1、(名师选题名师选题)(精选试题附答案)高中数学第十章概率名师选题(精选试题附答案)高中数学第十章概率名师选题 单选题 1、有 6 个相同的球,分别标有数字 1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取 1 个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”,则()A甲与丙相互独立 B甲与丁相互独立 C乙与丙相互独立 D丙与丁相互独立 答案:B 分析:根据独立事件概率关系逐一判断(甲)=16,(乙)=16,(丙)=536,(丁)=636=16,(甲丙)=0 (甲
2、)(丙),(甲丁)=136=(甲)(丁),(乙丙)=136(乙)(丙),(丙丁)=0 (丁)(丙),故选:B 小提示:判断事件,是否独立,先计算对应概率,再判断()()=()是否成立 2、分别统计了甲、乙两位同学 16 周的各周课外体育运动时长(单位:h),得如下茎叶图:则下列结论中错误的是()A甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 7.4 B乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于 8 C甲同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.4 D乙同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.6 答案:C 分析:结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.对于
3、A 选项,甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.3+7.52=7.4,A 选项结论正确.对于 B 选项,乙同学课外体育运动时长的样本平均数为:6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.116=8.50625 8,B 选项结论正确.对于 C 选项,甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值616=0.375 0.6,D 选项结论正确.故选:C 3、某人将一枚硬币连抛 20 次,正面朝上的情况出现了 12 次.若用A表示事件“正面向上”,则A的()A频率为35B概率为35C频率为12D概率接近35 答案:A
4、分析:根据频率和概率的知识确定正确选项.依题意可知,事件的频率为1220=35,概率为12.所以 A 选项正确,BCD 选项错误.故选:A 4、如图所示,1,2,3 表示三个开关,若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是 0.9,那么此系统的可靠性是()A0.999B0.981C0.980D0.729 答案:B 解析:求出开关 1、2 均正常工作的概率及开关 3 正常工作的概率,由相互独立事件概率公式、对立事件的概率公式即可得解.由题意,开关 1、2 在某段时间内均正常工作的概率1=0.9 0.9=0.81,开关 3 正常工作的概率2=0.9,故该系统正常工作的概率=1 (1 1)(1 2)=
5、1 (1 0.81)(1 0.9)=0.981,所以该系统的可靠性为0.981.故选:B.5、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,若事件=“向上的点数为3”,=“向上的点数为6”,=“向上的点数为3或6”,则有()A B C =D =答案:D 分析:根据事件的关系、和事件、积事件的定义逐一判断四个选项的正误,即可得出正确选项 对于 A:事件=“向上的点数为3”发生,事件=“向上的点数为6”一定不发生,故选项 A 不正确;对于 B:事件=“向上的点数为3或6”发生,事件=“向上的点数为6”不一定发生,但事件=“向上的点数为6”发生,事件=“向上的点数为3或6”一定发生,所以 ,故选项 B 不正确;对于
6、 C:事件和事件不能同时发生,=,故选项 C 不正确;对于 D:事件=“向上的点数为3”或事件=“向上的点数为6”发生,则事件=“向上的点数为3或6”发生,故选项 D 正确;故选:D 6、某公司为了促进技术部门之间良好的竞争风气,公司决定进行一次信息化技术比赛,三个技术部门分别为麒麟部,龙吟部,鹰隼部,比赛规则如下:每场比赛有两个部门参加,并决出胜负;每场比赛获胜的部门与未参加此场比赛的部门进行下一场的比赛;在比赛中,若有一个部门首先获胜两场,则本次比赛结束,该部门就获得此次信息化比赛的“优胜部门”已知在每场比赛中,麒麟部胜龙吟部的概率为13,麒麟部胜鹰隼部的概率为35,龙吟部胜鹰隼部的概率为
7、12当麒麟部与龙吟部进行首场比赛时,麒麟部获得“优胜部门”的概率是()A445B29C415D1345 答案:D 分析:由题设,麒麟部与龙吟部进行首场比赛且麒麟部获得“优胜部门”的情况有:1、首场麒麟部胜,第二场麒麟部胜;2、首场麒麟部胜,第二场鹰隼部胜,第三场龙吟部胜,第四场麒麟部胜;3、首场龙吟部胜,第二场鹰隼部胜,第三场麒麟部胜,第四场麒麟部胜;再由独立事件乘法公式及互斥事件的加法公式求概率即可.设事件:麒麟部与龙吟部先比赛麒麟部获胜;由于在每场比赛中,麒麟部胜龙吟部的概率为13,麒麟部胜鹰隼部的概率为35,龙吟部胜鹰隼部的概率为12,麒麟部获胜的概率分别是:()=1335+13(1 3
