题设知L为理想，若心1 则a2P=a2r-mam e L.由于L是半素的，于是有a W L.同理可得bn e L、则bW即L为素理想.其它两种情况类似可证.下面介绍Z-Archimedean序半群上理想之间的关系及刻画.定理3.1.7若S是Z-Archimedean序半群，则S的每个左理想是准素理 想.证明 设S是/-Archimedean序半群，L是S的左理想.对任意的Q,b G S且而W 可以得到Sab C 5L C L,则（Sab C（=L.由于S是L Archimedean序半群，则存在y W S,m W Z+,使得bm or W 6c,于是有严5 yab 即从*1）y而.令 n=m+1,就 有那W gad W Sab C（Sab G L,即L是准素理想.推论3.1.8若S是Z-Archimedean序半群且是左duo的.则S是准素序 半群.定理3.1.9令5是/-Archimedean序半群，L是S的左理想，则L是半素 的当且仅当L是素的.证明 由定理3.1.7和引理3.1.6即得.类似于Z-Archimedean序半群，下面将给出在r-Archimedean序半群基础 上几种理想之间关系的刻画.命题3.1.10若S是r-Archimedean序半群，则S的每个右理想是半准素 理想.推论3.1.11若S是r-Archimedean序半群且是右duo的，则S是半准素 半群.命题3.1.12若S是r-Archimedean序半群.R是S的右理想，则R是半 素的当且仅当A是素的.12西北大学硕士学位论文3.2几类Archimedean序半群的等价刻画定义321仅91若对任意的工,ywS.有1Wg或gWe成立，则称X为链.引理3.2.2若X为链、则X的所有主理想关于通常意义下的集合包含关 系构成链.证明 对任意的Q,bX,由于X为链，故不妨设a Wb,则对任意的工 X,有工q W工b成立.于是可以得到，a (S6,由q的任意性即可知：Sa C(S6=(Sa C(Sb C(bJSbJbSJSbS.又由于ab,则有a W =(a C(6 C(bJSbJbSJSbS.同理可证得(aS C(bUSbUbSUSbS,(SaS C(bJSbjbSJSbS,故(a(J Sa(J aS U SaS=(a U(Sq J(aS U(5aSC(bJSbJbSJSbS,即 1(a)C 1(b).定义3.2对均 设S为序半群.若(Va S)(3t,y E S)a xay,(5)则称S为内察正则的.由(5)可以得到内禀正则序半群的等价定义：(Va GS)a e(Sa2S,或(V4 QS)AC(S42S.引理3.2.4若S为内典正则的，则S的每个理想是半素的.下面的定理刻画了 Archimedean序半群.定理3.2.5若S为内禀正则链序半群且对任意的a,b S,ab牟(SaS,则S为Archimedean序半群.证明 下文将分四步对其证明.(1)对任意的x e S.x E I(x),由于工4 G(SrS),由引理3.2.4可知,x2 e(Sc5,从而，工(S工司，于是有/(工)C(StS.又由于：13第三章Archimedean序半fit的理想(S1司 C(tUzSUStUS工5=/(1)，于是有 I(i)=(SxS).(2)对任意的干j/WS,有1(切=(xy|J Sr y U r yS|J SxySC(xSJSiSJxSJSxS c(工 u 工 sus 工 uses=(1).同理,IM C/(v),因此 I(xy)c/(x)n/(!/).设 t Z(x)n/(!/),由(D知,t 6(ShSJ 且 t W(SyS,则存在 a,b,c,d G S,使得 t or b,t cyd.这 样就有 t2 C(SLa,同理 有(Sg C 故对任意的a,b G SL,可以得出(Sla=(Sl6.对任意 的 a W Sl,有a C(SLa,从而，Sl=Uaes/。G Uaes/Sza】=(5闻显 然(Slq C Sl,于是有(S=SL.由于(Sw为主左理想，因此任何SL的子 集生成的理想都相同且等于Sl、这样即表明SL是左单序半群.充分性.设SL是左单序半群，即SL的任意非空左理想L=SL.于是对任 意的 a,6 Sl,有 b W Sl=(Sl：即/-Archimedean 序半群.推论3.2.8设SL是左duo序半群.若SL的每个左理想都是半素的,则5心是Z-Archimedean序半群当且仅当SL是单序半群.类似于Z-Archimedean序半群可以刻画出r-Archimedean序半群.命题3.2.9设Sr是序半群.若Sr的每个右理想是半素的，则Sr是T-Archimedean序半群当且仅当Sr是右单序半群.推论3210 Sh是右duo序半群.若Sr的每个右理想都是半素的,则SR是r-Archimedean序半群当且仅当Sr是单序半群.下面将给出四类Archimedean序半群的等价刻画.定理3.2.11设S1为duo序半群.下列各条等价：(1)S1 是/-Archimedean 序半群；(2)S1是 r-Archimedean 序半群；(3)S1 是 f-Archimedcan 序半群；(4)S1 是 Archimedean 序半群.