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(名师选题名师选题)（精选试题附答案）高中数学第十章概率名师选题（精选试题附答案）高中数学第十章概率名师选题 单选题 1、有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则（）A甲与丙相互独立 B甲与丁相互独立 C乙与丙相互独立 D丙与丁相互独立 答案：B 分析：根据独立事件概率关系逐一判断(甲)=16，(乙)=16，(丙)=536，(丁)=636=16，(甲丙)=0 (甲)(丙)，(甲丁)=136=(甲)(丁)，(乙丙)=136(乙)(丙)，(丙丁)=0 (丁)(丙)，故选：B 小提示：判断事件,是否独立，先计算对应概率，再判断()()=()是否成立 2、分别统计了甲、乙两位同学 16 周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 7.4 B乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于 8 C甲同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.4 D乙同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.6 答案：C 分析：结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.对于 A 选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.3+7.52=7.4，A 选项结论正确.对于 B 选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.116=8.50625 8，B 选项结论正确.对于 C 选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值616=0.375 0.6，D 选项结论正确.故选：C 3、某人将一枚硬币连抛 20 次，正面朝上的情况出现了 12 次.若用A表示事件“正面向上”，则A的（）A频率为35B概率为35C频率为12D概率接近35 答案：A 分析：根据频率和概率的知识确定正确选项.依题意可知，事件的频率为1220=35，概率为12.所以 A 选项正确，BCD 选项错误.故选：A 4、如图所示，1，2，3 表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是 0.9，那么此系统的可靠性是（）A0.999B0.981C0.980D0.729 答案：B 解析：求出开关 1、2 均正常工作的概率及开关 3 正常工作的概率，由相互独立事件概率公式、对立事件的概率公式即可得解.由题意，开关 1、2 在某段时间内均正常工作的概率1=0.9 0.9=0.81，开关 3 正常工作的概率2=0.9，故该系统正常工作的概率=1 (1 1)(1 2)=1 (1 0.81)(1 0.9)=0.981,所以该系统的可靠性为0.981.故选：B.5、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件=“向上的点数为3”，=“向上的点数为6”，=“向上的点数为3或6”，则有（）A B C =D =答案：D 分析：根据事件的关系、和事件、积事件的定义逐一判断四个选项的正误，即可得出正确选项 对于 A：事件=“向上的点数为3”发生，事件=“向上的点数为6”一定不发生，故选项 A 不正确；对于 B：事件=“向上的点数为3或6”发生，事件=“向上的点数为6”不一定发生，但事件=“向上的点数为6”发生，事件=“向上的点数为3或6”一定发生，所以 ，故选项 B 不正确；对于 C：事件和事件不能同时发生，=，故选项 C 不正确；对于 D：事件=“向上的点数为3”或事件=“向上的点数为6”发生，则事件=“向上的点数为3或6”发生，故选项 D 正确；故选：D 6、某公司为了促进技术部门之间良好的竞争风气，公司决定进行一次信息化技术比赛，三个技术部门分别为麒麟部，龙吟部，鹰隼部，比赛规则如下：每场比赛有两个部门参加，并决出胜负；每场比赛获胜的部门与未参加此场比赛的部门进行下一场的比赛；在比赛中，若有一个部门首先获胜两场，则本次比赛结束，该部门就获得此次信息化比赛的“优胜部门”已知在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为13，麒麟部胜鹰隼部的概率为35，龙吟部胜鹰隼部的概率为12当麒麟部与龙吟部进行首场比赛时，麒麟部获得“优胜部门”的概率是（）A445B29C415D1345 答案：D 分析：由题设，麒麟部与龙吟部进行首场比赛且麒麟部获得“优胜部门”的情况有：1、首场麒麟部胜，第二场麒麟部胜；2、首场麒麟部胜，第二场鹰隼部胜，第三场龙吟部胜，第四场麒麟部胜；3、首场龙吟部胜，第二场鹰隼部胜，第三场麒麟部胜，第四场麒麟部胜；再由独立事件乘法公式及互斥事件的加法公式求概率即可.设事件：麒麟部与龙吟部先比赛麒麟部获胜；由于在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为13，麒麟部胜鹰隼部的概率为35，龙吟部胜鹰隼部的概率为12，麒麟部获胜的概率分别是：()=1335+13(1 35)1213+(1 13)(1 12)3513=1345，故选：D 7、已知样本空间为，x为一个基本事件.对于任意事件A，定义()=0,1,，给出下列结论：()=1,()=0；对任意事件A，0 ()1；如果 =，那么()=()+()；()+()=1.其中，正确结论的个数是（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案：D 分析：根据()的定义，利用分类讨论思想进行分析判定.任意 恒成立，任意 恒不成立，()=1,()=0，故正确；对任意事件A，()=0,1,，()0,1，0 ()1成立，故正确；如果 =，当 时，()=1，此时 或 .若 ，则 ,()=1,()=0，()+()=1，()=()+()成立；时，()=0,()=1，()+()=1，()=()+()成立；当 时，()=0,()=0,()=0，那么()=()+()成立，正确；当 时，,此时()=1,()=0,()+()=1成立；当 时，,此时()=0,()=1,()+()=1成立，故正确.综上，正确的结论有 4 个，故选：D 8、把分别写有 1，2，3，4 的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么 2，3 连号的概率为（）A23B13C35D14 答案：B 解析：根据列举法，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数之比即为所求概率.