资源描述
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圆锥曲线 2018.1
一．选填练习
1．“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2.已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为
（A） （B） （C）或 （D）或
3. 设,则“”是 “直线与直线平行”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
4.在极坐标系中，方程表示的曲线是
(A) 直线
(B) 圆
(C) 椭圆
(D)双曲线
5.若，满足 则的最大值是
(A)
(B)
(C)
(D)
6.设是不为零的实数，则“”是“方程表示双曲线”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
7.已知直线与圆：相交于，两点，且为正三角形，则实数的值为
（A） （B） （C）或 （D）或
8．已知，那么“直线与垂直”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知点，点满足线性约束条件 为坐标原点，那么的最小值是
A. B. C. D.
10．在极坐标系中，已知点是以为圆心，为半径的圆上的点，那么点到极点的最大距离是_____.
11．已知，是函数的图象上的相异两点．若点，到直线的距离相等，
则点，的横坐标之和的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
12．已知为曲线：（为参数）上的动点．设为原点，则的最大值是
（A）
（B）
（C）
（D）
13.已知点为抛物线：的焦点，点为点关于原点的对称点，点 在抛物线上，则下列说法错误的是
（A）使得为等腰三角形的点有且仅有4个
（B）使得为直角三角形的点有且仅有4个
（C）使得的点有且仅有4个
（D）使得的点有且仅有4个
14.点到双曲线的渐近线的距离是______________ .
（11）设抛物线：的顶点为，经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线和抛物线交于A，B两点，则 ．
15.过双曲线，的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为，为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为
(A)
(B)
(C)
(D)
16.能够说明“方程的曲线是椭圆”为假命题的一个的值是 ．
17. 已知圆的圆心为.直线过点且与轴不重合，交圆于两点，点在点，之间.过作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹是
A. 椭圆的一部分 B. 双曲线的一部分
C. 抛物线的一部分 D. 圆的一部分
18. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 .
19. ．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线方程为，则双曲线的方程是 ．
20． 若变量x，y满足约束条件则的最小值为 ．
21． 已知双曲线：的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则
= ；若双曲线与不同，且与有相同的渐近线，则的方程可以
为 ．（写出一个答案即可）
22．已知点的坐标满足条件设为原点，则的最小值是____．
二．大题练习
1.DC（本小题14分）
已知椭圆的离心率等于，经过其左焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点．
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 为原点，在轴上是否存在定点，使得点到直线，的距离总相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
2.本小题13分）
已知椭圆的右焦点与短轴两个端点的连线互相垂直.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点为椭圆的上一点，过原点且垂直于的直线与直线交于点，求面积的最小值.
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3．CY（本小题满分14分）
已知椭圆的一个焦点坐标为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点，过点的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，直线与直线相交于点，试证明：直线与轴平行．
G
4. (本小题满分14分)
已知抛物线的焦点为,过抛物线上的动点（除顶点外）作的切线交轴于点.过点作直线的垂线（垂足为）与直线交于点.
（Ⅰ）求焦点的坐标；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求线段的长.
5.HD（本小题13分）
已知椭圆：，点.
（Ⅰ）求椭圆的短轴长与离心率；
（Ⅱ）过（1，0）的直线与椭圆相交于、两点，设的中点为，
判断与的大小，并证明你的结论.
6. （本小题14分）
已知椭圆，直线与椭圆相交于， 两点，与轴交于点B，点与点不重合.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）当时，求椭圆的方程；
（Ⅲ）过原点作直线的垂线，垂足为若，求的值.
7．SJS（本小题共14分）
已知椭圆离心率等于，、是椭圆上的两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是椭圆上位于直线两侧的动点.当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.
8．（本小题共14分）
已知椭圆离心率等于，、是椭圆上的两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是椭圆上位于直线两侧的动点，若直线的斜率为，求四边形面积的最大值.
9．（本小题满分14分）
已知椭圆过点，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点．若直线上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值．
10．（本小题满分14分）
已知椭圆过，两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）设点在椭圆上．试问直线上是否存在点，使得四边形是平
行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
11．（本题满分13分）
已知椭圆过点，离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点，过点作斜率为直线，与椭圆交于，两点，若轴平分 ，求的值．
圆锥曲线答案 2018.1
一．选填练习
1. A 2. D 3. C 4. B 5. D 6. A 7. D 8. B 9. C 10. 3 11 B 12. D 13. C 14. 2 15. C 16.
17. B 18. 19. 20. 8 21. 1，等
22.
二．大题练习
1.（本题满分共14分）
解：（I）由题意得解得
故椭圆的方程为.
（II）当直线斜率存在时，设直线的方程为.
