三角函数性和e指数形式的傅里叶变换.doc

三角级数、傅里叶级数
对于所有在以2pi为周期的函数f(x)，可以用一组如下的三角函数系将其展开：
1，cosx，sinx，cox2x，sin2x，……，coxnx，sinnx，……
显然，这组基在[-pi,pi]上是正交的，因此可以在周期区间求积分获得函数f(x)在以三角函数系为基的展开系数，或者说以三角函数系为坐标的投影值a0,an,bn……
一个一般的函数f(x)可以表示为奇函数和偶函数的叠加，因此它的展开既含有正弦项又含有余弦项，但偶函数的展开仅含有常数项a0和正弦项，相似的，奇函数展开仅含有余弦项。

傅里叶级数的复数形式
根据欧拉公式e^jx=cosx+jsinx，任意正弦、余弦项可以用复指表示，即cosx=(e^jx+e^-jx)/2，sinx=(e^jx-e^-jx)/2j。所以，任何一个周期函数f(x)既可以在三角函数系上表出也可以在复指数系1，e^jx，……，e^jnx上表出，在不同的坐标系之间，存在映射关系。但重要的是，由于积分变换的核函数形式发生改变，其物理意义也将有所变化。由于复数的引入，每一个复指数e^jnx相对于三角函数系都变为一个二维量，其物理含义是一条三维螺旋线。其道理非常简单，一个实参a表示数轴上的一点，而一个复数a+bj表示二维坐标上的一点，所以cosx，sinx分别表示
一条二维曲线，而e^jx=cosx+jsinx是一条空间三维曲线。

傅里叶变换
周期信号用傅里叶级数表示,非周期信号可以借助傅里叶变换进行.
对实信号做傅立叶变换时，如果按指数e^jωt为核来求，我们将得到双边频谱。以角频率为Ω的余弦信号为例，它有具有位于±Ω两处的，幅度各为0.5，相角为零的频率特性。实际上，COSΩt就是e^jΩt与e^j-Ωt两条螺旋线的叠加，他们虚部刚好对消，只剩下实部。
Ω1与Ω2两个角速度的螺旋线坐标值的叠加并不等于角速度Ω1+Ω2，因为从角速度到螺旋线的映射不是线性关系。这一现象正体现了频率的正交特性,也是频率分析理论存在的基础.
经过傅立叶变换得到的负频率表示一条反向旋转的螺旋线,而复频率表示一条整体改变90度相位的螺旋线，它们分别与正频率,实频相对应,都表示一个特定的螺旋线，并没有玄妙的含义。

连续频谱
周期信号用傅里叶级数展开所获得频率线状谱的物理意义十分明确,即整个信号由所有谱线存在处频率分量叠加而成.比如信号COSΩt对应Ω与-Ω处两根谱线.

困难的问题是对连续谱的理解.以下为标准的傅里叶变换对:
由于存在关系式:e^j-wt=cos-wt+j*sin-wt,再联想一个信号在三角函数系上的展开,可以认为上述傅里叶变换的意义是得到信号x(t)实部的cos-wt系数以及x(t)虚部的sin-wt系数.又由于cos的偶函数性质,sin的奇函数性质以及j*j=-1这一定义,对于某一个特定的w',出现在变换式左边的将是x(t)实部的cosw't系数以及x(t)虚部的sinw't系数,两者的加和显然可以用e^jwt的系数表示.

假如直接以几何意义来思考,为什么傅里叶变换式两端正负号不一致,也很有趣.回到三角函数展开,在周期[-pi,pi]上,只有coswx与coswx的乘积不为零,这也是正交性.而在三维空间中,一条螺旋线与它自身的乘积再做积分却是零,非要与它每一点的共轭值相乘才不为零.造成这种形式不统一的根源,可以认为一维是一种特例,而二维是较普遍的表达,也可以认为实数的共轭是它本身,而复数共轭虚部相反.

连续频谱意义 
现在来看连续谱线的含义,它与概率密度函数一样,只有相对的意义,也就是说,在频谱上高度相同的两点,只表示这两点含对应频率给信号的贡献相同,而无法得出任一频率分量本身的能量.这与概率密度函数是相同的,任何一点的概率取值都是零,但概率密度函数曲线相同高度处代表可能性相同.出现这一问题的根源可能是微积分,或者说是"极限"带来的困绕,因为物理世界中,时间,能量,都有最小量值,不可再分.那么,我们可以仅仅把微积分看作只是一种数学处理,对微小离散累加的近似.因此连续谱线可以理解成相当多,相当细密离散谱线束的近似,但每一根离散谱线的高度值并非其对信号的贡献,仅仅表示一个相对的意义.依然可以借助概率密度函数的意义来理解,离散分布律对应的概率线,线有多高,随机变量取值就有多大可能性,在连续概率密度函数中,假如化为微小离散的分布律线,将不再是原来的高度,而应该用该值微笑领域内与原连续曲线所围面积来替代其高度,这一理解与从频谱回到信号的傅里叶变反换是吻合的.

