经济数学CH7动态最优化：最大值原理.ppt

2024/5/21 周二1 当一国的资本发展变成了一当一国的资本发展变成了一种赌博活动的副产品时，这项种赌博活动的副产品时，这项活动可能是错误的。活动可能是错误的。凯恩斯凯恩斯2024/5/21 周二2导论导论v古典数学家使用的动态问题的解法是变分法。古典数学家使用的动态问题的解法是变分法。v这种方法从两条途径得以一般化：这种方法从两条途径得以一般化：v第一条是美国数学家贝尔曼在第一条是美国数学家贝尔曼在2020世纪世纪5050年代所年代所发展的动态规划方法。主要适用于离散时间和发展的动态规划方法。主要适用于离散时间和随机模型。随机模型。v第二条是俄罗斯数学家庞特里亚金在第二条是俄罗斯数学家庞特里亚金在5050年代所年代所发展的最优控制的极大值原理。发展的最优控制的极大值原理。2024/5/21 周二3一、典型问题一、典型问题v行为者选择或控制一些变量（被称为行为者选择或控制一些变量（被称为控制变控制变量量），以便在一些约束的限制下最大化一个），以便在一些约束的限制下最大化一个目标函数。目标函数。v这些约束是动态的，它们描述了以一组这些约束是动态的，它们描述了以一组状态状态变量变量表示的经济状态的持续演进。表示的经济状态的持续演进。2024/5/21 周二4问题：问题：约束条约束条件：件：转移方程转移方程非蓬齐博弈非蓬齐博弈c(t)c(t)是控制变量，是控制变量，k(t)k(t)是状态变量。是状态变量。初始条件初始条件F(0)F(0)是初始时刻的目标函数值。是初始时刻的目标函数值。r(T)r(T)是在是在0 0和和T T期之间的平均贴现率。期之间的平均贴现率。T T是终端计划时期，可以是有限的，也可以是无限的。是终端计划时期，可以是有限的，也可以是无限的。目标函数是瞬时幸福函数目标函数是瞬时幸福函数f(f()在在0 0到到T T期的积分。幸福函数包括效用函数、期的积分。幸福函数包括效用函数、利润函数等。利润函数等。转移方程表示控制变量的选择是如何影响状态变量的。转移方程表示控制变量的选择是如何影响状态变量的。非蓬齐博弈表示在计划期结束时所选择的状态变量非蓬齐博弈表示在计划期结束时所选择的状态变量k(t)k(t)贴现后必须为非负。贴现后必须为非负。这排除了连环借债或蓬齐这排除了连环借债或蓬齐(Ponzi)(Ponzi)负债方法。负债方法。2024/5/21 周二5二、动态最优化求解步骤二、动态最优化求解步骤1 1、构造汉密尔顿函数：幸福函数、构造汉密尔顿函数：幸福函数v(v()加拉格朗日乘数乘以转加拉格朗日乘数乘以转移方程右边的函数。移方程右边的函数。2 2、汉密尔顿函数对控制变量的导数为零。、汉密尔顿函数对控制变量的导数为零。3 3、汉密尔顿函数对状态变量的导数等于负的乘子对时间的导、汉密尔顿函数对状态变量的导数等于负的乘子对时间的导数。数。被称为动态拉格朗日乘数或共态变量。表示影子价格，即被称为动态拉格朗日乘数或共态变量。表示影子价格，即状态变量的边际价值。状态变量的边际价值。该式常被称为欧拉该式常被称为欧拉方程方程2024/5/21 周二64 4、横截性条件、横截性条件情形情形1 1：有限期界。计划期结束时的影子价格和状态变量之：有限期界。计划期结束时的影子价格和状态变量之积为零。积为零。情形情形2 2：有贴现的无限期界。：有贴现的无限期界。情形情形3 3：没有贴现的无限期界。横截性条件为米歇尔条件。：没有贴现的无限期界。横截性条件为米歇尔条件。