8、5)1213+(1 13)(1 12)3513=1345,故选:D 7、已知样本空间为,x为一个基本事件.对于任意事件A,定义()=0,1,,给出下列结论:()=1,()=0;对任意事件A,0 ()1;如果 =,那么()=()+();()+()=1.其中,正确结论的个数是()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案:D 分析:根据()的定义,利用分类讨论思想进行分析判定.任意 恒成立,任意 恒不成立,()=1,()=0,故正确;对任意事件A,()=0,1,,()0,1,0 ()1成立,故正确;如果 =,当 时,()=1,此时 或 .若 ,则 ,()=1,()=0,()+()=1,()=()
9、+()成立;时,()=0,()=1,()+()=1,()=()+()成立;当 时,()=0,()=0,()=0,那么()=()+()成立,正确;当 时,,此时()=1,()=0,()+()=1成立;当 时,,此时()=0,()=1,()+()=1成立,故正确.综上,正确的结论有 4 个,故选:D 8、把分别写有 1,2,3,4 的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人,每人至少一张,且若分得的卡片超过一张,则必须是连号,那么 2,3 连号的概率为()A23B13C35D14 答案:B 解析:根据列举法,列举出总的基本事件,以及满足条件的基本事件,基本事件个数之比即为所求概率.分三类情况,第一类 1,
10、2 连号,则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(12,3,4),(12,4,3),(3,12,4),(4,12,3),(3,4,12),(4,3,12),有 6 种分法;第二类 2,3 连号,则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1,23,4),(4,23,1),(23,1,4),(23,4,1),(1,4,23),(4,1,23),有 6 种分法;第三类 3,4 连号,则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1,2,34),(2,1,34),(34,1,2),(34,2,1),(1,34,2),(2,34,1),有 6 种分法;共有 18 种分法,则 2,3 连号的概率为=618=13.故选:B.小
11、提示:本题主要考查求古典概型的概率,属于基础题型.9、齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马某天,齐王与田忌赛马,双方约定:比赛三局,每局各出一匹,每匹马赛一次,赢得两局者为胜,则田忌获胜概率为()A112B16C14D13 答案:B 分析:设齐王的三匹马分别为1,2,3,田忌的三匹马分别为1,2,3,列举所有比赛的情况,利用古典概型的概率公式计算即可得出结果.设齐王的三匹马分别为1,2,3,田忌的三匹马分别为1,2,3,所有比赛的情况::(1,1)、(2,2)、(3,3),齐王获胜三局;(1
12、,1)、(2,3)、(3,2),齐王获胜两局;(1,2)、(2,1)、(3,3),齐王获胜两局;(1,2)、(2,3)、(3,1),齐王获胜两局;(1,3)、(2,1)、(3,2),田忌获胜两局;(1,3)、(2,2)、(3,1),齐王获胜两局,共 6 种情况,则田忌胜 1 种情况,故概率为=16 故选:B 小提示:本题考查了古典概型的概率计算问题,考查了理解辨析和数学运算能力,属于中档题目.10、等可能地从集合1,2,3的所有子集中任选一个,选到非空真子集的概率为()A78B34C1516D14 答案:B 分析:写出集合1,2,3的所有子集,再利用古典概率公式计算作答.集合1,2,3的所有子
13、集有:,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3,共 8 个,它们等可能,选到非空真子集的事件A有:1,2,3,1,2,1,3,2,3,共 6 个,所以选到非空真子集的概率为()=68=34.故选:B 填空题 11、一家药物公司试验一种新药,在 500 个病人中试验,其中 307 人有明显疗效,120 人有疗效但疗效一般,剩余的人无疗效,则没有明显疗效的频率是_ 答案:0.386#193500 分析:根据题意得到没有明显疗效的人数,然后利用频率的计算公式即可得到答案 解:由题意可得没有明显疗效的人数为500 307=193,所以没有明显疗效的频率为193500=0.386,所以答案是:0