证明 =(2)已知S1是/-Archimedean序半群，则对任意的a,b e S1,存在mW Z+,使得bm (S】q.由于理想(5旭是由a生成的最小左理想，同 时也是S1的右理想，于是有(S1q D(aS1.同理可知(Sa C(aS1.因此可以 得到(S】a=(aS1.从而有 bm G(aS1),即 51 是 r-Archimedean 序半群.(2)=(3)由题设知S】是r-Archimedean序半群，则对任意的Q,b 6 S 存在m G Z+,使得严(aS1.显然由上面的证明可以得到(Sa=(aS1,15第三章Archimedean序半楙的理想故 严w(s1a.于是有b2m e(aS(Sa C(aSa.令n=2m,即对任意 的Q,bW S1,存在n Z+,有9e(aSa成立，即知S1为/-Archimedean序半 群.(3)=(4)设S1是t-Archhn edean序半群.对任意的a,6 S1,存在工 Sm e Z+,满足匕加&axa.于是有产+i axab.即 6m+1 (SaS.令 n=m+1,对任意的a,b S1,存在n C Z+,使得bn (SaS成立，因此可 知S】为Archimedean序半群.(4)今(1)由(Sa是S1的左理想同时也是S1的理想且(SaS1是 由Q生成的最小理想可知(S】aS1C(Sa.同理可得(5阿C(S】aS】.由于S1是Archimedean序半群，对任意的a,b S1,存在m Z+,使 得评6(S】aS从而，bm e(Sa,即51是2-Archimedean序半群.引理321211网序半群S是左(右)单的当且仅当(VqWS)(Sa=S(aS=S).定理3.2.13设S为左单且右单序半群.下列各条等价：(1)S 是 Z-Archimcdcan 序半群；(2)S 是 r-Archimedean 序半群；(3)S 是 i-Archimcdcaii 序半群；(4)S 是 Archimedean 序半群.证明。设S是1-Archimedean序半群，对任意的a,b S,存 在m W Z+,使得产w(Sq.由引理3.2.12可得(Sa=S=(aS.从 而 严e(a5,即5是r-Archimedean序半群.(2)=设S是r-Archimedean序半群，对任意的a,b W S,存在m Z+,使得 bm (aS.由于非 W(aS=S=(Sa,故 b2m (aS(Sa C(aSa,这样 就表明S为i-Archimedean序半群.(3)=(4)与定理3.2.11的证明相似.(4)一设S是Archimedean序半群，对任意的a,b W S,存在m e Z+,16西北大学硕士学位论文使得 bm e(SaS.由引理 3.2.12 可知 bm G(SaS C(司=(Sa=(Sa,即可 得S是/-Archimedean序半群.定理3.2.14设S为弱交换序半群.下列各条等价：S是/-Archimedean序半群；(2)S 是 r-Archimedean 序半群；(3)S 是 t-Archimedean 序半群；(4)S 是 Archimedean 序半群.证明小设S是Z-Archimedean序半群，对任意的a,b W S,存 在 m e Z+,工 S,使得 bm xa,进一步，存在 n Z+,y e S,有(&m)n (xa)n ayx (aS,即对任意的 n,b S,存在 t=mn G Z+,满足 bf 6(aS.(2)今设S是r-Archimedean序半群，对任意的a,b S,存在m G Z+,使得bm e(aS,类似于(1)=(2)的证明可知存在力W S,满足W(Sa.于 是 bm+t G(aS(Sa C(aSa,即 S 是 t-Archimedean 序半群.(3)今(4)与定理3211的证明相似.(4)=设S是Archimedean序半群.对任意的a.b S,存在m Z+,叫y G S,使得严 xay,进一步，存在n Z+,c e S,满足(bm)n (xay)71 yexa 6(Sq.因此可得 S 是 1-Archimedean 序半群.17第四章k-正则序半群第四章7 T-正则序半群本章引入了 TH正则序半群及万-内正则序半群,讨论了这两类序半群的性质 及其上理想的性质.同时找到了在特殊条件下这两类序半群的滤子并用滤子刻 画了这两类特殊的序半群.4.1 7 T-正则序半群的刻画定义4.1.1130!设S为序半群.若(Va G S)(3m Z+)am (omSam,(6)则称S为7 T-正则的.由(6)可以得到万一正则序半群的等价定义：(Va W S)(3m Z+,x E S)am am e(R1L;(5)对任意的 q W S,存在 m Z+,有 Rn BCL 今 W(HB;(6)对任意的 q S,存在 m W Z+,有 RQQQL am (RQL(7)对任意的 a W S,存在 m e Z+,有产 w am E(RIB;(8)对任意的a W S,存在m W Z+,有小w Hn/PIQ0/w(A/Q.