具体求解：具体求解：根据第二步、第三步和转移方程可以得到控制变量根据第二步、第三步和转移方程可以得到控制变量c(t)c(t)和状和状态变量态变量k(t)k(t)的微分方程系统。为了使系统确定，需要两个边的微分方程系统。为了使系统确定，需要两个边界条件：初始条件和终端条件（横截性条件）。界条件：初始条件和终端条件（横截性条件）。2024/5/21 周二7充分条件充分条件如果函数如果函数f(k,c,t)f(k,c,t)和和g(k,c,t)g(k,c,t)是凹函数，那么是凹函数，那么满足上述四个条件的（满足上述四个条件的（k k*,c,c*）和）和*00，是最，是最优化问题的极大值。优化问题的极大值。如果是凸函数，则是极小值。如果是凸函数，则是极小值。经济学中的生产函数和效用函数都是严格凹函经济学中的生产函数和效用函数都是严格凹函数，因此满足充分条件。数，因此满足充分条件。2024/5/21 周二8三、现值和当期汉密尔顿函数三、现值和当期汉密尔顿函数v1 1、现值汉密尔顿函数、现值汉密尔顿函数v在大多数经济模型中，目标函数被贴现到当前，即在大多数经济模型中，目标函数被贴现到当前，即0 0时期。时期。在现值汉密尔顿函在现值汉密尔顿函数中，影子价格数中，影子价格表示以表示以0 0时的效用单时的效用单位来衡量位来衡量t t时资本存时资本存量的价值。量的价值。2024/5/21 周二9v2 2、当期汉密尔顿函数、当期汉密尔顿函数v为了方便，有时也会从当期值价格（为了方便，有时也会从当期值价格（current-value current-value priceprice）来重构这个问题。）来重构这个问题。v当期值价格：以当期值价格：以t t时的效用单位来衡量时的效用单位来衡量t t时的资本存量的价格。时的资本存量的价格。v把现值汉密尔顿函数改写为：把现值汉密尔顿函数改写为：vH=eH=e-t-tu(k,c)+q(t)g(k,c,t)u(k,c)+q(t)g(k,c,t)v其中，其中，q(t)=q(t)=e ett，为当期影子价格。定义，为当期影子价格。定义H H*=He=Hett为当为当期汉密尔顿函数：期汉密尔顿函数：H H*=u(k,c)+q(t)g(k,c,t)=u(k,c)+q(t)g(k,c,t)2024/5/21 周二10练习：拉姆齐模型练习：拉姆齐模型在该模型中，家庭既是消费者也在该模型中，家庭既是消费者也是生产者。生产函数为是生产者。生产函数为Y=KY=K(AL)(AL)，+=1+=1。家庭选择。家庭选择消费使一生的效用最大化。效用消费使一生的效用最大化。效用函数为对数形式。未来消费的主函数为对数形式。未来消费的主观贴现率为观贴现率为00。求解该家庭的最优消费路径。求解该家庭的最优消费路径。为了求解这个最优化问题，建立现值汉密尔顿函数：为了求解这个最优化问题，建立现值汉密尔顿函数：H(c,k,t,)=eH(c,k,t,)=e-t-tlog(c)+(klog(c)+(k-c-k)-c-k)2024/5/21 周二11如果令如果令=0.06=0.06，=0=0且且=0.3=0.3，那么这个系统就是以前研，那么这个系统就是以前研究过的非线性系统。究过的非线性系统。2024/5/21 周二12四、多变量的动态最优化四、多变量的动态最优化v现在考虑一个具有现在考虑一个具有n n个控制变量和个控制变量和m m个状态变量的更个状态变量的更一般的动态问题。选择控制变量最大化：一般的动态问题。选择控制变量最大化：2024/5/21 周二132024/5/21 周二14五、离散模型的最大值原理五、离散模型的最大值原理