保险的数理基础-PPT.ppt

保险学第四章：保险的数理基础保险的数理基础随机事件与概率概率分布与数字特征大数定律及其在保险中的应用-危险集合保险费率的厘定原则与影响因素人寿保险费率的厘定原则与影响因素财产保险费率的厘定第一节 随机事件与概率4.1.1 随机现象、随机试验和随机事件随机现象：两个特点随机试验：三个特征样本空间：所有可能结果组成的集合随机事件：样本空间的子集基本随机事件：最简单的随机事件事件的关系与运算：文氏图示法(Venn Diagram)以长方形区域代表样本空间 S，在其内部以封闭曲线围起来的区域代表事件，描述事件间的各种关系的方法，称为文氏图示法(Venn Diagram)。A B 且1.事件的包含2.事件的相等或 事件 A与事件B 至 少有一个发生发生的和事件 的和事件 A 与B 的和事件3.事件的并(和)或事件 A与事件B 同时 发生发生的积事件 的积事件 A 与B 的积事件 4.事件的交(积)发生 事件 A 发生，但 事件 B 不发生 A 与B 的差事件5.事件的差大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点 A 与B 互斥A、B不可能同时发生AB两两互斥两两互斥6.事件的互斥(互不相容)A 与B 互相对立每次试验 A、B中有且只有一个发生A称B 为A的对立事件(or逆事件)，记为注意：“A 与B 互相对立”与“A 与B 互斥”是不同的概念7.事件的对立8.完备完备事件组若 两两互斥，且则称 为完备完备事件组或称 为 的一个划分q 吸收律q 幂等律q 差化积q 重余律运算律运算律对应事件运算集合运算q 交换律q 结合律q 分配律q 反演律运算顺序：逆交并差，括号优先逆交并差，括号优先 B CABA CA 分配律 图 示AA B B红色红色区域区域黄色黄色区域区域交交例例 用图示法简化用图示法简化AA例例 化简事件解解 原式例例 利用事件关系和运算表达多 个事件的关系A,B,C 都不发生 A,B,C 不都发生例：例：在图书馆中随意抽取一表示数学书，表示中文书，表示平装书.抽取的是精装中文版数学书 精装书都是中文书 非数学书都是中文版的，且中文版的书都是非数学书本书，事件第二节概率基础1.事件发生的可能性的数字度量简单事件简单事件联合事件联合事件复合事件复合事件2.取值在 0 和 1 之间3.所有事件之和为 11.5 0必然必然不可能不可能简单事件的概率 Probability of Simple Event P(事件)=X=使某结果使某结果发生的事件数发生的事件数量量T=可能事件可能事件的总数的总数检查了100个零件，两个有缺陷!用列联表确定联合事件 Using Contingency Table联合事件Joint Probability边际(简单)概率Marginal(Simple)Probability事件事件事件事件B1B2总计总计A1P(A1 B1)P(A1 B2)P(A1)A2P(A2 B1)P(A2 B2)P(A2)总计总计P(B1)P(B2)1列联表联合事件的例子联合事件:抽一张牌.注意种类、颜色 颜色颜色类型类型红红黑黑总计总计A牌牌2/522/524/52非非A牌牌24/5224/5248/52总计总计26/5226/5252/52P(A牌)P(红A)P(红牌)独立事件两事件的发生概率不会互相影响，则称两事件互相独立(independent events)。事件 A(或B)的发生概率，不会因为事件 B(或A)是否发生而有不同，则称事件 A 与 B 互相独立。注意与互斥事件区分：独立事件不在一个样本空间里独立事件例掷两枚铜板，第一枚铜板为正面的事件为 A，第二枚铜板为正面的事件为 B，第二枚铜板为正面的机概率，与第一枚铜板的结果无关，两事件互相独立。抽扑克牌两张，第一张为红色的事件为 A，第二张为红色的的事件为 B，第二张为红色的概率，与第一张的结果有关，两事件不独立。第一张红色，则第二张红色的概率为 25/51，第一张黑色，则第二张红色的概率为 26/51。连续考试两次，第二次的结果与第一次的结果有关，两事件不独立。独立事件的概率乘法规则两独立事件 A 与 B 同时发生的概率，为两事件各自发生概率的相乘：P(A 且 B)=P(A)P(B)。