Taylor公式及其应用要点.doc

(完整版)Taylor公式及其应用要点 存档编号 赣南师范学院科技学院学士学位论文Taylor公式及其应用 系 别 数学与信息科学系 届 别 2014届 专 业 数学与应用数学 学 号 1020151124 姓 名 廖天财 指导老师 刘洋 完成日期 2014年5月3日 目 录内容摘要1关键词1ABSTRACT1KEY WORDS11泰勒公式21.1 带有拉格朗日余项的泰勒公式21.2 带有佩亚诺型余项的泰勒公式21.3 带有积分型余项的泰勒公式21.4带有柯西型余项的泰勒公式31.5泰勒公式常用公式32 泰勒公式的应用42.1 应用泰勒公式求极限42。2应用泰勒公式证明不等式52。3 应用泰勒公式求高阶导数72.4 应用泰勒公式判断函数的拐点82.5 应用泰勒公式求近似值92.6 应用泰勒公式证明微分中值定理102。7 应用泰勒公式判别级数的收敛性132。8 应用泰勒公式判断积分的敛散性16参考文献18内容摘要：泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，在求极限、证明不等式、讨论级数及积分的敛散性、求函数的高阶导数、证明中值公式、求解导数问题及在近似计算等中都有极其重要的作用.本文就泰勒公式在以上所列的几个方面的应用着手，进行论述，尽我所能给读者一个新的视野。 关键词：泰勒公式；应用；级数；敛散性Abstract: Taylor formula is a very important content in mathematical analysis， the limit, proves the inequation, discussion, in series and the integral of divergence function of higher derivative， and prove that the median, solve problems of derivative, and the approximate calculation formula has an extremely important role. In this paper， the Taylor formula in the abovementioned aspects of the application of， I will try my best to give the reader a new field of vision.Key words: Taylor formula; Application； Series; Divergence sex1泰勒公式1.1 带有拉格朗日余项的泰勒公式 如果函数在上存在直至阶的连续导函数,在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得:它的余项为，称为拉格朗日余项。当时，得到泰勒公式:称为（带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式。1。2 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 如果函数在点的某邻域内存在直至阶导数,则对此邻域内的点有：当时,上式称为(带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式。1.3 带有积分型余项的泰勒公式如果函数在点的某邻域内有阶导数，令,则对该邻域内异于的任意点,在和之间至少存在一个使得：其中就是泰勒公式的积分型余项。1。4带有柯西型余项的泰勒公式 如果函数在点的某邻域内具有阶导数,令，则对该邻域内异于的任意点有 （1) 当时，又有 （2) 其中(1），（2)都称为泰勒公式的柯西型余项.1。5泰勒公式常用公式 （3） （4） (5） （6) （7） （8)上述展开式中的符号表示当时，它是一个较高阶的无穷小,亦即有：2 泰勒公式的应用2.1 应用泰勒公式求极限为了简化极限运算，有时可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例1 求极限 分析：首先观察分式的分子比较烦杂，直接求很难算，我们考虑泰勒公式将分子展开，因为分母是最高次数是2,所以我们只需将 ，,展开到二阶，然后整理，很容易便得到结果。 解：原式例2 求极限。分析：此为型极限，若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将和分别用泰勒展开式代替，则可简化此比式。解 由,得,于是。2。2应用泰勒公式证明不等式 例3 设函数在上二次可微，且，试证：存在一点，使。 分析:在上二次可微，且最小值，所以在内一定有极值点，该点的导数为，题中可知二次可微，从这点我们可以想到使用泰勒公式，而要证明的结论中右边是一个常数，故选在最小值点处泰勒展开。 解:不妨设为在上的最小值点,则,，在处的泰勒公式： ,是介于与之间的某个值。当时，即,当时,，即,所以当时,；当时，；故综上，存在一点使.例4 设，且,证明。证明：由知：，又存在,故连续, 所以,所以，因为二阶可导,所以在点处二阶泰勒公式成立,在与之间, 因为，所以，所以，即.2.3 应用泰勒公式求高阶导数在此我们讨论的是一元函数的泰勒公式在高阶导数中的应用 。定理129 若函数在点存在直至阶的导数，则有 上式称为一元函数在点处的泰勒公式，其中. 要点:当在点处具有任意阶导数时，由定理6可推出当且仅当时，在点有泰勒展开式，据此，若求出 在点处的阶导数值，则求出，为此可将在点作泰勒展开。 例5 设,求. 解：因为，两边积分得由此可得的泰勒展开式: ，从而 。令 ,则上式可改写为: 。综上，我们有:为自然数时，,且: 2。4 应用泰勒公式判断函数的拐点定理22 若在某个内n阶可导，且满足且，若（1）n为奇数,则为拐点. （2）n为偶数，则不是拐点. 证明： 在处的泰勒公式为因为所以从而可知的符号在的领域内与相同；当n为奇数时,在与两个区间内的符号相异，所以为拐点；当n为偶数时,同理可知，不是拐点. 例6 判定点是否是的拐点? 分析：用定义法判断会很大计算量又繁杂,很浪费时间；这里只需利用定理2知识，很快可以判断出是不是拐点。 解： 因为n=4为偶数,所以点(0,4）不是f(x）的拐点。2。