14、.386 12、同时抛三枚均匀的硬币,则样本点的总个数和恰有 2 个正面朝上的样本点个数分别为_.答案:8,3 分析:利用列举法计数可得 同时抛三枚均匀的硬币的可能的不同结果有:正正正,正正反,正反正,反正正,反反正,反正反,正反反,反反反,样本点的总个数为 8,恰好有 2 个正面朝上的样本点为正正反、正反正、反正正,共 3 个.故答案为 8,3.13、若随机事件A在n次试验中发生了m次,则当试验次数n很大时,可以用事件A发生的频率来估计事件A的概率,即()_ 答案:分析:根据随机事件的频率、概率等知识确定正确答案.在相同的条件下,随着试验次数的增加,事件发生的频率会在随机事件发生的概率()附
15、近摆动并趋于稳定,这个性质成为频率的稳定性.因此,可以用事件A发生的 频率来估计事件A的概率,即().所以答案是:14、由 1,2,3,1000 这个 1000 正整数构成集合,先从集合中随机取一个数,取出后把放回集合,然后再从集合中随机取出一个数,则13的概率为_ 答案:16672000 解析:根据题意,=|1 1000,且,,要使得13,即:13,分类讨论当=1,2,3时,对应的的值,得出所有取法,即可求出13的概率.解:由题可知,=|1 1000,且,,要使得13,即:13,则有:当=1时,=1或2,有 2 种取法;当=2时,的取值增加 3、4、5,有 2+3 种取法;当=3时,的取值增
16、加 6、7、8,有2+2 3种取法;当=333时,有2+332 3种取法;当334 1000时,都有 1000 种取法.故(13)=2+(2+3)+(2+23)+(2+3323)+667100010002=333(2+1663)+667100010002=16672000.所以答案是:16672000.小提示:本题考查古典概型求概率,考查分类讨论思想和计算能力.15、笼子中有 4 只鸡和 3 只兔,依次取出一只,直到 3 只兔全部取出.记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间=_.答案:0,2,4,6,8 解析:由取动物的次数来确定样本点。最少需要取 3 次,最多需要取 7 次,那么剩余鸡的只数
17、最多 4 只,最少 0 只,所以剩余动物的脚数可能是 8,6,4,2,0.所以答案是:0,2,4,6,8 小提示:注意鸡有 2 只脚,兔子有 4 只脚,以免计算错误。解答题 16、已知集合=2,3,=4,5,6),从两个集合中各取一个元素构成点的坐标(1)写出这个试验的样本空间;(2)求这个试验样本点的总数;(3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点;(4)说出事件=(2,4),(4,2)所表示的实际意义 答案:(1)答案见解析;(2)12(3)(3,5),(3,6),(5,3),(6,3)(4)得到的点是第三象限内的点.分析:(1)将样本点一一列出在花括号内可得样本空间;(
18、2)由样本空间可得样本点的个数;(3)找出横纵坐标都大于0的样本点即可;(4)根据事件中样本点的坐标可得实际意义.(1)样本空间为:(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3)(2)由知这个试验样本点的总数为12.(3)得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点为(3,5),(3,6),(5,3),(6,3).(4)事件=(2,4),(4,2)表示得到的点是第三象限内的点.17、在高一或高二学生的概率为1114;高二或高三学生的概率为47;高三学生的概率为314这三个条件中任选一个,补充在下
19、面的问题中,并解答.已知某高中的高一有学生 600 人,高二有学生 500 人,高三有学生a人,若从所有学生中随机抽取 1 人,抽到_.(1)求a的值;(2)若按照高一和高三学生人数的比例情况,从高一和高三的所有学生中随机抽取 6 人,再从这 6 人中随机抽取2 人,求至少有 1 人是高三学生的概率.答案:(1)300(2)35 分析:(1)若选,则由题意可得600+500600+500+=1114,从而可求出的值,若选,则由题意可得500+600+500+=47,从而可求出的值,若选,则由题意可得600+500+=314,从而可求出的值,(2)根据分层抽样的定义可求得抽取的 6 人中,高一有
20、 4 人,高三有 2 人,然后利用列举法列出这 6 人中任取2 人的所有情况,再找出抽取的 2 人中至少有 1 人是高三学生的情况,最后利用古典概型的概率公式求解即可(1)选.依题意,从所有学生中随机抽取 1 人,抽到高一或高二学生的概率为600+500600+500+=11001100+=1114,解得=300,所以a的值为 300.选.依题意,从所有学生中随机抽取 1 人,抽到高一或高三学生的概率为500+600+500+=500+1100+=47,解得=300,所以a的值为 300.选.依题意,从所有学生中随机抽取 1 人,抽到高三学生的概率为600+500+=314,解得=300,所以
21、a的值为 300.(2)第一步:求出抽取的 6 人中高一高三学生的人数 由(1)知,高一高三学生人数比为 2:1,所以抽取的 6 人中,高一有 4 人,高三有 2 人.第二步:列出从抽取的 6 人中任取 2 人的所有情况 高一的 4 人记为a,b,c,d,高三的 2 人记为A,B,则从这 6 人中任取 2 人的所有情况为a,b,a,c,a,d,a,A,a,B,b,c,b,d,b,A,b,B,c,d,c,A,c,B,d,A,d,B,A,B,共 15 种.第三步:列出至少有 1 人是高三学生的情况 抽取的 2 人中至少有 1 人是高三学生的情况有a,A,a,B,b,A,b,B,c,A,c,B,d,