例：孟德尔(Mendel)的豌豆概率乘法规则的应用豌豆育种研究每株含有两种可能颜色的基因，黄色(Y)为显性、绿色(G)为隐性，发生的概率各半株与株间互相独立父母株交配后，子株为绿色的机率 P(G且 G)=P(G)P(G)=0.50.5=0.25 例：海底电缆线研究海底电缆线维修率研究；每条海底电缆线有许多 repeaters。每个 repeater 10年不坏的概率为 0.999，如果没有重大天然灾害(如地震)的破坏，假设各 repeaters 间互相独立且不坏的概率相同。令 Ai 为第 i 个 repeater 10年不坏的事件，则一 条有10个 repeaters 的海底电缆线10年免维修的机率为 P(A1且且A10)=P(A1)P(A10)=0.99910=0.990事实上，一 条海底电缆在线有300个 repeaters，则 10年免维修的机率为 P(AP(A1且且且且A A300)=P(A)=P(A1)P(A)P(A300)=0.999)=0.999300300=0.7410.741 例：AIDS 检验研究AIDS 检验得错误阳性(false positive)，即没有感染但检验结果为阳性的概率为 0.005，140个未受感染的受测者，至少有一人检验结果为阳性的概率为P(至少一人为阳性)=1-P(没有人为阳性)=1-P(全部人为阴性)=1-0.995140=0.504两个独立的随机变量两随机变量X和Y，如果属于X的样本空间S SX的任意事件必和属于Y样本空间S SY的任意事件独立，则称两随机变量独立；两独立(离散)随机变量的乘法规则：任意两事件 X=x 与 Y=y，P(X=x且 Y=y)=P(X=x)P(Y=y)x,y两事件发生的概率通则：广义加法两事件A或B发生的概率P(A或 B)=P(A)+P(B)-P(A且 B)Deborah成为律师合伙人的概率为0.7，Mathew成为律师合伙人的概率为0.5，两人同时成为律师合伙人的概率为0.3，则至少一人成为律师合伙人的概率为P(至少一人成为合伙人)=0.7+0.5-0.3=0.9例：合伙人概率研究图示D且非M 0.4D且M 0.3M且非D 0.2非M且非D 0.1条件分布的概率表示法随机选出一位自杀者，使用随机选出一位自杀者，使用firearmfirearm的概率的概率P(firearm)=18,940/31,510=0.6P(firearm)=18,940/31,510=0.6随机选出一位自杀者，选出女性的概率随机选出一位自杀者，选出女性的概率 P(female)=6,095/31,510=0.193P(female)=6,095/31,510=0.193条件分布的概率表示法（续）若已知选出的是女性，使用firearm的概率 P(firearm|female)=2,559/6,095=0.42自杀者是女性又使用firearm的概率P(female且firearm)=2,559/31,510=0.081=(6,095/31,510)(2,559/6,095)=P(female)P(firearm|female)乘法规则任意两个事件A,B 的条件概率条件概率(conditional probability)：给定事件A已发生时，事件B发生的概率，记为P(B|A)。乘法规则(multiplication rule)任两事件A与 B 同时发生的概率 P(A且B)=P(A)P(B|A)。乘法规则的应用扑克牌游戏的概率：已出现的11张牌中有4张红方块，求再抽到两张红方块的概率第一张抽到红方块的概率：P(第一张抽到红方块)=9/41第一张抽到红方块后再抽到红方块的概率：P(再抽到红方块|第一张抽到红方块)=8/40两张都抽到红方块的概率：P(两张红方块)=P(第一张抽到红方块)P(再抽到红方块|第一张抽到红方块)=9/41 8/40=0.044乘法规则的推广任意三个事件A、B、C同时发生的概率：P(A且B且C)=P(A且B)且C)=P(A且B)P(C|A且B)=P(A)P(B|A)P(C|A且B)。乘法规则推广的应用高中球员的未来男子高中球员有5%继续在大学打球，其中只有1.7%继续在职业球队打球，而在这1.7%中有40%在职业球队打球3年以上。求男子高中球员最后会在职业球队打球3年以上的概率事件A=继续在大学打球 事件B=继续在职业球队打球 事件C=继续打3年职业球队 乘法规则推广就用球员的未来（续）P(A)=0.05；P(B|A)=0.017；P(C|A且B)=0.4；男子高中球员最后会在职业球队打球3年以上的概率P(A且B且C)=P(A)P(B|A)P(C|A且B)=0.05 0.017 0.4=0.00034。