2017-2018学年高二数学上学期期末复习备考讲练-专题03-直线与方程-理.ppt

讲直线与方程讲直线与方程一、学习目标1.掌握直线的倾斜角的概念、斜率公式；掌握直线的方程的几种形式及其相互转化，以及直线方程知识的灵活运用；掌握两直线位置关系的判定，点到直线的距离公式及其公式的运用；2.充分理解解析思想（坐标法），加强数形结合思想的培养和应用意识的培养；3.积极主动，认真研究，以极大的热情投入学习中去。二、知识梳理（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是 .（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。0180 当 时，；当 时，；当 时，。过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。不存在（3）直线方程点斜式：，直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：（）截矩式：其中直线 与 轴交于点 ,与轴交于点 。一般式：（A，B不全为0）注意：各式的适用范围；特殊的方程，如：平行于x轴的直线：（b为常数）；平行于y轴的直线：（a为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 平行直线系平行于已知直线 （是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）过定点的直线系（）斜率为k的直线系：，直线过定点 ；（）过两条直线 ，的交点的直线系方程为（为参数），其中直线 不在直线系中。（6）两直线平行与垂直当 ，时，；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点 ，相交交点坐标即方程组 的一组解。方程组无解 ；方程组有无数解 重合（8）两点间距离公式：设 是平面直角坐标系中的两个点，则（9）点到直线距离公式：（10）两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。三、典型例题例1.过点A(5，4)作一直线 ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形的面积为5，求直线 的方程【解析】由题意知，直线 的斜率存在设直线为y4k(x5)，交x轴于点 ，交y轴于点(0,5k4)，解得所以所求直线l的方程为2x5y100，或8x5y200.【方法规律】求直线的方程，可先设方程，然后根据条件求系数。变式练习1过点P(1,0)，Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程【解析】(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x1，x0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为yk(x1)，ykx2.令y0，分别得x1，x2/k.由题意得 ，即k1.则直线的方程为yx1，yx2，即xy10，xy20.综上可知，所求的直线方程为x1，x0，或xy10，xy20.【答案】x1，x0，或xy10，xy20.例2.已知直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，求m的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.【解析】法一:当m0或2时，两直线既不平行，也不垂直；当m0且m2时，直线l1，l2的斜率分为：.(1)若l1l2，则 ，解得 .(2)若l1l2，则由 ，得m1或m3.又当m3时，l1与l2重合，故m3舍去故l1l2时，m1.法二(1)l1l2，m23m0，.(2)l1l2，3m(m2)0且2m6(m2)，故m1.【方法规律】已知两直线的方程中都含有参数，求不同的位置关系时参数的取值，可以利用平行(或垂直)的条件列方程求解变式练习2已知点A(2,2)和直线l：3x4y200.(1)求过点A，且和直线l平行的直线方程；(2)求过点A，且和直线l垂直的直线方程【答案】(1)3x4y140 (2)4x3y20【解析】(1)因为所求直线与l：3x4y200平行，所以设所求直线方程为3x4ym0.又因为所求直线过点A(2,2)，所以3242m0，所以m14，所以所求直线方程为3x4y140.(2)因为所求直线与直线l：3x4y200垂直，所以设所求直线方程为4x3yn0.又因为所求直线过点A(2,2)，所以4232n0，所以n2，所以所求直线方程为4x3y20.例3.一条光线经过P(2,3)点，射在直线l：xy10上，反射后穿过点Q(1,1)(1)求入射光线的方程；(2)求这条光线从P 到Q 的长度.【解析】(1)设点Q(x，y)为Q关于直线l的对称点且QQ交l于M点kl1，kQQ1.QQ所在直线方程为y11(x1)，即xy0.由 解得l与QQ的交点M的坐标 .又M为QQ的中点，由此得 ，解之得 Q点的坐标为(2，2)设入射光线与l的交点为N，则P、N、Q共线又P(2,3)，Q(2，2)，得入射光线方程为 ，即5x4y20.(2)l是QQ的垂直平分线，从而|NQ|NQ|，|PN|NQ|PN|NQ|PQ|.即这条光线从P到Q的长度是 .【方法规律】利用入射线与反射线的性质，转化为点关于直线l的对称问题，即求Q点关于直线l的对称点变式练习3求直线l1：2xy40关于直线l：3x4y10的对称直线l2的方程.【答案】2x11y160.【解析】解方程组 ，得 所以直线l1与l相交，且交点为E(3，2)，E也在直线l2上，在直线l1：2xy40上取点A(2,0)，设点A关于直线l的对称点为B(x0，y0)，于是有 ，解得 ，即 .故由两点式得直线l2的方程为 2x11y160.例4.点P(2，1)到直线l：(13)x(1)y250的距离为d，求d的最大值【解析】直线l的方程可化为xy2(3xy5)0，由 ，解得 ，直线l过定点 .如图，d|PA|；当PAl时，d取最大值|PA|.，d的最大值为 .变式练习4直线l1过点P(1,2)，斜率为 ，把l1绕点P按顺时针方向旋转30得直线l2，求直线l1和l2的方程【解析】设直线l1的斜率为k，倾斜角为.由题意，知直线l1的方程是 ，即x3y60.k1tan 1，l1的倾斜角1150.如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30，得到直线l2的倾斜角215030120，直线l2的斜率k2tan 120，l2的方程为 ，即 .四、课堂练习2.已知点A(0,2)，B(2,0)若点C在函数yx2的图象上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为()A4 B3 C2 D1五、课后练习【答案】C【解析】当a0时，A，B，C，D均不成立；当a0时，只有C成立4.直线过点(3,2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为 。5.已知光线从点M(-1,0)射出，经直线x-y-1=0反射，其反射光线通过点N(0,1),则入射光线所在直线方程为 。【答案】x+3y+1=0【解析】先求点N关于直线x-y-1=0对称后的点N（2，-1），则连接点N和M即为入射光线所在的直线方程，由两点式可得直线方程为x+3y+1=0。