等差数列知识点总结含习题.doc

AP等差数列1:(概念\通项公式)
定义\等差中项\等差数列的通项公式\.
等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d
等差数列通项公式的推导:
归纳法(由特殊到一般的思想)
an=a1+(n-1)d

a1=a1+0d=a1+(1-1)d
a2=a1+d=a1+2-1d
a3=a2+d=a1+(3-1)d
…

逐差法

累加法

迭代法

等差数列通项公式的变形:
对任意正整数m,n∈N*,有an=am+n-md,即d=an-amn-m.

等差数列的性质(重点):
设an是公差为d的等差数列,那么
(1)在等差数列{an}中,若mn=p+qm,n,p,q∈N*,则
am+an=ap+aq.
注:若m+n=2km,n,k∈N*,则am+an=a2k.
若an是有穷等差数列,则与首尾两项等距离的两项之和都相等,且等于首位两项之和,即a1+an=a2+an-1=….
(2)数列λan+bλ,b为非零常数是公差为λd的等差数列.
(3)若数列bn也是等差数列,则数列an±bn,kan+mbnm,k∈R是等差数列.
(4)等差数列的单调性:(三种情况)

1.等差数列的判定:
方法:(1)定义法;(2)等差中项法;(3)通项公式法.(不再举例)

还是举一个例子吧:
例15:已知各项均为正数的两个数列an和{bn}满足:an+1=an+bnan2+bn2,n∈N*.设bn+1=1+bnan,n∈N*,求证:数列{bnan2}是等差数列.

2.灵活设项求解等差数列问题:
方法:(1)若所给等差数列为2nn∈N*项,则这个数列可设为:a-2n-1d,…,a-3d,a+d,a+3d,…,a+(2n-1)d,此数列公差为2d.
(2)若所给等差数列的项数为2n+1n∈N*项,则这个等差数列可设为:a-nd,a-n-1d,…,a-d,a,a+d,…,a+n-1d,a+nd,此数列的公差为d.

例:成等差数列的四个书之和为26,第二个数与第三个数之积为40求这四个数.
分析:总共四个数,即2n(n∈N*)个,用对称设法:
解:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,
由题意可知a-3d+a-d+a+d+a+3d=26a-da+d=40 ,即4a=26 a2-d2=40.
解的a=132d=32 或 a=132 d=-32. 故这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.(今后也许会遇到这种设法了解一下即可)

变式:一直四个数依次成等差数列,且这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两素数之积少18,求这四个数.

(等差数列的性质应用)例:在数列{an}中,a1=1且对任意大于1的正整数n,点an,an+1在直线x-y-3=0上,则an= .

例16:若an是等差数列,a3,a10,是方程x2-3x-5=0的两根,则a5+a6+a7+a8= .

例17:若数列an为等差数列,且a1+a7+a13=π,则tan(a2+a12)= .

例18:在∆ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,如果a,b,c成等差数列,B=30°,∆ABC的面积为1.5,那么b= .

例19:已知∆ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则∆ABC的面积为 .(需要使用余弦定理)

例20:若an是等差数列,且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9= .

例21:若等差数列an,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7= .

例22:在数列an中,若a3+a5+a7+a9+a11=100,则3a9-a13= .

例23:在数列an中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7-12a8= .

例24:已知等差数列an的公差为dd≠0,且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m为 .

例25:若an为等差数列,且a1+a5+a8=π,则cos(a2+a8)的值为 .

例26:已知在等差数列an中,a3+a4=1,则a1+a2+a3+a4+a5+a6= .

例27:已知数列an中,a1=0,a2=2,且an+1+an-1=2(an+1)(n≥2)
(1)求证:数列an+1-an是等差数列.
(2)求an的通项公式.

等差数列2:(等差数列的前n项和)
an与Sn的关系:若数列的前n项和为Sn,则通项公式an= S1 n=1, Sn-Sn-1 n≥2.
已知Sn求an,不能直接用an=Sn-Sn-1,必须有n≥2,因为S0是没有意义的. a1应单独解出,在验证是否符合an=Sn-Sn-1(n≥2).若符合,写成统一的式子;若不符合,则用分段函数的形式给出.

等差数列前n项和公式:Sn=n(a1+an)2或Sn=na1+n(n1)2d.

(知道)等差数列前n项和的公式的推导(仅有一个倒叙相加法):

1.等差数列前n项和的性质:(重点)
设Sn是等差数列an的前n项和,d是an的公差,那么:
(1)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…k∈N*构成公差为k2d的等差数列.
(2)设等差数列an的项数为2n,n∈N*,则有:
S2n=n(an+an+1)
S偶-S奇=nd,S偶S奇=an+1an,(S偶,S奇分别为数列an的所有奇数项的和,偶数项和.)
设等差数列an的项数为2n-1n∈N*,则S2n-1=2n-1an
(an是数的列中间项), S奇-S偶=an,S奇S偶=nn+1.
(3)数列Snn是等差数列,首项为a1,公差为d2.
(4)在等差数列an中,若a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
(注:若等差数列an中,若a1>0,d<0,且ak>0,ak+1<0,则Sk为最大值;若ak>0, ak+1=0,则Sk=Sk+1且Sk与Sk+1均为最大值.若等差数列an中,a1>0,d>0,情况与此相似.)
(5)在等差数列an中,
若an=m,am=nm≠n,则am+n=0;
若Sn=m,Sm=nm≠n,则Sm+n=-(m+n).
若Sn=Sm(m≠n),则Sm+n=0.