分三类情况，第一类 1，2 连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(12,3,4)，(12,4,3)，(3,12,4)，(4,12,3)，(3,4,12)，(4,3,12)，有 6 种分法；第二类 2，3 连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1,23,4)，(4,23,1)，(23,1,4)，(23,4,1)，(1,4,23)，(4,1,23)，有 6 种分法；第三类 3，4 连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1,2,34)，(2,1,34)，(34,1,2)，(34,2,1)，(1,34,2)，(2,34,1)，有 6 种分法；共有 18 种分法，则 2，3 连号的概率为=618=13.故选：B.小提示：本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型.9、齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（）A112B16C14D13 答案：B 分析：设齐王的三匹马分别为1,2,3，田忌的三匹马分别为1,2,3，列举所有比赛的情况，利用古典概型的概率公式计算即可得出结果.设齐王的三匹马分别为1,2,3，田忌的三匹马分别为1,2,3，所有比赛的情况:：(1,1)、(2,2)、(3,3)，齐王获胜三局；(1,1)、(2,3)、(3,2)，齐王获胜两局；(1,2)、(2,1)、(3,3)，齐王获胜两局；(1,2)、(2,3)、(3,1)，齐王获胜两局；(1,3)、(2,1)、(3,2)，田忌获胜两局；(1,3)、(2,2)、(3,1)，齐王获胜两局，共 6 种情况，则田忌胜 1 种情况，故概率为=16 故选：B 小提示：本题考查了古典概型的概率计算问题，考查了理解辨析和数学运算能力，属于中档题目.10、等可能地从集合1,2,3的所有子集中任选一个，选到非空真子集的概率为（）A78B34C1516D14 答案：B 分析：写出集合1,2,3的所有子集，再利用古典概率公式计算作答.集合1,2,3的所有子集有：,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3，共 8 个，它们等可能，选到非空真子集的事件A有：1,2,3,1,2,1,3,2,3，共 6 个，所以选到非空真子集的概率为()=68=34.故选：B 填空题 11、一家药物公司试验一种新药，在 500 个病人中试验，其中 307 人有明显疗效，120 人有疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率是_ 答案：0.386#193500 分析：根据题意得到没有明显疗效的人数，然后利用频率的计算公式即可得到答案 解：由题意可得没有明显疗效的人数为500 307=193，所以没有明显疗效的频率为193500=0.386，所以答案是：0.386 12、同时抛三枚均匀的硬币，则样本点的总个数和恰有 2 个正面朝上的样本点个数分别为_.答案：8，3 分析：利用列举法计数可得 同时抛三枚均匀的硬币的可能的不同结果有：正正正，正正反，正反正，反正正，反反正，反正反，正反反，反反反，样本点的总个数为 8，恰好有 2 个正面朝上的样本点为正正反、正反正、反正正，共 3 个.故答案为 8，3.13、若随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验次数n很大时，可以用事件A发生的频率来估计事件A的概率，即()_ 答案：分析：根据随机事件的频率、概率等知识确定正确答案.在相同的条件下，随着试验次数的增加，事件发生的频率会在随机事件发生的概率()附近摆动并趋于稳定，这个性质成为频率的稳定性.因此，可以用事件A发生的 频率来估计事件A的概率，即().所以答案是：14、由 1，2，3，1000 这个 1000 正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则13的概率为_ 答案：16672000 解析：根据题意，=|1 1000，且,，要使得13，即：13，分类讨论当=1,2,3时，对应的的值，得出所有取法，即可求出13的概率.解：由题可知，=|1 1000，且,，要使得13，即：13，则有：当=1时，=1或2，有 2 种取法；当=2时，的取值增加 3、4、5，有 2+3 种取法；当=3时，的取值增加 6、7、8，有2+2 3种取法；当=333时，有2+332 3种取法；当334 1000时，都有 1000 种取法.故(13)=2+(2+3)+(2+23)+(2+3323)[phone]=333(2+1663)[phone]=16672000.所以答案是：16672000.小提示：本题考查古典概型求概率，考查分类讨论思想和计算能力.15、笼子中有 4 只鸡和 3 只兔，依次取出一只，直到 3 只兔全部取出.记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间=_.答案：0,2,4,6,8 解析：由取动物的次数来确定样本点。最少需要取 3 次，最多需要取 7 次，那么剩余鸡的只数最多 4 只，最少 0 只，所以剩余动物的脚数可能是 8，6，4，2，0.所以答案是：0,2,4,6,8 小提示：注意鸡有 2 只脚，兔子有 4 只脚，以免计算错误。解答题 16、已知集合=2,3，=4,5,6)，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验样本点的总数；(3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；(4)说出事件=(2,4),(4,2)所表示的实际意义 答案：(1)答案见解析；(2)12(3)(3,5),(3,6),(5,3),(6,3)(4)得到的点是第三象限内的点.分析：（1）将样本点一一列出在花括号内可得样本空间；（2）由样本空间可得样本点的个数；（3）找出横纵坐标都大于0的样本点即可；（4）根据事件中样本点的坐标可得实际意义.(1)样本空间为：(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3)(2)由知这个试验样本点的总数为12.(3)得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点为(3,5),(3,6),(5,3),(6,3).(4)事件=(2,4),(4,2)表示得到的点是第三象限内的点.17、在高一或高二学生的概率为1114；高二或高三学生的概率为47；高三学生的概率为314这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.