2017年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案.doc

2017年湖南省普通高中学业水平考试
数学（真题）
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分100分。

一、 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体可以是（ ）
A、 正方体 B、圆柱 C、三棱柱 D、球
2.已知集合A=,B=,则中元素的个数为（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
3.已知向量a=(x,1),b=(4，2)，c=(6,3).若c=a+b,则x=( )
A、 -10 B、10 C、-2 D、2

4.执行如图2所示的程序框图，若输入x的值为-2，则输出的y=（ ）
A、-2
否
是
B、0
C、2
D、4
5.在等差数列中，已知，，
则公差d=（ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
6.既在函数的图像上，又在函数
的图像上的点是（ ）
A、 （0，0） B、（1，1） C、（2，） D、（，2）
7.如图3所示，四面体ABCD中，E,F分别为AC,AD的中点，
则直线CD跟平面BEF的位置关系是（ ）
A、平行
B、在平面内
C、相交但不垂直
D、相交且垂直
8.已知，则=（ ）
A、 B、 C、 D、
9.已知，则（ ）
A、 B、 C、 D、

图4
10、 如图4所示，正方形的面积为1.在正方形内随机撒
1000粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内，
则用随机模拟方法计算得阴影部分的面积为（ ）
A、 B、
C、 D、

二、 填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
11. 已知函数（其中）的最小正周期为，则
12.某班有男生30人，女生20人，用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区服务，则抽出的学生中男生比女生多 人。

13. 在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=4,b=3,,则的面积为 。
14. 已知点A（1，m）在不等式组表示的平面区域内，则实数m的取值范围为 。
15. 已知圆柱及其侧面展开图如图所示，则该圆柱的体积为 。

三、 解答题：本大题共有5小题，共40分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16. （本小题满分6分）

已知定义在区间上的函数的部分函数图象如图所示。
（1） 将函数的图像补充完整；
（2） 写出函数的单调递增区间.

17. （本小题满分8分）已知数列满足，且.
（1） 求及；
（2）设，求数列的前n项和 .

18. (本小题满分8分)为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取20名学生的成绩进行分析，得到如图7所示的频率分布直方图，
（1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数；
（2）从成绩不低于80分的两组学生中任选2人，求选出的两人来自同一组的概率.

19. （本小题满分8分）
已知函数
（1） 若m= -1,求和的值，并判断函数在区间（0，1）内是否有零点；
（2） 若函数的值域为[-2,),求实数m的值.

20. （本小题满分10分）
已知O为坐标原点，点P（1，）在圆M：上，
（1） 求实数的值；
（2） 求过圆心M且与直线OP平行的直线的方程；
（3） 过点O作互相垂直的直线，与圆M交于A,B两点，与圆M交于C,D两点，求的最大值.

2017年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
参考答案及评分标准
一、选择题(每小题4分，满分40分)
1. A 2. C 3. D 4.B 5. D 6. B 7. A 8. C 9. A 10. B
二 、填空题(每小题4分，满分20分)
11. 2 12. 1 13. 6 14. （0，3） 15.
三 、解答题(满分40分)
16、（6分）解析：（1）对函数
的图像补充如下图所示：…………3分
（2）由图可得函数 的单调递增区间为：
………………………………6分
17、（8分）解析：（1）因为 且
所以 ………………2分
所以数列 是首项为2，公比为3的等比数列
所以 ……………………………………4分
（2）由（1）知，故 …………5分
所以 的前 项和为：

18、（8分）解析：（1）根据频率分布直方图可估计本次测试成绩的众数为：
……………………4分
（2）根据已知条件可得在抽取的20名学生中，
成绩在区间 的人数为： ，这3人分别记为a,b,c
成绩在区间 的人数为：,这2人分别记为d,e
若从成绩不低于80分的两组学生中任选2人，其所有情况有：ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de共10个基本事件，
其中两人来自同一组所含基本事件有：ab,ac, bc, de共4个。
所以选出的两人来自同一组的概率为： ……………………8分
19、（8分）解析：（1）因为
所以 …………………………2分
又因为 时 是连续函数且
所以 在区间 内必有零点……………………4分
（2）因为当 时， ，此时 ；
当 时， ………………6分
而 的值域为 ，所以 …………8分
20、（10分）（1）因为点P（1，）在圆M：上
所以
………………3分
（2）因为直线OP的斜率为 ，圆M的圆心为
所以过圆心M且与直线OP平行的直线的方程为：
即…………6分
（3）因为圆M的标准方程为：， 故直线 的斜率均存在。
设直线 的方程为 ，则 的方程为
于是圆心M到直线 的距离为
于是
圆心M到直线 的距离为
所以
又由 可得 的取值范围是
这时

当且仅当 即 时取等号
所以 的最大值为4
7