22、A,d,B,A,B,共 9 种.第四步:根据古典概型的概率公式得解 至少有 1 人是高三学生的概率为915=35.18、一个不透明的袋子中装有 5 个小球,其中有 3 个红球,2 个白球,这些球除颜色外完全相同.(1)记事件为“一次摸出 2 个球,摸出的球为一个红球,一个白球”.求();(2)记事件为“第一次摸出一个球,记下颜色后将它放回袋中,再次摸出一个球,两次摸出的球为不同颜色的球”,记事件为“第一次摸出一个球,不放回袋中,再次摸出一个球,两次摸出的球为不同颜色的球”,求证:()()=15().答案:(1)35;(2)证明见解析.解析:(1)列举出从袋中一次摸出 2 个球的所有基本事件,找
23、出其中满足事件的基本事件有 6 个,即可求解();(2)同样列举出从袋中第一次摸出一个球,记下颜色后将它放回袋中,再次摸出一个球的所有基本事件,找出其中满足事件的基本事件;同理列举出从袋中第一次摸出一个球,不放回袋中,再次摸出一个球的所有基本事件,找出其中满足事件的基本事件,即可计算出()()=15().解:(1)记这 3 个红球为1,2,3,2 个白球记为1,2,则从袋中一次摸出 2 个球的所有基本事件为:(1,2),(1,3),(1,1),(1,2),(2,3),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(1,2)共 10 个,其中满足事件的基本事件有 6 个,所以()=610=35
24、.(2)从袋中第一次摸出一个球,记下颜色后将它放回袋中,再次摸出一个球的所有基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(3,1),(3,2),(1,1),(1,2),(1,3),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(2,1),(2,2)共 25 个,满足事件的基本事件有 12 个,所以()=1225.从袋中第一次摸出一个球,不放回袋中,再次摸出一个球的所有基本事件为(1,2),(1,3),(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(2,1),
25、(2,2),(3,1),(3,2),(3,1),(3,2),(1,1),(1,2),(1,3),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(2,1)共 20 个,满足事件的基本事件有 12 个,所以()=1220=35.因此:()()=351225=325,又()=35,所以()()=15().【点晴】方法点晴:等可能事件概率一般用列举法列举出所有基本事件,找出满足所求事件的基本事件个数,直接用公式求得概率.19、某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费 90 元,50 元,20
26、元;对于 D 级品,厂家每件要赔偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为 25 元/件,乙分厂加工成本费为 20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了 100 件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 28 17 34 21(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率;(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务
27、?答案:(1)甲分厂加工出来的级品的概率为0.4,乙分厂加工出来的级品的概率为0.28;(2)选甲分厂,理由见解析.分析:(1)根据两个频数分布表即可求出;(2)根据题意分别求出甲乙两厂加工100件产品的总利润,即可求出平均利润,由此作出选择(1)由表可知,甲厂加工出来的一件产品为级品的概率为40100=0.4,乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为28100=0.28;(2)甲分厂加工100件产品的总利润为40 (90 25)+20 (50 25)+20 (20 25)20 (50+25)=1500元,所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件;乙分厂加工100件产品的总利润为 28 (90 20)+17 (50 20)+34 (20 20)21 (50+20)=1000元,所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件 故厂家选择甲分厂承接加工任务 小提示:本题主要考查古典概型的概率公式的应用,以及平均数的求法,并根据平均值作出决策,属于基础题