计算电磁学－矩量法.pdf

第6章矩量法 主要内容一.矩量法思想二,加权余量法原理三,MOM中基困教、权困教明静场问题的MOM法五.细导线问题的MOM法概述 矩量法(Method of Moment,MOM)在天 线、微波技术和电磁散射等方面广泛应用的一 种方法，这些实际工程问题涉及开域、激励场 源分布形态较为复杂。MOM将待求的积分方程问题转化为一个矩阵 方程问题 R.F.Harrington在20世纪60年代对矩量法求 解电磁问题做了全面深入分析。矩量法思想 矩量法在数学处理上可采用加权余量法或定义 泛函内积等方法展开。既要理解通常矩量法构造的数学基础，又能把 握其他数值计算方法与之相关的内在联系，采 用加权余量法概念说明矩量法。加权余量法(Method of Weighted Residuals)将积分、微分方程离散化为矩阵 方程的方法，统一归结为加权余量法，由此构 造各种近似计算方法统一的数学基础。矩量法思想 根据线性空间理论，N个线性方程的联立方程 组、微分方程、差分方程及积分方程均属于希 尔伯特空间中的算子方程，它们可化作矩阵方 程予以求解，在求解过程中需计算广义矩量，故此法称为(Moment of Method,MOM)矩 量法。矩量法之名来源于数学，我们知道数学 上常称j xn fx d x为f(x)的n阶矩。矩量法思想 不同电磁问题的算子方程L=f L p f%J 471RL V 2=L（f）,pL=%出（H-1）n LJSZ T Ezs八弓3 S 蹩Z）+FG（Z,Z）MnU（Z）f 以加权余量法 给定边值问题的场方程（微分或积分方程）及 边界条件统一表述为如下的算子方程Lu=gu.g eVuu51$bd u d n=S 未知函数展开 对函数近似构造一个由有限个无关函数所 组成的基函数集合N,并要求满足总体边界条件孔或=WX4=NkZ=1 因为是近似解，必有误差存在，这误差称之为余量,记作R(u)R(ii)=Lu-权的教 使余量尺（。疮某种平均意义上为零，我们对余量表达 式加权后再求积，在积分区域上使其值为零wLu-gyiV（j=l,2，）也为加权函数（称试探函数），由多个（n个）试 探函数作用于余量表达式，构成n个方程组，等价于 强制的近似解u,使其不能精确地满足场方程而导 致的误差在平均含义上等于零。这种方法统称为加 权余量法。矩量法 上式相当于在余量表达式R(u)=Lu-g对也取 矩的一组平衡式，故称这种构造方法为矩量法。矩 量法与加权余量法属于同一数学描述。处理加权余量式j WjLu d V=j Wjgd V离散化为矩阵左边等于(n、WL YNu.dVj i 1 i=l 7n口 JW,Z)W v i=n=2 J”(NjdV i=l书写方便，定义内积表达式J2)三代(NJ)右边等于加权余量式可简写成几11 离散化为矩阵上式为含n个未知数%的n个方程，可以用矩阵的形 式来表示叱，3）叫乂）%）叫乂）JMjj=u-J矩阵计算*=g n 叫:四尸计算出系数Ui，U2，U3,Un.u=NTM-1g=NnMmXg I MOM在函数空间中的图形表示LuS u.g&Vn UZ4(Wj，L(Nj)=(Wj,g)(j=1,2,)i=l、0-AA-诔差h投影叭L%)(僧)基函数构造基函数可以分为全域基函数和分域基函数全域基函数：算子L的定义域，即待求函数u的定 义域内都有定义的基函数 傅立叶级数 ak（x）=cos kx,sin kx nk=马克劳林级数/u k=l勒让德多项式6（x）n=ZPk（xM-k=l-1/2&0）=（-QI2kx s-x 27!（/左）!（/2女）！分域基函教分域基函数：待求函数日的定义域中相应子域内才 有定义的基函数 一维阶梯状插值一一脉冲函数口=一维分段线性插值一一三角形函数脉冲函数4Mx）=土 j Z（七）+士工 3（%）X，七+1 七+1 七分域基困教三角元剖分插值。基函数是三节点三角形的形状函数1N：(羽 y)=-(4+bsx+Csy)(s=i,j,m)(x)=Ns(%y)us(s=i J m)分域基特点：具有“局部化”特点，即只在一个局部范 围内不为零，其余全为零，离散点值的变化将只直接影 响到其相衔接的子域，从而保证节点n递增时插值过程 的数值稳定性。分域基的数值稳定性较高，全域基的收效性较好。若选 择的基函数和实际解答愈接近，收敛愈快。权函数的选取由加权余量表达式氏(/)7-g不同的权函数选择，将决定算子方程的余量叫(-g W=在不用意义下 取零，可得到不同计算模式的矩量法。点匹配法(狄拉克b函数)5j(r-r)=0(m；)启、*、1-f f(r)(r-r.)JV=f(r.)苏e义外.(r rp=8(r=r.)/Jv J J JJ.(r-r；W=l(r；eV)=Lg.