5 应用泰勒公式求近似值 利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用麦克劳林展开得到函数的近似计算式为，其误差是余项.例7 计算Ln1。2的值，使误差不超过0。0001解: 先写出f(x)=Ln(1+x）带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：,其中（在0与x之间).令,要使则取即可。因此当要求的算式不能得出它的准确值时，即只能求出其近似值，这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.2。6 应用泰勒公式证明微分中值定理定理319（罗尔中值定理） 若函数f(x）满足如下条件：在闭区间上连续；在开区间内可导；则在内至少存在一点，使得。几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等则至少存在一条水平切线.若，可导的函数的任意两根之间必定会有其导函数的根.定理419（费马定理）设函数在点点某邻域内有定义，且在点可导，若点为的极值点,则必有。证明： 因为在上连续，所以有最大值和最小值,分别用与表示,现分两种情况来讨论：若,则在上必为常数,从而结果显然成立。若,则因，使得最大值与最小值至少有一个在内某点处取得,从而是的极值点.由条件，在点处可导，故由费马定理推知。例8 设为上的可导函数,证明：若方程没有实根，则方程至多只有一个实根.证明：这可反证如下：倘若有两个实根和（设）,则函数在上满足罗尔定理三个条件,从而存在,使,这与的假设相矛盾,命题得证。定理519（拉格朗日中值定理）若函数满足如下条件：在闭区间上连续；在开区间内可导，则在内至少存在一点,使得. 几何意义：连续曲线，除端点之外处处有切线,则曲线上至少有一点的切线与连接两端点的弦相等。注1 拉格朗日中值定理还有其他几种表示形式，推论1 若函数在区间上可导，且，则为上的一个常量函数.推论2 若函数和均在区间上可导，且则在区间上与只相差某一个常数，即 为某一个常数。推论3 （导数极限定理） 设函数在点的某邻域内连续，在内可导，且极限存在，则在点可导，且。证明拉格朗日中值定理的方法多种多样，一般来说采用的是构造辅助函数法,除此之外还有利用弦倾角法，利用面积构造辅助函数法，利用区间套证明等等,在这里我们只详细介绍一种证明方法证明：设 ，由连续知在上连续,由可导知在内可导，经计算，由罗尔中值定理,即.由此可知，结论成立.2。7 应用泰勒公式判别级数的收敛性例9 判定级数的敛散性。分析：这个级数用定义法，比较判别法,根式判别法,阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等方法来判断它的收敛性，都很复杂，有些还没用；这里利用泰勒展开式,非常方便、快捷。解：因为 所以因此令从而有因为， 所以原级数与同敛性；又因为收敛，所以原级数收敛。例10 讨论级数的敛散性.分析:直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难，因而也就无法恰当选择判断敛散性方法，注意到,若将其泰勒展开为的幂的形式,开二次方后恰与相呼应，会使判断敛散性容易进行.解： 因为所以所以故该级数是正向级数。又因为所以。因为收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛. 例11 讨论级数的敛散性.分析：这个级数直接用比较法，根式法等方法显然繁杂，而将泰勒公式展开,解法一目了然。解： 因为 故时有: ,而收敛所以级数也收敛。 2。8 应用泰勒公式判断积分的敛散性 在判定广义积分敛散性时，通常选取广义积分进行比较，在此通过研究无穷小量的阶来有效地选择中的值，从而判定的敛散性，我们要注意到如果收敛，则也收敛。 例12 研究广义积分的敛散性。解: 因为，所以是瑕点。由比较判别法可知，则时，收敛；时，发散。因为 ， , 所以，因为,所以广义积分发散。 例13 研究广义积分的敛散性。 解： 由泰勒公式得: ，选取，因为，而，所以收敛。 参考文献1济大学数学系高等数学M北京:高等教育出版社，2001。2华东师范大学数学系数学分析M北京：高等教育出版社,2001。3明清河数学分析的思想与方法M3山东：山东大学出版社，2004。4强文久，李元章，黄雯荣数学分析的基本概念和方法M北京：高等教育出版社，1989。5崔宝同数学分析的理论与方法M北京：科学技术文献出版社，1990。6黄立宏,朱若松高等数学M北京:高等教育出版社，2005。7辛小龙，刘新平高等数学M北京：高等教育出版社，2007。8高纯一，周勇高等数学M长沙:国防科技大学出版社，2005。9张自兰 崔福荫：高等数学证题方法陕西：陕西科学出版社，1985.10王向东:数学分析的概念和方法上海:上海科学技术出版社，1989.11同济大学数学教研室主编.高等数学M。北京：人民教育出版社,1999。12刘玉琏 傅沛仁：数学分析讲义M.北京:人民教育出版社,2000。13华东师范大学数学系，数学分析（第二版）M高等教育出版社,1911.14张立民Visual Foxpro5.x中文版应用技术手册M大连：大连理工大学出版社,1997 .15陈传章 金福林：数学分析(下）北京：高等教育出版社，1986.16钱吉林：数学分析题解精粹，中央名族出版社第2版。 17 邓东皋、尹小玲,数学分析简明教程,高等教育出版社，2002。18欧阳光中,朱学炎,秦曾复,数学分析，上海科学技术出版社,1982。19北京大学，数学分析，高等教育出版社，1986。20王慕三，庄亚栋，数学分析，高等教育出版社，1990。21常庚哲,史济怀，数学分析，江苏教育出版社，1998。22张筑生，数学分析新讲，北京大学出版社，1990.23黄玉民，李成章，数学分析（上，下）,科学出版社，1999.24R.柯朗，F。约翰，微积分和数学分析引论,科学出版社，2001。25武汉大学数学系，数学分析，人民教育出版社，1978。26邓东皋，尹小玲,数学分析简明教程,高等教育出版社，1999。27江泽坚,吴智泉，周光亚，数学分析（上,下）,人民教育出版社，1960。28吉林大学数学系，数学分析（上，中，下)，人民教育出版社，1978.29吉米多维奇,数学分析习题集，李荣冻译，高等教育出版社，1958。30邹应，数学分析习题及解答，武汉大学出版社，2001。17