2.等差数列前n项和比值的问题:(难点\重点):
(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d1,等差数列bn的公差为b1,公差为d2,它们的前n项和分别为Sn,Tn,则它们的前n项和的比SnTn有下列性质:
等差数列an的前n项和Sn与等差数列bn的前n项和Tn的比SnTn是关于n的一次函数,即SnTn=an+bcn+d.
若等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,则ambm=S2m-1T2m-1.ambn=2n-12m-1∙S2m-1T2n-1
(证明:ambn=2am2bn(分子分母同乘2)
=a1+a2m-1b1+b2n-1(化为a1+an的模式)
a1+a2m-12b1+b2n-12(分子分母同乘12)
=(2m-1)∙a1+a2m-12(2n-1)∙b1+b2n-12×2n-12m-1(这步,分子分母同乘an,只不过此时的n为(2m-1)⋅(2n-1) )

特别地:当n=m时: ambm=S2m-1T2m-1 ) (详细的不能再详细了(*^_^*))
(上面的公式需要记忆,证明过程看懂就行)

(2) 设等差数列an的前n项和为Sn,则Sm, Sn与am,an有如下性质:
S2k-1S2l-1=(2k-1)ak(2l-1)al
SmSn=am2+bman2+bn.
3.等差数列的前n项和公式与函数的关系:
等差数列前n项和公式: Sn=na1+n(n-1)2d可以写成Sn=d2n2+(a1-d2)n.
若令d2=A, a1-d2=B,则上式可以写成Sn=An2+Bn,即Sn是关于n的函数.

则有以下总结:
(1)一个数列an是等差数列的前提条件是其前n项和的公式Sn=f(n)是关于n的二次函数或一次函数或常函数,且其常数项为0,即Sn=An2+Bn(A,B为常数).
(2)若一个数列的前n的项和的表达式为Sn=An2+Bn+C(A,B,C为常数),则当C≠0时,函数an不是等差数列,但从第2项起是等差数列.

例28:已知数列an的前n项和为Sn=n2则a8的值为 .

例29:已知数列an的前n项和为Sn,且a2+a9=10,则S10= .

例30:等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,且SnTn=7n+45n-3,则是得anbn为正整数n的和数是 .

例31:已知Sn表示数列an的前n项和,且S5S10=13,那么S5S20= .

例32:等差数列an,bn的前n项和之比为(5n+13)(4n+5),求a10b10的值.

有关数列的基本量计算题目不举例了.
例33:(1)等差数列an中,a2+a7+a14=24,求S13.
(2)已知等差数列an的前n项和为377,项数n为奇数,且前n项和中奇数项和与偶数项和之比为7:6,求中间项.

例34:已知等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,和Tn,若 SnTn=2n3n+1,求a8b8.

例35:若数列an的通项公式为an=1n(n+1),求其前n项和.

1.裂项(拆项)相消法求和:
方法:把数列的通项拆成两项之差,数列的每一项按如此拆法拆成两项之差,在求和时一些项正负抵消,于是前n项和变成首尾如若干项之和.此法对通项公式如1(an+b)(cn+d)的数列尤为适用.

例36:若数列an的通项公式为an=1(3n-2)(3n-1),求其前n项和Sn.

例37:已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=12.
(1)求证:1Sn是等差数列;
(2)求an的表达式;
(3)若bn=21-nann≥2,求b2b3+b3b4+…+bnbn+1.

2.等差数列前n项和最值的求法:
方法:(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d.
当a1>0,d<0时,an只有前面有限的几项为非负数,从某项开始其余所有项均为负数,所以由am≥0 am+1<0可得Sn的最大值为Sm.
当a1<0,d>0时, an只有前面有限的几项为负数,从某项开始其余所有项均为非负数,
所以由am<0 am+1≥0可得Sn的最小值为Sm.

(2)二次函数法(具体不再详细说了,没什么内容,看例题)

例38:设等差数列an的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于 .

例39:在等差数列an中,a1=25,S17=S9,求其前n项和Sn的最大值.

例40:设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0Sm+1=3,则m= .

例41:等差数列an的前n项和为Sn,若a1+a2=5,a3+a4=9,则S10的值为 .

例42:已知等差数列an的前n项和为Sn,若Sn=Sn-1+n+2(n∈N*,n≥2),则S5的值为 .

例43: 已知等差数列an满足:a3=7,a5+a7=26,an的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn;
(2)令bn=1an2-1(n∈N*),求数列bn的前n项和Tn.

例44:已知数列an,bn满足a1=2,2an=1+anan+1, bn=an-1,设数列{bn}的前n项和为Sn,令Tn=S2n-Sn.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)求证:Tn+1>Tnn∈N*.

例45:已知等差数列an的前n项和为Sn满足S3=0,S5=-5.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列1a2n-1a2n+1的前n项和.

例46:已知等差数列an的前n项和为Sn,S100=100S10,则a100a10= .

例47:已知数列 an的前n项和为Sn=n2-n+1,则数列an的通项公式为 .

例48:求下面各数列的前n项和Sn:
(1)11×3,13×5,15×7,17×9…;
(2)11×2×3,12×3×4,13×4×5,14×5×6….

例49:一个等差数列共10项,其中奇数项的和为1212,偶数项的和为15,则公差是
.

例50: 已知等差数列an,首项a1>0,a2005+a2006>0,a2005⋅a2006<0,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是 .

例51:在等差数列an中,其前n项和为100,其后的2n项和为500,则紧随其后的3n项和为 .

例52: 已知等差数列an的公差d<0,若a3a7=9,a1+a9=10,则该数列的前n项和Sn的最大值为 .

例53:设数列an(n∈N)满足a0=0,a1=2,且对一切n∈N,有an+2=2an+1-an+2.
(1)求数列an的通项公式;
(2)设Tn=13a1+14a2+15a3+…+1(n+2)an,求Tn的取值范围.