资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．若，，且，，则函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
2．借助信息技术画出函数和（a为实数）的图象，当时图象如图所示，则函数的零点个数为（）
A.3 B.2
C.1 D.0
3．已知a=1.50.2，b=log0.21.5，c=0.21.5，则（ ）
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.a>c>b
4．集合的真子集的个数是（）
A. B.
C. D.
5．已知集合P=，，则PQ=（ ）
A. B.
C. D.
6．函数的图像为（ ）
A. B.
C. D.
7．四名学生按任意次序站成一排，若不相邻的概率是（）
A. B.
C. D.
8．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应函数值表：
1
2
4
5
6
123.136
15.552
10.88
-52.488
-232.064
在以下区间中，一定有零点的是（ ）
A.（1，2） B.（2，4）
C.（4，5） D.（5，6）
9．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，小小的折扇传承千年的制扇工艺与书画艺术，折扇可以看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设折扇的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当时，折扇的圆心角的弧度数为（）
A. B.
C. D.
10．若函数y=|x|（x-1）的图象与直线y=2（x-t）有且只有2个公共点，则实数t的所有取值之和为（ ）
A.2 B.
C.1 D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．设且，函数，若，则的值为________
12．已知角的终边过点，则___________.
13．已知，，向量与的夹角为，则________
14．已知函数，其所有的零点依次记为，则_________.
15．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是________.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，
求证：（1）；
（2）.
17．已知图像关于轴对称
（1）求的值；
（2）若方程有且只有一个实根，求实数的取值范围
18．化简求值：
（1）已知，求的值；
（2）
19．已知在半径为的圆中，弦的长为.
（1）求弦所对的圆心角的大小；
（2）求圆心角所在的扇形弧长及弧所在的弓形的面积.
20．已知.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并加以说明；
（3）求的值.
21．已知
(1)化简
(2)若是第三象限角,且，求的值
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、B
【解析】结合指数函数、对数函数的图象按和分类讨论
【详解】对数函数定义域是，A错；C中指数函数图象，则，为减函数，C错；BD中都有，则，因此为增函数，只有B符合
故选：B
2、B
【解析】由转化为与的图象交点个数来确定正确选项.
【详解】令，，
所以函数的零点个数即与的图象交点个数，
结合图象可知与的图象有个交点，
所以函数有个零点.
故选：B
3、D
【解析】由对数和指数函数的单调性比较大小即可.
【详解】因为，所以
故选：D
4、B
【解析】确定集合的元素个数，利用集合真子集个数公式可求得结果.
【详解】集合的元素个数为，故集合的真子集个数为.
故选：B.
5、B
【解析】根据集合交集定义求解.
【详解】
故选：B
【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
6、B
【解析】首先判断函数的奇偶性，再根据函数值的特征，利用排除法判断可得；
【详解】解：因为，定义域为，且，故函数为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除A、D，当时，，所以，故排除C，
故选：B
7、B
【解析】利用捆绑法求出相邻的概率即可求解.
【详解】四名学生按任意次序站成一排共有，
相邻的站法有，
相邻的的概率，
故不相邻的概率是.
故选：B
【点睛】本题考查了排列数以及捆绑法在排列中的应用，同时考查了古典概型的概率计算公式.
8、C
【解析】由表格数据，结合零点存在定理判断零点所在区间.
【详解】∵
∴ ，，，,
又函数的图象是一条连续不断的曲线，
由函数零点存在定理可得在区间上一定有零点
故选：C.
9、C
【解析】设折扇的圆心角为，则圆面中剩余部分的圆心角为，根据扇形的面积公式计算可得；
【详解】解：设折扇的圆心角为，则圆面中剩余部分的圆心角为，圆的半径为，依题意可得，解得；
故选：C
10、C
【解析】可直接根据题意转化为方程有两个根，然后利用分类讨论思想去掉绝对值再利用判别式即可求得各个t的值
【详解】由题意得方程有两个不等实根，
当方程有两个非负根时，
令 时，则方程为，整理得
，解得；
当时，
，解得，故不满足满足题意；
当方程有一个正跟一个负根时，
当时，，
，解得，
当时，方程为，
，解得；
当方程有两个负根时，
令，则方程为，
解得，
当，
，解得，不满足题意
综上，t的取值为 和，
因此t的所有取值之和为1，故选C
【点睛】本题是在二次函数的基础上加了绝对值，所以首先需解决绝对值，关于去绝对值直接用分类讨论思想即可；
关于二次函数根的分布需结合对称轴，判别式，进而判断，必要时可结合进行判断
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】根据函数的解析式以及已知条件可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.
