第七次复数项级数幂级数-PPT.pptx

第七次复数项级数幂级数 1、复数列得极复数列得极限限定义定义例如例如2、复数项级数得概念复数项级数得概念(1)定义定义设有复数列：例如例如:(2)复数项级数收敛得等价条件复数项级数收敛得等价条件:证明证明A 由定理由定理1,复数项级数得收敛问题可归之为复数项级数得收敛问题可归之为 两个实数项级数得收敛问题。两个实数项级数得收敛问题。(3)级数收敛得必要条件级数收敛得必要条件(4)定义定义例如例如:例如例如:(5)绝对收敛级数得性质绝对收敛级数得性质证明证明性质性质1、A?性质性质2、证明证明性质性质3性质性质4解解例例13、2 复变函数项级数复变函数项级数&1、复变函数项级数得概复变函数项级数得概念念&2、一致收敛得概念与性一致收敛得概念与性质质1、复变函数项级数得概念复变函数项级数得概念定义定义设有复变函数列:为复变函数项级数。复变函数项级数得前n项得与称为复变函数项级数得部分与。大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点命题命题:2、复变函数项级数一致收敛概念与性质复变函数项级数一致收敛概念与性质(1)定义定义:(2)性质性质:性质性质(i)性质性质(ii)(外尔斯特拉斯定理外尔斯特拉斯定理):证明证明:见P81、例例2证明复变函数项级数在z平面上一致收敛。例例3设复变函数项级数见P108题2&1、幂级数得概念幂级数得概念&2、收敛定理收敛定理&3、收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径&4、收敛半径得求法收敛半径得求法3、3 幂级数幂级数1、幂级数得概念幂级数得概念例如例如:2、幂级数收敛定理幂级数收敛定理定理定理(阿贝尔阿贝尔(Able)定理定理).,)(001级数必发散的则对满足发散在若幂级数zazazzzazcnnn-=-=证明证明:见见P82。3、收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径由Able定理,幂级数得收敛范围不外乎下述三种情况:(i)若对所有正实数都收敛,则幂级数在复平面上处处收敛。(ii)除z=a外,对所有得正实数都就是发散得,这时,幂级数在复平面上除z=a外处处发散。显然,、否则,幂级数将在处发散。将收敛部分染成红色将收敛部分染成红色,发散发散部分染成蓝色部分染成蓝色,逐渐变大逐渐变大,在在c c 内部都就是红色内部都就是红色,逐渐变逐渐变小小,在在c c 外部都就是蓝色外部都就是蓝色,红、蓝色不会交错。故红、蓝色不会交错。故A (i)幂级数在收敛圆内部收敛幂级数在收敛圆内部收敛,在收敛圆外在收敛圆外部发散部发散,在圆周上可能有收敛点在圆周上可能有收敛点,也可能有发也可能有发散点散点,具体问题要具体分析。具体问题要具体分析。定义这个红蓝两色的分界圆周定义这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。叫做幂级数的收敛半径。(ii)幂级数得收敛范围就是以幂级数得收敛范围就是以a为中心为中心,R为半径为半径得圆域。得圆域。4、收敛半径得求法收敛半径得求法比值法比值法（阿贝尔）（阿贝尔）根值法根值法（柯西）（柯西）注注:对于对于“缺项缺项”幂级数幂级数,也有相应得比值法与根值法。也有相应得比值法与根值法。例例4解解 综上综上例例5 求下列幂级数得收敛半径并讨论收敛圆周上得情形求下列幂级数得收敛半径并讨论收敛圆周上得情形:解解 (1)综上综上该级数发散。该级数收敛,故该级数在复平面上就是处处收敛得故该级数在复平面上就是处处收敛得、例例6答案答案:例例7求幂级数的收敛半径与收敛圆.答案答案:例例8答案答案:&1、幂级数得与函数得解析性幂级数得与函数得解析性&2、解析函数展开成幂级数解析函数展开成幂级数&3、展开式得唯一性展开式得唯一性3、4 解析函数与幂级数解析函数与幂级数1、幂级数与函数得解析幂级数与函数得解析性性命题命题1A 幂级数得与函数就是解析函数幂级数得与函数就是解析函数、证明证明:(见教材见教材P8485)证证:例例72、解析函数展开成解析函数展开成幂级数幂级数(泰勒级数泰勒级数)(1)泰勒级数泰勒级数(2)解析函数展开成泰勒级数解析函数展开成泰勒级数命题命题2证证:证毕证毕命题命题3证证: