等差数列知识点总结含习题.doc

AP等差数列1:(概念通项公式)定义等差中项等差数列的通项公式.等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d等差数列通项公式的推导:归纳法(由特殊到一般的思想)an=a1+(n-1)da1=a1+0d=a1+(1-1)da2=a1+d=a1+2-1da3=a2+d=a1+(3-1)d 逐差法累加法迭代法等差数列通项公式的变形:对任意正整数m,nN*,有an=am+n-md,即d=an-amn-m.等差数列的性质(重点):设an是公差为d的等差数列,那么(1)在等差数列an中,若m+n=p+qm,n,p,qN*,则am+an=ap+aq.注:若m+n=2km,n,kN*,则am+an=a2k.若an是有穷等差数列,则与首尾两项等距离的两项之和都相等,且等于首位两项之和,即a1+an=a2+an-1=.(2)数列an+b,b为非零常数是公差为d的等差数列.(3)若数列bn也是等差数列,则数列anbn,kan+mbnm,kR是等差数列.(4)等差数列的单调性:(三种情况)1.等差数列的判定:方法:(1)定义法;(2)等差中项法;(3)通项公式法.(不再举例)还是举一个例子吧:例15:已知各项均为正数的两个数列an和bn满足:an+1=an+bnan2+bn2,nN*.设bn+1=1+bnan,nN*,求证:数列bnan2是等差数列.2.灵活设项求解等差数列问题:方法:(1)若所给等差数列为2nnN*项,则这个数列可设为:a-2n-1d,a-3d,a+d,a+3d,a+(2n-1)d,此数列公差为2d.(2)若所给等差数列的项数为2n+1nN*项,则这个等差数列可设为:a-nd,a-n-1d,a-d,a,a+d,a+n-1d,a+nd,此数列的公差为d.例:成等差数列的四个书之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数.分析:总共四个数,即2n(nN*)个,用对称设法:解:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,由题意可知a-3d+a-d+a+d+a+3d=26a-da+d=40 ,即4a=26 a2-d2=40.解的a=132d=32 或 a=132 d=-32. 故这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.(今后也许会遇到这种设法了解一下即可)变式:一直四个数依次成等差数列,且这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两素数之积少18,求这四个数.(等差数列的性质应用)例:在数列an中,a1=1且对任意大于1的正整数n,点an,an+1在直线x-y-3=0上,则an= .例16:若an是等差数列,a3,a10,是方程x2-3x-5=0的两根,则a5+a6+a7+a8= .例17:若数列an为等差数列,且a1+a7+a13=,则tan(a2+a12)= .例18:在ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,如果a,b,c成等差数列,B=30,ABC的面积为1.5,那么b= .例19:已知ABC的一个内角为120,并且三边长构成公差为4的等差数列,则ABC的面积为 .(需要使用余弦定理)例20:若an是等差数列,且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9= .例21:若等差数列an,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+a7= .例22:在数列an中,若a3+a5+a7+a9+a11=100,则3a9-a13= .例23:在数列an中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7-12a8= .例24:已知等差数列an的公差为dd0,且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m为 .例25:若an为等差数列,且a1+a5+a8=,则cos(a2+a8)的值为 .例26:已知在等差数列an中,a3+a4=1,则a1+a2+a3+a4+a5+a6= .例27:已知数列an中,a1=0,a2=2,且an+1+an-1=2(an+1)(n2)(1)求证:数列an+1-an是等差数列.(2)求an的通项公式.等差数列2:(等差数列的前n项和)an与Sn的关系:若数列的前n项和为Sn,则通项公式an= S1 n=1, Sn-Sn-1 n2.已知Sn求an,不能直接用an=Sn-Sn-1,必须有n2,因为S0是没有意义的. a1应单独解出,在验证是否符合an=Sn-Sn-1(n2).若符合,写成统一的式子;若不符合,则用分段函数的形式给出.等差数列前n项和公式:Sn=n(a1+an)2或Sn=na1+n(n-1)2d.(知道)等差数列前n项和的公式的推导(仅有一个倒叙相加法):1.等差数列前n项和的性质:(重点)设Sn是等差数列an的前n项和,d是an的公差,那么:(1)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,kN*构成公差为k2d的等差数列. (2)设等差数列an的项数为2n,nN*,则有: S2n=n(an+an+1) S偶-S奇=nd,S偶S奇=an+1an,(S偶,S奇分别为数列an的所有奇数项的和,偶数项和.) 设等差数列an的项数为2n-1nN*,则S2n-1=2n-1an(an是数的列中间项), S奇-S偶=an,S奇S偶=nn+1.(3)数列Snn是等差数列,首项为a1,公差为d2.