证明(1)=(2)设S是万-正则的.即对任意的a W S,存在m W Z+,工W S,满足设的口门/口，故有am amxam(4)设任意的a S,存在m W Z+,满足a1 e RQIQL.由引 理4.1.5知任意的右理想是拟理想且成立，故可得Qm RQIQL=W(RIL.19第四审7r-正则序半环(4)=(1)设 am w s,则由(4)可知 am G(am)n/(am)Cl 有am e(B(am)Z(am)L(am)C(J?(am)SL(am)C(fi(am)L(am)=(amUamS(amuSa 叫=eUcrSQ 叫，则存在t e UaSQm,使得Qtn 九若t=a2m,则am a2m=amam a2mam=即 am (amSam.()若 t e amsa7即存在工 w s,使得$amxam,则 am G(amSam,由出)可知S是万一正则序半群.(1)今(5)设S是7 T-正则的，于是对任意的a S,存在m G Z+,工 S,满 足/$amxam,设/W RQBQL,故有am amxam)=(amU51(11=(a2mUamm-于是存在t aTnJamSam,使得W t.若 =a2rn,则产 Q2m q4m=即 Qn e(it)若存在 x e S,使得 t=amxam,则 am (7)设S是馆正则的，即对任意的a S,存在m W Zx S,满 足产弓amzam.设/e Afl/n A于是可以得到：am amxam(amTam)x(amxaTn)=(amx)aTnx(aTniam)E(RS)IS(BSB)C RIB C(RIB,即俨w(R/司.(7)=(8)设任意的a W S存在m Z+,有am e 由于任意的拟理想是双理想，于是可知(RIQ.(8)=(4)设任意的a C S,存在m C Z+,有 RQl QL,由于任意的 左理想是拟理想，于是可知e(RIL.定义4.1.7(19)设4为S的任意型理想.若满足A=(A2,则称A为幕等 的.定理4.1.8设5是序半群.若下列条件中任意一条成立,则S为7 T-正则 的.(1)S是子江-正则序半群的并；(2)对于S的每个右理想R和每个左理想L,有7?r|LC(/?L；(3)S的所有左理想和右理想均为事等的且对于S的每个右理想R和左 理想L,(RL是S的拟理想.证明(1)设Q W S,由前提假设可知存在Sj a G 4,使得a S=Uaj Sa(Sa为”-正则序半群)，则存在8 C A使得。S由于Sff是7 T-正则 序半群且q Ss，则存在m G Z+,满足产e(amsam.进一步，S0 C S,于是 可以得到 amS3am C amSam.从而，(amS3arn C(aSa1,即 am e(amSam.(2)对任意的q S,存在m G Z+,由于amr(am)n;(am)21第四章7T-正则序半群C(r(a-)Z(a-)C(am|Jam51(11=(arn|JamS)(amUSarn)=(a2m u amSam U aTnSaTn(J amSSamC(a2m(Jam5am.且 a2m=amam 6(q2m J am5amj(amJ q g3m J吗C(a3m ULSa叫 C(产 Sa叫，于是就有 a7 Q(a2m U amSamC(amSamUamSamC(amSam U(amSam=(amSam,即am G(aroSam,S为以正则的.(3)设a S,存在m Z+,由于任意的左理想和右理想是案等的.于是有 am r(am)=(r(am)2=(am|JarnS(amUaTnS=(a2m Ua2mSU amSam U amSamSC(Qf同理可由am Z(am)得知Qm w(Sam.于是就有有*e(Samn(amSJ.又已 知(。加目和(S.m分别为s的右理想和左理想，于是可知am5和Sam均为 幕等的，从而有(Sa-n(amS C(Sa-l2A(a-S2C(SamSamP|(aTnSamS=(S(amSaw n(amSamS,一方面(aSa 叫=(am5am=(aTnS(am5aTn C(amSamSam C(amSSam=(amSSam=(产同廊叫.22西北大学硕士学位论文另一方面(QmS(Sam=(QmSSam C(aSa,这样就可以得到(产5。力=(amS(Sam.由于(产司(Sq叫为S的拟理想，故(产5。叫为S的拟理想.因此可以得出：(S(aTOSam n(amSamS C(amSam),故Qm e(SqE门(暧*司c gm Si,即S是？r-正则的.定义4.1.9130)设S为序半群.若(Va S)(3m Z+)G(Sa2mS,(7)则称S为7 T-内正则的.由(7)可得7 T-内正则序半群的等价定义：(Va S)(Bm E Z+,Bx,y W S)am am+n (BLB;(3)对任意的q S,存在m,n e Z+,有时+“BQQ=am+n W(BQ母(4)对任意的 a S,存在 Z+,有 am+n DQ=am+n (QLQ.证明(1)=必要性.S是作一正则且万-内正则的，即对任意的a S,存在 m,n 6 Z+,x,y,zE S、使得 am amTam,an ya2n z.设 am