条件概率定义和图示如果P(A)0，则给定事件A的条件下事件B 的条件概率为文氏图示：B A 事件B的样本空间发生了变化！独立事件的另一个解释若P(B|A)=P(B)且P(A|B)=P(A)，则事件A与事件B为两独立事件。说明：若P(B|A)=P(B)，则A,B 两事件独立。期望值与方差总体平均数又称为期望值(Expectation)。总体样本空间为x1,xk，概率模型为 P(X=xi)=p(xi),i=1,k；定义期望值为记为 =EX。总体方差总体方差(Variance)记为 2=Var(X)。样本空间、概率模型如前；定义方差为：例：参考抽样一节，样本均值、方差与理论均值、方差。期望与方差的性质两个随机变量X与Y的线性组合，aX+bY 的期望值是两期望值的线性组合E(aX+bY)=aEX+bEY两个独立随机变量和的方差，是两个方差的和Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)随机变量 a 倍的方差，是方差的 a2 倍。Var(aX)=a2Var(X)第三节大数定律及其应用：危险集合危险集合假定有甲乙两人损失分布一样，并且两人的损失分布不相关，其分布均如下表所示：则每个人的期望损失为$500，标准差为$2179危险集合例：2人的情况两人的危险集合改变了每个人的损失分布：两人的危险集合改变了每个人的损失分布：危险集合例：2人的情况期望损失的效应期望损失的效应无危险集合时期望损失为无危险集合时期望损失为$500$500集合危险时期望损失仍为集合危险时期望损失仍为$500$500标准差效应标准差效应无危险集合时标准差为无危险集合时标准差为$2,179$2,179集合危险时标准差为集合危险时标准差为$1,541$1,541危险集合例：4人的情况 损失损失 概率概率$10,000 0.000006$7,500 0.000475Loss=$5,000 0.014$2,500 0.171$0 0.815期望损失=$500标准差=$1,089危险集合：500个人的情况危险集合：1000个人的情况损失不相关的危险集合小结：危险集合的安排危险集合的安排不会改变损失期望值不会改变损失期望值但降低了不确定性但降低了不确定性(标准差减小，损失的标准差减小，损失的可预测性增加可预测性增加)分布更平缓分布更平缓(峰度降低峰度降低)损失相关时的情形：不确定性的降低比不相关时要小：想想为什么？考虑一下极端情形：某危险发生时另一危险也发生于是集合并不能降低危险程度正相关时危险降低效应：其他情况：其他情况：相关性越低，相关性越低，危险降低程度越大危险降低程度越大!完全负相关情况完全负相关情况(-1)：完全正相关情况完全正相关情况(+1)：危险危险集合集合降低降低危险危险与危与危险间险间相关相关的不的不同情同情况：况：完全消差不确定性完全消差不确定性消减部分危险消减部分危险未降低不确定性未降低不确定性危险集合几个要点：集合会降低每个加入的危险单位的危险即，损失暴露成本变得更可预测集合的危险单位越多，可预测性越强（所以保险同质保单卖得越多，公司对损失估计就越准确，公司就越安全）损失相关的情况下可预测性会降低集合(多样化)的其他例子：很多情形下都会应用到“集合降低风险”：股市多样化资产组合企业业务线的多样化第四节保费厘定保险费率的厘定原则与影响因素费率构成、影响因素、厘定方法人寿保险费率的厘定原则与影响因素财产保险费率的厘定保险费率的厘定原则与影响因素4.4.1 费率构成4.4.2 厘定原则：公平性：两方面含义充分性相对稳定性促进防灾防损性4.4.3 强险费率厘定方法分类法分类费率的计算：纯保险费率法、损失比率法增减法：观察法保险费率的厘定原则与影响因素第五节寿险费率的厘定考虑因素：利息、生命表、营运费用、利润策略等具体方法：略第六节非寿险费率的厘定 计算纯费率：计算附加费率第四章小结本章重点：本章重点：大数定律在保险中的应用。保险费率厘定的理论及方法。思考题：思考题：什么是随机事件？随机事件和风险之间有什么关系？什么是损失概率？损失概率与纯费率之间有何关系？大数定理对保险经营有何重要意义？保费厘定时，应遵循什么原则？简述厘定保费的各种方法人寿保险与财产保险费率是如何计算的？THE END