为了便于理解,我们重新叙述整个问题:1,对于周期信号,由于其由多个三角函数线性叠加而成,而三角函数本身又具有正交性,那么通过如下的运算:

即任何基函数与原信号相乘后做区间积分,就可以得到任意特定基函数在区间平方后曲线所围面积与该基在原信号中加权系数之积.显然,要把基函数平方曲线所围面积的值去除,才能得到系数净值.因此,在上述式子前,要除以一个pi,也就是去掉了所围面积.

2,那么,对于非周期信号,首先我们可以视其为一个周期极长的信号,而且这个信号只在周期中的一部分有非零值,当然,这个信号只有部分非零并不影响所有的操作和理解.在周期信号的展开中,所有可能包含的基函数为其周期的分数也即这些基函数频率是原信号频率的倍数.比如一个2Hz的周期信号,他包含的基函数只可能是偶数Hz的三角函数.因此,我们假设一个信号的周期特别长,也即频率特别低,会导致什么呢?当周期长到趋近于极限,频率也同时低到趋近于极限,结合时间量子的概念,可以认为这个极端是原子频率,即一个最小的频率.那么,对这个非周期信号展开时,所有频率都有可能对其有贡献,因为原信号的频率低到了一个原子频率.于是,对一个非周期,或者说是一个周期无限长信号展开时,我们必须考虑所有可能的频率分量,实际上,这些微间隙量子化的频率值并不连续,但是由于它们非常细蜜,可以用人类思维理念中虚拟出来的"连续"这一概念来近似.可以想到的是,由于频率分量足够多,每一分量的权值系数将非常小,实际上,对比周期信号的展开式,我们发现,在傅里叶积分式前,并没有去除基函数平方在周期内所围的面积值,因此,用连续近似繁多离散的频谱起伏曲线只有相对的意义.
3、通过活动，使学生养成博览群书的好习惯。
B比率分析法和比较分析法不能测算出各因素的影响程度。√
C采用约当产量比例法，分配原材料费用与分配加工费用所用的完工率都是一致的。Ｘ
C采用直接分配法分配辅助生产费用时，应考虑各辅助生产车间之间相互提供产品或劳务的情况。错
C产品的实际生产成本包括废品损失和停工损失。√
C成本报表是对外报告的会计报表。×
C成本分析的首要程序是发现问题、分析原因。×
C成本会计的对象是指成本核算。×
C成本计算的辅助方法一般应与基本方法结合使用而不单独使用。√
C成本计算方法中的最基本的方法是分步法。X
D当车间生产多种产品时，“废品损失”、“停工损失”的借方余额，月末均直接记入该产品的产品成本
中。×
D定额法是为了简化成本计算而采用的一种成本计算方法。×
F“废品损失”账户月末没有余额。√
F废品损失是指在生产过程中发现和入库后发现的不可修复废品的生产成本和可修复废品的修复费用。Ｘ
F分步法的一个重要特点是各步骤之间要进行成本结转。(√)
G各月末在产品数量变化不大的产品，可不计算月末在产品成本。错
G工资费用就是成本项目。(×)
G归集在基本生产车间的制造费用最后均应分配计入产品成本中。对
J计算计时工资费用，应以考勤记录中的工作时间记录为依据。(√)
J简化的分批法就是不计算在产品成本的分批法。(×)
J简化分批法是不分批计算在产品成本的方法。对
J加班加点工资既可能是直接计人费用，又可能是间接计人费用。√
J接生产工艺过程的特点，工业企业的生产可分为大量生产、成批生产和单件生产三种，X
K可修复废品是指技术上可以修复使用的废品。错
K可修复废品是指经过修理可以使用，而不管修复费用在经济上是否合算的废品。Ｘ
P品种法只适用于大量大批的单步骤生产的企业。×
Q企业的制造费用一定要通过“制造费用”科目核算。Ｘ
Q企业职工的医药费、医务部门、职工浴室等部门职工的工资，均应通过“应付工资”科目核算。Ｘ
S生产车间耗用的材料，全部计入“直接材料”成本项目。Ｘ
S适应生产特点和管理要求，采用适当的成本计算方法，是成本核算的基础工作。(×)
W完工产品费用等于月初在产品费用加本月生产费用减月末在产品费用。对
Y“预提费用”可能出现借方余额，其性质属于资产，实际上是待摊费用。对
Y引起资产和负债同时减少的支出是费用性支出。X
Y以应付票据去偿付购买材料的费用，是成本性支出。X
Y原材料分工序一次投入与原材料在每道工序陆续投入，其完工率的计算方法是完全一致的。Ｘ
Y运用连环替代法进行分析，即使随意改变各构成因素的替换顺序，各因素的影响结果加总后仍等于指标的总差异，因此更换各因索替换顺序，不会影响分析的结果。(×)
Z在产品品种规格繁多的情况下，应该采用分类法计算产品成本。对
Z直接生产费用就是直接计人费用。X
Z逐步结转分步法也称为计列半成品分步法。√

A按年度计划分配率分配制造费用，“制造费用”账户月末(可能有月末余额/可能有借方余额/可能有贷方余额/可能无月末余额)。
A按年度计划分配率分配制造费用的方法适用于(季节性生产企业)