(4)在等差数列an中,若a10,d0,则Sn存在最大值;若a10,则Sn存在最小值.(注:若等差数列an中,若a10,d0,ak+10, ak+1=0,则Sk=Sk+1且Sk与Sk+1均为最大值.若等差数列an中,a10,d0,情况与此相似.)(5)在等差数列an中,若an=m,am=nmn,则am+n=0;若Sn=m,Sm=nmn,则Sm+n=-(m+n).若Sn=Sm(mn),则Sm+n=0.2.等差数列前n项和比值的问题:(难点重点):(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d1,等差数列bn的公差为b1,公差为d2,它们的前n项和分别为Sn,Tn,则它们的前n项和的比SnTn有下列性质:等差数列an的前n项和Sn与等差数列bn的前n项和Tn的比SnTn是关于n的一次函数,即SnTn=an+bcn+d.若等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,则ambm=S2m-1T2m-1.ambn=2n-12m-1S2m-1T2n-1(证明:ambn=2am2bn(分子分母同乘2)=a1+a2m-1b1+b2n-1(化为a1+an的模式)=a1+a2m-12b1+b2n-12(分子分母同乘12)=(2m-1)a1+a2m-12(2n-1)b1+b2n-122n-12m-1(这步,分子分母同乘an,只不过此时的n为(2m-1)(2n-1) )特别地:当n=m时: ambm=S2m-1T2m-1 ) (详细的不能再详细了(*_*)(上面的公式需要记忆,证明过程看懂就行)(2) 设等差数列an的前n项和为Sn,则Sm, Sn与am,an有如下性质:S2k-1S2l-1=(2k-1)ak(2l-1)alSmSn=am2+bman2+bn.3.等差数列的前n项和公式与函数的关系: 等差数列前n项和公式: Sn=na1+n(n-1)2d可以写成Sn=d2n2+(a1-d2)n.若令d2=A, a1-d2=B,则上式可以写成Sn=An2+Bn,即Sn是关于n的函数.则有以下总结:(1)一个数列an是等差数列的前提条件是其前n项和的公式Sn=f(n)是关于n的二次函数或一次函数或常函数,且其常数项为0,即Sn=An2+Bn(A,B为常数).(2)若一个数列的前n的项和的表达式为Sn=An2+Bn+C(A,B,C为常数),则当C0时,函数an不是等差数列,但从第2项起是等差数列.例28:已知数列an的前n项和为Sn=n2,则a8的值为 .例29:已知数列an的前n项和为Sn,且a2+a9=10,则S10= .例30:等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,且SnTn=7n+45n-3,则是得anbn为正整数n的和数是 .例31:已知Sn表示数列an的前n项和,且S5S10=13,那么S5S20= .例32:等差数列an,bn的前n项和之比为(5n+13)(4n+5),求a10b10的值.有关数列的基本量计算题目不举例了.例33:(1)等差数列an中,a2+a7+a14=24,求S13.(2)已知等差数列an的前n项和为377,项数n为奇数,且前n项和中奇数项和与偶数项和之比为7:6,求中间项.例34:已知等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,和Tn,若 SnTn=2n3n+1,求a8b8.例35:若数列an的通项公式为an=1n(n+1),求其前n项和.1.裂项(拆项)相消法求和:方法:把数列的通项拆成两项之差,数列的每一项按如此拆法拆成两项之差,在求和时一些项正负抵消,于是前n项和变成首尾如若干项之和.此法对通项公式如1(an+b)(cn+d)的数列尤为适用.例36:若数列an的通项公式为an=1(3n-2)(3n-1),求其前n项和Sn.例37:已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n2),a1=12.(1)求证:1Sn是等差数列;(2)求an的表达式;(3)若bn=21-nann2,求b2b3+b3b4+bnbn+1.2.等差数列前n项和最值的求法:方法:(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d.当a10,d0时,an只有前面有限的几项为非负数,从某项开始其余所有项均为负数,所以由am0 am+10可得Sn的最大值为Sm.当a10时, an只有前面有限的几项为负数,从某项开始其余所有项均为非负数,所以由amTnnN*.例45:已知等差数列an的前n项和为Sn满足S3=0,S5=-5.(1)求an的通项公式;(2)求数列1a2n-1a2n+1的前n项和.例46:已知等差数列an的前n项和为Sn,S100=100S10,则a100a10= .例47:已知数列 an的前n项和为Sn=n2-n+1,则数列an的通项公式为 .例48:求下面各数列的前n项和Sn:(1)113,135,157,179;(2)1123,1234,1345,1456.例49:一个等差数列共10项,其中奇数项的和为1212,偶数项的和为15,则公差是 .例50: 已知等差数列an,首项a10,a2005+a20060,a2005a20060成立的最大自然数n是 .例51:在等差数列an中,其前n项和为100,其后的2n项和为500,则紧随其后的3n项和为 .例52: 已知等差数列an的公差d0,若a3a7=9,a1+a9=10,则该数列的前n项和Sn的最大值为 .例53:设数列an(nN)满足a0=0,a1=2,且对一切nN,有an+2=2an+1-an+2.(1)求数列an的通项公式;(2)设Tn=13a1+14a2+15a3+1(n+2)an,求Tn的取值范围.