由消去得.
易得.设，
②
①
则
设.由点在轴异侧，则问题等价于“平分”，且，又等价于“”，即.
将代入上式，整理得.
将①②代入上式，整理得，即，
所以.
当直线的斜率不存在时，存在也使得点到直线，的距离相等.
故在轴上存在定点，使得点到直线，的距离总相等.
2（共13分）
解：（Ⅰ）由题意，得解得．
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）设，，则．
当时，点，点坐标为或，
．
当时，直线的方程为．即，
直线的方程为．
点到直线的距离为
，．
所以，．
又，所以
且，
当且仅当，即时等号成立，综上，当时，取得最小值1.
3. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意可知所以.所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，此时轴.设，直线与轴相交于点，易得点是点和点的中点，又因为，
所以.
所以直线轴.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
.
因为点，所以直线的方程为.
令，所以.
由消去得.
显然恒成立.
所以
因为
所以.
所以直线轴.
综上所述，所以直线轴.
4. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ） ……………2分
（Ⅱ）设.由，得，则过点的切线的斜率为.
则过点的切线方程为.令，得，即.又点为抛物线上除顶点外的动点，，则.而由已知得，则又，即与不重合，
即.
（Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线的方程为，.直线的方程为，.设和交点的坐标为则
由（1）式得，（由于不与原点重合，故）.代入（2），化简得.又，化简得, （）.
即点在以为圆心，1为半径的圆上.（原点与除外）
即. …………14分
5. （本小题13分）
解：（Ⅰ）：，故，，，
有，. 椭圆的短轴长为，
离心率为. ……………..5分
（Ⅱ）方法1：结论是：.
当直线斜率不存在时，， ……………..7分
当直线斜率存在时，设直线：，，
，整理得： ……………..8分
故， ……………..9分
……………..1 故，即点在以为直径的圆内，故
（Ⅱ）方法2：结论是：.
当直线斜率不存在时，， ……………..7分
当直线斜率存在时，设直线：，，，
，整理得： ……………..8分
故， ……………..9分 ，
此时，
6. （本题共14分）
解：（Ⅰ），，， -------------
，故. -----------------
（Ⅱ）设，
，得到，
依题意，由得.
且有， ------------------------6分
， ------------------------7分
原点到直线的距离
所以 ------------------------9分
解得 >1，
故椭圆方程为. ------------------------1
（Ⅲ）直线的垂线为， ------------------------
由解得交点， ------------------------12分
因为，又
所以=，故的值为1. ------------------------14分
7．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）因为，又，
所以 ………2分
设椭圆方程为,代入,得 ……4分
椭圆方程为 …………5分
（Ⅱ）当时，斜率之和为 …………6分
设斜率为，则斜率为 …………7分
设方程为，与椭圆联立得
代入化简得：
，
同理，，
即直线的斜率为定值.
8．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）因为，又，
所以 ……… 2分
设椭圆方程为,代入,得 ………4分
椭圆方程为 ……… 5分
（Ⅱ）设 ………6分
设方程为，代入化简得： ………8分
，
，又
………13分
当时，最大为 ………14分
9.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意得，，所以．[ 2分]
因为，[ 3分]
所以，[ 4分]
所以椭圆的方程为．[ 5分]
（Ⅱ）若四边形是平行四边形，
则 ，且 .[ 6分]
所以 直线的方程为，
所以 ，．[ 7分]
设，．
由 得， [ 8分]
由，得 ．
且，．[ 9分]
所以.
．[10分]
因为 ， 所以 ．
整理得 ， [12分]
解得 ，或 ．[13分]
经检验均符合，但时不满足是平行四边形，舍去．
所以 ，或 ．[14分]
10．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意得，，．[ 2分]
所以椭圆的方程为．[ 3分]
设椭圆的半焦距为，则，[ 4分]
所以椭圆的离心率．[ 5分]
（Ⅱ）由已知，设，． [ 6分]
若是平行四边形，则 ， [ 8分]
所以 ，
整理得．[10分]
将上式代入，
得 ， [11
整理得，
解得，或．[13分]
此时 ，或．经检验，符合四边形是平行四边形，
所以存在 ，或满足题意．[14分
11. 解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在轴上，过点，离心率，
所以，……………………2分
所以由，得……………………3分
所以椭圆的标准方程是……………………4分
（Ⅱ）因为过椭圆的右焦点作斜率为直线，所以直线的方程是.
联立方程组 消去，得
显然
设点，，
所以，……………………7分
因为轴平分，所以.
所以……………………9分
所以所以
所以
所以
所以
所以……………………12分
所以
因为，
所以……………………13分
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