(r-r；)N)W=N(r；)MOM矩阵元素gj=(r-r j)gd V=g(r；)权函数的选取伽辽金法（选取的权函数等于基函数）%=2i=l n i=lvNjL（N）d V=JvNjgd V权函数的选取最小二乘法（权函数为余量本身）最小二乘法在函数逼近、最优化问题等方面都 有广泛的应用，它是通过定义目标函数F为余量R 平方和，求极小值的一种方法F=R2d V=minJVn把算子方程余量 W）=Lu-g积=EH”代入 上式，贝忏便成为待定系数%的多元曲数。极值问 题为一个多元函数的极值问题，其必要条件d F=0 d”j(j=L 2,，)权函数的选取 由于%是未知系数，不是空间坐标的函数，上式 可展开也曾运二d Uj 九 d Uj d R2R d V=0(j=12，)y d u jAr从上式可以看出，我们取权函数%=2丁,这样得到于MOM法一样的表达式。的-还有其它权函数选择方法，如将场域剖分成多个子域,定义子域内的权函数为1,构成子域匹配法。I MOM的基困教权困教选取 基函数与权函数的不同配合对待求物理场问题所需的 计算工作量，以及所得解答是否符合要求等方面都将 有不同的影响。-如算子方程是积分方程，虽然分域基的数值稳定性较 高，并且计算量也少，单其光滑性较差，对某些积分 方程不适用。若积分方程中存在有待求函数的微分运算，则显然不 能用脉冲函数作为基函数，但描述静电场问题的积分 方程中，没有微分运算，对基函数没有这一限制。静也场下的MOM计算 静电场问题，在采用分域基的场合下，因选取脉冲函 数为基函数，计算过程比较简单。在权函数的多种选取方案中，以点匹配法最为简捷，故此构成的矩量法在静电场问题的求解中得到有效的 应用。点匹配法实例 一维静电场分布一平行板电容器，两极板接地，板间体电荷密度2=4（1+2、）板间距为单位长度。忽视边缘效应，试求一维静电场问题 的场分布。数学模型Y=-e=_(1+2x)(OX1)2时，得到的解一样。5,、/、-2-2 91 3 =2 4(p0 7L J I，乙 J _一般积分方程边值问题 一般积分方程边值问题，点匹配法通常采用的基函数为脉 冲函数。静场积分方程的数学模型f cr(r),(、,-d s=e(r)Js 4必 r-r步骤：(1)离散化带电体的表面，设剖分为n个子块加；(，=1,2,.；.)且令每子块电荷密度5分别为相应的常量。待求面电荷密 度函数Hr)可用基于脉冲函数口近似表达万(r)=口6)已i=一般也分方程边值问题Mj(j=12,祖)(2)在给定边界条件93)的导体表面上设定m个匹配点。(3)计算带电体表面各子块对应的元电荷在各匹配点上产 生的电位，并分别叠加，从而各匹配点Mj上电位必须等于 边界上给定的电位值，建立静场积分数学模型的离散方程。(4)按配点法计算模式建立方程，计算待定系数,(5)由求出的,由步骤(1)的表达式，即求出待求电荷 密度o(rj的数值解。求出已知场源分布的前提下，求得 场中任意点电位、场强、电容参数。带也导体棒的电场分布Re.The method o Moments in Electromagnetics,Walton C.Gibson 半径为a,长度为L的细长带电导体棒，给定电位外,求此带电导体棒的电场%(:-积分方程，、0”.邛)d r,Ju 4同r 因为La,化简为 d x兀8 r-rr-rr=x)2+(y Wc i wherecem(带也导体棒的也场分布M/鼻 L x,g x*基函数展开,r 1 X G A/随（x）=Z%na）（/）=n-1 I-由边界条件43）L3a=4=K带也导体棒的也场分布 把基函数代入边界积分方程N N%T。%)n=l-d xf4兀e r-rfNn n=l(nd x-d xf-rfJ(X-)2+带也导体棒的也场分布点匹配法计算（权函数作用）(3,(/)(r)=a 6(r-r)人 一-/4宓 /m)hn-d xr_Nn=end x 1-7d xf,m=1,2.NJ(n-l)d x 丫 _/f m 计算电位系数（MOM矩阵元素）%1=Jnd x(n-l)d x 丫-d x9=-rfnd x(n-l)d xX)+=d 带电I导体棒的也场分布 =*3n Zn2 Znn,9n,4宓匕二夕2+/_2pa cos（-（/）Z _ Z）2+22-jkr/z（Z）d z12 4 刀细导线的积分方程-散射场切向分量Est=zEs7%一“-研 TLor entz Cond ition VA=-J乎。