【详解】因为，且，则.
故答案为：.
12、
【解析】根据角终边所过的点,求得三角函数,即可求解.
【详解】因为角的终边过点
则
所以
故答案为:
【点睛】本题考查了已知终边所过的点,求三角函数的方法,属于基础题.
13、1
【解析】由于.
考点：平面向量数量积；
14、16
【解析】由零点定义,可得关于的方程.去绝对值分类讨论化简.将对数式化为指数式,再去绝对值可得四个方程.结合韦达定理,求得各自方程两根的乘积,即可得所有根的积.
【详解】函数的零点
即
所以
去绝对值可得或
即或
去绝对值可得或,或
当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得
当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得
当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得
当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得
综上可得所有零点的乘积为
故答案为:
【点睛】本题考查了函数零点定义,含绝对值方程的解法,分类讨论思想的应用,由韦达定理研究方程根的关系,属于难题.
15、
【解析】作出函数图象，进而通过数形结合求得答案.
【详解】问题可以转化为函数的图象与直线有3个交点，如图所示：
所以时满足题意.
故答案为：.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、⑴见解析；⑵见解析.
【解析】（1）要证明线面平行，转证线线平行，在△AB1C中，DE为中位线，易得；（2）要证线线垂直，转证线面垂直平面,易证，从而问题得以解决.
试题解析：
⑴在直三棱柱中，
平面，且
矩形是正方形，
为的中点，
又为的中点，，
又平面，平面，
平面
⑵在直三棱柱中，
平面,平面,
又，平面，平面，，
平面，
平面，
矩形是正方形，，
平面，，平面
又平面，.
点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
17、（1）；（2）或.
【解析】（1）根据为偶函数，将等式化简整理即可得到的值；
（2）首先将方程化简为:，进而可得，令，则关于的方程只有一个正实数根，先考虑的情形是否符合，然后针对二次方程的根的分布分该方程有一正一负根、有两个相等的正根进行讨论求解，并保证即可，最后根据各种情况讨论的结果写出的取值范围的并集即可.
【详解】(1)因为为偶函数，所以
即，∴
∴，∴
(2)依题意知:
∴由得
令，则①变为，只需关于的方程只有一个正根即可满足题意
(1)，不合题意
(2)①式有一正一负根，则经验证满足，
(3)若①式有两相等正根，则，此时
若，则，此时方程无正根
故舍去
若，则，且
因此符合要求
综上得:或.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据对数的运算性质得到有一个根，通过换元得到的方程只有一个正实数根，进而可根据分类讨论思想，结合二次方程根分布的知识求解即可.
18、（1）
（2）
【解析】（1）先用诱导公式化简，再用同角三角函数的平方关系求解；
（2）先用诱导公式化简，再代入特殊三角函数值计算即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
19、（1）（2）
【解析】（1）根据为等边三角形得出，
（2）代入弧长公式和面积公式计算.
【详解】（1）由于圆的半径为，弦的长为，所以为等边三角形，所以.
（2）因为，所以.，
又，
所以.
【点睛】本题主要考查了扇形的相关知识点，弦长、弧长、面积等，属于基础题，解题的关键是在于公式的熟练运用.
20、 (1) (2) 偶函数 (3)
【解析】（1）根据定义域的要求解出定义域即可；（2）奇偶性的证明首先定义域对称，再求解，得，所以为偶函数；（3）按照对数计算公式求解
试题解析：
（1）由得
所以函数的域为
（2）因为函数的域为
又
所以函数为偶函数
（3）
21、 (1);(2) .
【解析】分析：(1)根据诱导公式化简即得，(2)先根据诱导公式得，再根据平方关系求，即得的值.
详解：
(1)
.
(2) 由，得：
∵是第三象限角, ∴
则
点睛：本题考查诱导公式以及同角三角函数关系，考查基本求解能力.
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