已知某高中的高一有学生 600 人，高二有学生 500 人，高三有学生a人，若从所有学生中随机抽取 1 人，抽到_.(1)求a的值；(2)若按照高一和高三学生人数的比例情况，从高一和高三的所有学生中随机抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取2 人，求至少有 1 人是高三学生的概率.答案：(1)300(2)35 分析：（1）若选，则由题意可得600+500600+500+=1114，从而可求出的值，若选，则由题意可得500+600+500+=47，从而可求出的值，若选，则由题意可得600+500+=314，从而可求出的值，（2）根据分层抽样的定义可求得抽取的 6 人中，高一有 4 人，高三有 2 人，然后利用列举法列出这 6 人中任取2 人的所有情况，再找出抽取的 2 人中至少有 1 人是高三学生的情况，最后利用古典概型的概率公式求解即可（1）选.依题意，从所有学生中随机抽取 1 人，抽到高一或高二学生的概率为600+500600+500+=11001100+=1114，解得=300，所以a的值为 300.选.依题意，从所有学生中随机抽取 1 人，抽到高一或高三学生的概率为500+600+500+=500+1100+=47，解得=300，所以a的值为 300.选.依题意，从所有学生中随机抽取 1 人，抽到高三学生的概率为600+500+=314，解得=300，所以a的值为 300.（2）第一步：求出抽取的 6 人中高一高三学生的人数 由（1）知，高一高三学生人数比为 2：1，所以抽取的 6 人中，高一有 4 人，高三有 2 人.第二步：列出从抽取的 6 人中任取 2 人的所有情况 高一的 4 人记为a，b，c，d，高三的 2 人记为A，B，则从这 6 人中任取 2 人的所有情况为a，b，a，c，a，d，a，A，a，B，b，c，b，d，b，A，b，B，c，d，c，A，c，B，d，A，d，B，A，B，共 15 种.第三步：列出至少有 1 人是高三学生的情况 抽取的 2 人中至少有 1 人是高三学生的情况有a，A，a，B，b，A，b，B，c，A，c，B，d，A，d，B，A，B，共 9 种.第四步：根据古典概型的概率公式得解 至少有 1 人是高三学生的概率为915=35.18、一个不透明的袋子中装有 5 个小球，其中有 3 个红球，2 个白球，这些球除颜色外完全相同.（1）记事件为“一次摸出 2 个球，摸出的球为一个红球，一个白球”.求()；（2）记事件为“第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”，记事件为“第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”，求证：()()=15().答案：（1）35；（2）证明见解析.解析：（1）列举出从袋中一次摸出 2 个球的所有基本事件，找出其中满足事件的基本事件有 6 个，即可求解()；（2）同样列举出从袋中第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件，找出其中满足事件的基本事件；同理列举出从袋中第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件，找出其中满足事件的基本事件，即可计算出()()=15().解：（1）记这 3 个红球为1,2,3，2 个白球记为1,2，则从袋中一次摸出 2 个球的所有基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,1)，(1,2)，(2,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(1,2)共 10 个，其中满足事件的基本事件有 6 个，所以()=610=35.（2）从袋中第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,1)，(3,2)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,1)，(2,2)共 25 个，满足事件的基本事件有 12 个，所以()=1225.从袋中第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,1)，(3,2)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,1)共 20 个，满足事件的基本事件有 12 个，所以()=1220=35.因此：()()=351225=325，又()=35，所以()()=15().【点晴】方法点晴：等可能事件概率一般用列举法列举出所有基本事件，找出满足所求事件的基本事件个数，直接用公式求得概率.19、某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费 90 元，50 元，20 元；对于 D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为 25 元/件，乙分厂加工成本费为 20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 28 17 34 21（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?答案：（1）甲分厂加工出来的级品的概率为0.4，乙分厂加工出来的级品的概率为0.28；（2）选甲分厂，理由见解析.分析：（1）根据两个频数分布表即可求出；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工100件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为级品的概率为40100=0.4，乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为28100=0.28；（2）甲分厂加工100件产品的总利润为40 (90 25)+20 (50 25)[phone] (50+25)=1500元，所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；乙分厂加工100件产品的总利润为 28 (90 20)+17 (50 20)[phone] (50+20)=1000元，所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件 故厂家选择甲分厂承接加工任务 小提示：本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题