干=一）3问&L _ 4 1E z=_J%z+-CD/A OZ细导线的积分方程Bou nd ar y Cond ition Est+E=0ElzJ52C0/LL8 d z2+k24Hcil l en integr al ecjiicitionE；a)=Jcos d z2+k2L a2Pockl ington integr al equ ationL2-&2-d z 4rr=J/+(z-zj2Ckr,-d z 细导线激励问题-通常工程上细直线天线馈电(a)Del l a-Gap(b)Coax ial Lin e Feedin g Mon opol e(c)Fril l细导线激励问题馈点上的场激励(a)E1=&Az1(b)E(p)=-2夕 l og。/Q)人pA.E.(a)Delta-G叩(b)Coaxial Line Feeding Monopole1(-jkRx-jkR2、/、，=_I_ _ 夕=0(c)pl ane wave&=J+“2,R2=Vz2+b2M(p)=-2AxE(p)=T 3 n Q=sin)产 cQ_ 夕 l og e/a)_,a p fe12 z,d z+k2/(z)=S(z)A(z)=J*+C2e-jkz-j的片尸(Z，z)E；(z)计算Hallen方程a2 2+1 尸（z）=S（z）_d z _To obtain Gr eenf fu nction,l et u s tr ail fu nction尸（z）=C sin（|z|）To determine the constant Ck2ci sin（左 z）d z-Ck cos（-左z）+Ck cos（-fe）=1when T0 C=l/2k/（z）=12ksin（左 计算Hallen方程sol u tion for Az(z)isAz(z)=Ciejkz+C2e-jkz2r l：；4(2)；位=孰/反+。26一版l/2 4%rj/皿小一2力工代2r/Uin(kz-z)Ei(z)d zl/2 ejkr i u-d z=D cos(kz)+D2 sin(f e)-l/2 41r 2r/fL/2,J sin(H z z 坦(z)dz对称模式基函数展开山 2 e-jkr g f“)而y力)dz4万计算Hallen方程rL/2 ejkr i u r/2 L(z)-dz=2 cos(依)+D2 sin(依)-sin(左 z-z)E：(z)dzJ-L/2 4 4/ZT 2r l J-L/24权函数作用，得到Hal l en方程左边表达式d zd z一 jkr工工口。不产dzZ四权函数作用，得到Hal l en方程右边表达式RHS=dA 7mcos(依)dz 半7m(z)：sin(g z z)；(z)dz，dz，/?2。，m J-L/2得到方程Za=2s+计算Hallen方程Za=DjS+b计算系数a,必须计算未知系数DIa=D1Z1s+Z1b因为天线的端点处满足边界条件Iz(-L/2)=I 1 L/2)=0l et ura=09 wher e ur=口0,.,0代入上面方程得到系数DI的表达式A_ E.千ur Z bD1=L 计算Hallen方程 一2孺=L i（z）J dzdzJ m J n 471r采用脉冲基函数和点匹配方法 rzn+Az/2 ejkR f/-z-rZmn=-d z wher e R=-Z1）+aJ zn-Az/2 47rH mNon-sel f t erms,M-poin t n umerical quadrat ureM-jkRmqz=yz y _ q 4ir q_ mq皿er e Rmq=m-zq2+a Sel f t erms,m=n4nn-Az/2 ejkR-d z，x-Az/2 47rRA/2 1-jkR 7,1 1-d z=l og-Az/2 4乃 R 4 乃+4a2/A；+1+4/A；-14乃计算Hallen方程Za=DjS+b方程右边式子得Sm=COS(fcm)bm2r/)EZ(如在中间采用点缝源激励A_ E.于bm2r lsin(Hzj)计算Pocklinton方程k（08 二不&2e-Jkr-d z7ir采用MOM分析mnZbm=-jf 7m（Z）艮（2）改“Jm-jkr-d z d z 4兀计算Pocklinton方程采用脉冲基函数和皮匹配法k2 r z+Az/2 那 f g+Az/2。2 ekR,z=-d z+；-d zmn R Jz厂Az/2&2 r32=火+亘J4万几位/2 R Rz=zn+Az/2z=zn-z/23 e-jkR1+jkRR计算Pocklinton方程得到矩阵元素Zmnr 2 4/c-jkRk 产+Az/2e 4J-Az/2 Rd z+z=z+Az/2z=zAz/2Rbm=T3E；（G集总元件和分布阻抗为改变天线的特性，添加阻抗到积分方程。即 修改阻抗加莪段上的边界条件，设段上阻抗为Z1b+Fs=Ftan tan l oad乜=4LA Z A Z EFIE的右边为z/CDJLl A ZJ(、EltanJI课堂作业1理解MOM中各基函数构造和权函数选取I课后作业1用MOM计算带电导体棒的电场分布